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文档简介
安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛(高一)数学本试卷分选择题和非选择题两部分,选择题第1至第3页,非选择题第4至第6页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前、务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答选择题时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若集合,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法即可得到,再利用交集含义即可.【详解】由,,则,故选:C.2.不等式的解集为()A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】移项、通分,再转化为等价的一元二次不等式,解得即可.【详解】不等式,即,等价于,解得或,所以原不等式的解集为或.故选:A3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”,如图所示,作“大斜”上的高,则,现已知中,“小斜”,“中斜”,“大斜”,则“高”=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设大斜边上的高为,根据题意给的面积公式和,建立关于h的方程,解之即可求解.【详解】由题意知,,又小斜,大斜,中斜,所以,设大斜边上的高为,则,所以,解得,即大斜边上的高为.故选:A4.设与是两个向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据,得,根据,得,结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由得,则,由得,则,则,故是的既不充分也不必要条件,故选:D.5.已知,,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的单调性判断,根据的单调性判断,进而得到答案.【详解】因为在第一象限为增函数,,所以,因为在第一象限为增函数,,所以,所以,故选:B.6.定义在上的满足对,关于的方程有7个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意,对化简得,即,画出图象,结合图象即可得到答案.【详解】关于的方程可化简为,即有7个不同的根,画出的图象,观察可以看出当有4个不同的根,故只需有3个不同的根即可,所以.故选:A.7.设向量,,若,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简得到,再由及二倍角公式计算可得.【详解】因为,,所以,,所以,则.故选:D8.已知函数的反函数为,那么在上的最大值与最小值之和为()A.4 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】首先得到的单调性和奇偶性,从而得到其反函数的奇偶性和单调性,最后根据的单调性和对称性即可得到答案.【详解】因为,且函数的定义域为,则为奇函数,因为均为上的单调增函数,则也为上的增函数,根据函数与反函数关于直线对称,则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数,故在上单调递增,且的关于点对称,因,则,即其最大值与最小值之和为.故选:A.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.以下运算中正确的有()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据对数运算判断A;根据根式性质以及指数运算判断B;指数和对数的运算判断C;对数的运算性质和换底公式判断D.【详解】对于A,,故A正确;对于B,,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D正确,故选:ACD.10.下面结论正确的有()A.若,为锐角三角形的两内角,则有B.C.,D.,【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数单调性及诱导公式判断A,利用诱导公式及两角和正弦公式判断B,利用和差角公式及同角三角函数的基本关系判断C、D.【详解】对于A:依题意可得,则,又在上单调递增,所以,即,故A正确;对于B:,故B错误;对于C:,故C正确;对于D:因为,又,所以,故D错误.故选:AC11.若函数的部分图象如图所示,将的图象向右平移个单位长度,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数的图象,则下列四个命题正确的是()A.函数的单调递增区间是,B.直线是函数图象的一条对称轴C.若当时,,则D.若在上恰有3个零点,则【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求出的解析式,求出,根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A;代入验证是否为对称轴判断B;当时,利用周期得,结合图象得,求出的取值范围,判断C;根据图象变换求出,根据在上恰有3个零点,结合图象,得到取值范围,判断D.【详解】的最小正周期为,由题图可得,所以,,,得,又,所以,所以,对于A,,由,,解得,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,当时,利用周期得,,结合函数图象,可知,若,,解得,故C正确,对于D,将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,得到的图象,故.当时,因为在上恰有3个零点,所以,得号,故D正确.故选:ACD.【点睛】方法点睛:函数中参数的确定:由函数的最值可确定的值;由函数与轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期,进而可求得的值;由函数图象与轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得的值.函数的单调性利用换元法可解决.考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.第14题为选考题,请考生任选一题作答,若两题都答,则以所做的第一题计分.)12.已知实数x满足,则______.【答案】7【解析】【分析】首先求出范围,方程化简得,再利用基本不等式链即可得到答案.【详解】,故,方程化简得,由基本不等式可知,当且仅当时,即时等号成立;则方程的解为.故答案为:7.13.在边长为2的正中,动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上,满足.则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】建系设点,,,,用坐标表示,求出,借助三角函数求取值范围.【详解】如图,以为坐标原建立平面直角坐标系,不妨设点,,,,因为,所以,即,,因为,所以的取值范围是,故答案为:.14.在四面体ABCD中,,面BCD,底面三角形BCD为直角三角形,.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上,M,N分别是AB和BC的中点,过M、N两点作球O的截面,则面积的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】依题意,该四面体为正方体的一部分,所以外接球为正方体的外接球,结合过M、N两点作球O的截面为圆面,求出半径即得答案.【详解】由面BCD,,所以该四面体四个面都是直角三角形,则球O为该四面体还原成正方体的外接球,故球心O为AC的中点,且球的半径.过球心作,垂足为,其中,,,又直角三角形,所以,经过两点的球的截面面积的最小时,面,又截面为圆面,则圆面对应半径,此时截面的面积为,故答案为:.15.某超市举行有奖答题活动,参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错,三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为,第二题答对的概率为,第三题答对的概率为,若答对两题,则可获得价值100元的奖品,若答对三题,则可获得价值200元的奖品,若答对的题数不够2题,则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲,乙两名顾客参加该活动,则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.【答案】【解析】【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元,或甲得200元且乙得100元,利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为:甲得100元且乙得200元,或甲得200元且乙得100元,即甲答对2题且乙答对3题,或甲答对3题且乙答对2题,又每位顾客答对2题的概率为,每位顾客答对3题的概率为,所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为:.故答案为:四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)16.如图所示,在单位圆中,,已知角的终边与单位圆交于点,作,垂足为点M,作交角的终边于点T.(1)请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式(仅用含的式子表示);(2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据二倍角的余弦和正弦公式展开即可;(2)利用即可证明.【小问1详解】【小问2详解】证明,即证,根据,,,,因为,则,即,所以原不等式成立.17.在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知:,(1)求b和角B;(2)求的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)对由正弦定理边化角,化简求出,即得角B,对由正弦定理边化角,化简求得;(2)由(1)得,借助与正弦定理边化角以及三角恒等变换得,结合角A范围,求出的取值范围.【小问1详解】由得,即,,即,因为,所以,解得,因为,所以,由得,即,解得或(舍),故,.【小问2详解】,因为为锐角三角形,所以,即,解得,所以,则,解得,即的取值范围为18.如图,在矩形中,,,,,直线与垂直,垂足为点.(1)求的值;(2)若,将用基底线性表示,并求出的最大值.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)依题意,根据数量积的运算律计算可得;(2)根据、、三点共线,设,即可得到,同理可得,根据平面向量基本定理得到方程组,求出、,即可得到,再表示出,换元,利用函数的性质求出的最大值.【小问1详解】因为直线与垂直,所以,即,因为,所以,则.【小问2详解】因为、、三点共线,设,即,同理,因为、、三点共线,设,即,又、不共线,所以,解得,所以,又,,所以,所以,设,因为,所以,则,当,即时,当时,所以当,即时取得最大值.(选考题)(17分)(请考生从181,182两题中任选一题作答,若两题都答,则以所做的第一题计分.)【选考人教版——立体几何】19.如下左图,矩形中,,,.过顶点作对角线的垂线,交对角线于点,交边于点,现将沿翻折,形成四面体,如下右图.(1)求四面体外接球的体积;(2)求证:平面平面;(3)若点为棱的中点,请判断在将沿翻折过程中,直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小;若不能,请说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)不能,理由见解析【解析】【分析】(1)取的中点,连接、,根据矩形的性质可知四面体外接球的半径,即可求出外接球的体积;(2)依题意,,即可得到平面,从而得证;(3)过点作交于点,连接,即可证明平面,再假设平面,即可得到平面平面,由面面平行的性质得到,推出矛盾,即可得解.【小问1详解】取的中点,连接、,因为四边形是矩形,所以,所以四面体外接球的半径,所以四面体外接球的体积;【小问2详解】因为,,,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面;【小问3详解】因为,所以,所以即,在中,,所以,过点作交于点,连接,易知,且,平面,平面,所以平面,假设平面,又,平面,所以平面平面,因为平面平面,平面平面,所以,又点为棱的中点,所以点为线段的中点,事实上,而,所以,即点不是线段的中点,故假设不成立,所以在将沿翻折过程中,直线不能平行于面.【选考北师大版——统计和概率】20.在我们的生活中扮演着越来越重要的角色,但过度使用会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用,可以尝试设定使用时间限制,多参加户外活动,与人面对面交流,让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作,做到宣传的全面有效,该机构随机选择了100位市民进行宣传,这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下:(1)请估计这100位市民的平均年龄,结果请保留整数(同组数据用区间的中点值代替);(2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率;(3)现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行回访,若抽取的2人的年龄差大于10,则代表该机构宣传工作做得全面,获得好评.方案一:从6人中按照不放回抽样抽取2人,获得好评的概率为;方案二:从6人中按照有放回抽样抽取2人,获得好评的概率为;假设获得好评的概率大的方案较好,请比较上述两种方案哪种更好,请说明理由.【答案】(1)(2)(3)方案一较好,理由见解析【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得;(2)根据频率分布直方图求出年龄位于区间的频率,即可得解;(3)首先求出年龄位于区间和中抽取的人数,再用列举法列出所有可能结果,由古典概型的概率公式求出概率,即可判断.【小问1详解】这位市民的平均年龄为:,即这位市民的平均年龄约为;【小问2详解】这位市民的年龄位于区间的频率为,故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率为;【小问3详解】参与调查的为市民中年龄在区间内的人数为,年龄在区间内的人数为,按照分层抽样的方法抽取人,则年龄在区间内的应抽取人,设为,,,;年龄在区间内的应抽取人,设为,;方案一:从人中按照不放回抽样抽取人,所有可能出现的情况如下:,,,,,,,,,,,,,,,共种;则人的年龄差大于的有,,
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