高考大题研究课四

高考大题研究课四正弦定理、余弦定理的综合应用通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会用正弦定理、余弦定理解决三角形中的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．关键能力·题型剖析题型一多边形中的解三角形问题例1[2024·江西九江模拟]在△ABC中，AC＝13，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2.(1)求△DAC的面积；(2)若∠ABC＝120°，求BD的长．题后师说平面几何中解三角形问题的求解策略巩固训练1[2024·河南焦作模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3.(1)求cos∠CAD；(2)若AB＝532，求题型二三角形的中线与角平分线问题例2[2024·河北唐山模拟]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC.(1)若BC＝3，求CD与AD；(2)若∠ADC＝60°，设∠BAD＝θ，求tanθ.题后师说三角形中的中线、角平分线问题的处理策略巩固训练2[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.题型三三角形中的最值、范围问题例3(12分)[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sin(1)若C＝2π3，求B(2)求a2+思路导引(1)二倍角公式化简→去分母、两角和与差公式化简→求出sinB(2)由角B，C正余弦关系→角B与角C，A的关系→a2+b2c2化成正弦→用角B表示角A，C化简→[满分答卷·评分细则]解析：(1)因为cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B＝即sinB＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC＝12，→正确用两角和与差公式化简得2而0＜B＜π3(2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π而sinB＝－cosC＝sin(C－π2)→用诱导公式正确找出角B，C的正弦关系得2所以C＝π2＋B，即有A＝π2－2B，→用角B表示角C，A得所以a2+b2c2＝cos22B+1-cos2Bcos2B＝2cos＝4cos2B＋2cos2B－5≥42－5，当且仅当cos2B＝22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为42题后师说解三角形中的最值或范围问题的2种常用方法巩固训练3[2024·辽宁沈阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知b2＋c2－a2＝43S.(1)求角A；(2)若a＝2，求3b－c的取值范围．高考大题研究课四正弦定理、余弦定理的综合应用关键能力·题型剖析例1解析：(1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即13＝4＋CD2＋23CD，解得CD＝3(负根舍)，所以S△DAC＝12AD·CD·sin∠ADC＝12×2×3×(2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°，又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°，在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠DAB＝在△DBC中，由正弦定理，得BDsin∠DCB＝①÷②，得sin∠DCBsin∠DAB＝ADCD＝2又sin2∠DCB＋cos2∠DCB＝1，且∠DCB∈(0，π2)，所以sin∠DCB＝2将sin∠DCB＝27代入②，得BD27＝332，巩固训练1解析：(1)在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD＝ACsinD，即3sin∠CAD＝4sin60°，所以sin∠CAD＝338.由题设知0°<∠CAD(2)由题设及(1)知，cos∠BAC＝sin∠CAD＝33在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝754＋16－2×532×4×338＝494例2解析：(1)如图所示：因为AD平分∠BAC，所以S△ABDS△ACD＝12·AB·AD·sin∠BAD12·AC·AD·sin∠CAD＝ABAC＝因此BDCD＝32，又BC＝3，BD＋CD＝BC，所以CD＝在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝2，可得cosC＝CA2+CB2-在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cosC＝22＋652－2×2×65×13＝96(2)因为AD平分∠BAC，∠DAC＝∠BAD＝θ，又∠ADC＝60°，所以B＝60°－θ，C＝120°－θ，在△ABC中，由正弦定理可得ABsin120°-θ＝ACsin60°-θ，又AB＝3，AC＝2，所以3sin(60°－θ)＝2sin(120°展开并整理得332cosθ－32sinθ＝3cosθ＋sinθ，解得tanθ巩固训练2解析：(1)证明：由题设得，BD＝asinCsin∠ABC，由正弦定理知csinC＝∴BD＝acb，又∵b2＝ac∴BD＝b，得证．(2)由题意知BD＝b，AD＝2b3，DC＝b∴cos∠ADB＝b2+4b29-c22b·2b3＝∵∠ADB＝π－∠CDB，∴cos∠ADB＝－cos∠CDB，∴13b29-c24b23＝a2-10b292∴2a2＋b4a2＝11b23，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得a2由余弦定理知cos∠ABC＝a2+c当a2b2＝13时，cos∠ABC＝76＞1不合题意；当a2b2＝32时，cos∠ABC＝7巩固训练3解析：(1)已知b2＋c2－a2＝43S，由余弦定理和三角形的面积公式，得2bccosA＝43·12bcsinA，即cosA＝3sinA若cosA＝0，则sinA＝0，不符合题意，故cosA≠0，所以tanA＝33，由A∈(0，π)，得A＝π(2)a＝2，A＝π6，B＋C＝π－A＝5π由正弦定理bsinB＝csinC＝asin3b－c＝43sinB－4sinC＝4(3sinB－s