2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业（三）【含答案】

2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业

一、单选题

1.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说

法正确的是（）

A.总体是240B.个体是每一个学生

C.样本是40名学生D.样本容量是40

2.已知复数z=（2+i）（a—3。是纯虚数，则实数a=（）

A.-|B.|C.-3D.3

3.若△ABC外接圆圆心为O,半径为4,且瓦？+2希+2前=6,则石。浜的值为（）

A.14B.2V7C.V7D.2

4.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=4,点。为其外接

圆的圆心.已知诙.瓦5=6，则角4的最大值为（）

A.ZB.gCjD以

5.在斜三棱柱ABC-Ci中，乙4cB=90。，ABX1BC,则名在底面ABC上的射影

“必在（）

A.直线AC上B.直线8C上C.直线AB上D.AABC内部

6.已知长方体ABC7）-48iGDi的体积为6C,*3,AB=\cm,BC=2cm,若该长方体的八

个顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）

A.口便Tre/B.^-rtcm3C.—item3D.^rtcm3

3333

7.已知直角梯形0A8C上下两底分别为分别为2和4,高为2近，

则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）。匕7弋

A.6V2B.3V2-------¥------

C.3D.6

8.如图正方体力BCC-4BiGDi中，M是正方形ABC。的中

心，则直线与直线BiM所成角大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十

大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧

靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年（215年），历代屡加重修，

现存建筑沿袭清光绪六年（1880年）重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼,

邀好友范仲淹作福阳楼记少使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水，岳阳天

下楼”之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图，测得

^DAC=30°,^DBC=45°,4B=14米，则岳阳楼的高度C£>约为（）（夜”

1.414,73»1.732)

二、多选题

10.如图所示，在棱长为2的正方体4BCD-41当口。1中，E,

F,G分别为所在棱的中点，P为平面BCCiBi内（包括边界

）一动点，且DiP〃平面EFG,则（）

A.BD//EGB.BQ〃平面EFG

C.三棱锥Di-EFG的体积为5

D.P点的轨迹长度为2

11.在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c,给出下列四个命题中，其中正确的命题

为（）

A.若A：B：C=1：2：3,则a：b：c=1：2：3

B.若cosACcosB,则sirM>sinB

C.若A=30。，a=3,b=4,则这个三角形有两解

D.当AABC是钝角三角形.则tanA•tanC<1

三、填空题

12.，是虚数单位，则|言|的值为.

在直三棱柱中，。为棱的

13.48C-41B1GAC1BC,AC=3,BBX=2BC=8,

中点，则三棱锥D-ACCi的外接球的表面积为.

14.四面体ABCQ的顶点A、B、C、。在同个球面上,4。，平面ABC,4。=独,48=2,

3

AC=3,/.CAB=60°,则该四面体的外接球的表面积为.

15.已知向量五=(1,2),b=(0,-1)>c=(x,-2),若丘〃3则》=；若(日一

2b)lc>贝卜=•

16.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为g事件A表示“出现小于5的偶数点”，

事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件Au5(后表示事件B的对

立事件)发生的概率为.

17.如图，在A4BC中，前=：枇,若丽=4而，则；I的值为尸是8N上的一

点，若存=1荏+m而，则，”的值为_(2)_.

四、解答题

18.已知平面向量五，b,|五|=2,㈤=1,且H与石的夹角为宗

(1)求

(2)求他+2石|;

(3)若五+2石与2五+4石(46R)垂直，求4的值.

19.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=V^acosB.

(1)求角8的大小；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

20.为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,

将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面

积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组频数为12.

（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该学校全体高二学生的达标率是多

少？

21.已知正方体力BCD-4B1GD1的棱长为1,除面4BCO外，该正方体其余各面的中

心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥M-EFGH的体积为.

22.某校参加夏令营的同学有3名男同学A,B,C和3名女同学X,匕Z,其所属年

级情况如表:

高一年级高二年级高三三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)

(I)用表中字母写这个试验的样本空间；

(II)设M为事件”选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写

出事件M的样本点，并求事件M发生的概率.

23.如图，在四棱锥P—ABC。中，P4_L平面ABC。，底

面4BCC是菱形，24=48=2,ABAD=60°.

(1)求证：48〃平面PCD；

(2)求证：直线BD_L平面PAC；

(3)求直线PB与平面PAO所成角的正切值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：本题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生

的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量

是40.

故选D.

本题考查的是确定总体.解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数

据，而非考查的事物”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先

找出考查的对象是某校高一学生的身高，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这

一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.

解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样

本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，

不能带单位.

2.【答案】A

【解析】解：复数z=(2+i)(a-3i)=(2a+3)+(a-6)i是纯虚数，

解得实数a=-|.

故选：A.

根据复数的乘法运算和纯虚数的定义，列方程求出实数〃的值.

本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：取BC的中点E,

O

由市+2通+2前=6得次+4近=6，得而=4荏，

所以点A,E,。三点共线，且E为线段A。的靠近A的四等分点，

vA0=4,:.AE—1,0E—3,

在直角三角形OEC中可得CE=V7,

.-.CA-CB=\CA\\CB\cos^ACE=\CA\\'CB\^-=\CB\■\CE\=2\'CE\2=2X7=

14.

故选：A.

取8c的中点£再根据已知推出点A,E,。三点共线，且E为线段A。的靠近A的四

等分点，AE=1,0E=3,最后利用向量数量积可得.

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

4.【答案】A

【解析】解：如图:

A

取AB的中点。，贝IJ00184,.•.前.瓦？=(而+说).瓦？=加•瓦?，

="不+函•@-函=“16-a2)=6,a=2,

p.b2+c2-a2C2+12c,12、3lc12百

乂•••COSA=----------=------=-d——>2/------=—,

2bc8c88c788c2

当且仅当*含h=26时取等号，二的心?，

又••・Ae(0,n),•••Ae(0,^].

故选：A.

取AB的中点D,则。。1BA^CO-JA=(CD+^0)-JA=CDBA=6.

求出。值，再利用余弦定理和基本不等式，求出cosA的范围即可.

本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理、基本不等式，考查数学运算能力及直

观想象能力，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：•.•在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4当=4,

•••BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

•.Bi在底面ABC上的射影H必在两平面的交线

AC上.

故选：A.

由题意知要判断当在底面ABC上的射影H,需要看过这个点向底面做射影，观察射影

的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，

根据面面垂直的判断和性质，得到结果.

本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定,

考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查球的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

根据长方体48CD-4囱GOi的体积为6c〃?3,AB=\cm,BC=2cm,可得BBi,再计算出

球O的半径R,即可求解体积.

【解答】

解：由题意长方体ABC£MiBiCQ的体积为6。加，AB=\cm,BC=2cm,

可得：BBi=3,

球的半径回2+BC?+8津2哼,

3

则球O的体积V=JTT/?=27r.

33

故选:A.

7.【答案】C

【解析】解：根据斜二测画法可知,

y轴上的0C,在新系中在y'轴上,

且。。=：。。=近，

作C'Dlx轴于，则C'D=1,

又C'B'=CB,C'B'//CB,

Soc’B'A=2X（2+4）X1=3.

故选：c.

利用斜二测画法找到新系中各点的位置，则新梯形的底和高容易求得，进而求出面积.

本题考查了斜二测画法，属容易题.

8.【答案】A

【解析】解：如图，将&D平移到&C,连接MC,

则4MB1。是直线与直线BiM所成角

设棱长为2,则8停=2VLMC=V2,BrM=V6

cos4MBic=y,

乙MB[C=30°,

故选:A.

先将为D平移到B】C,连接MC,得到的锐角NMBiC

就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属

于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：设CC=x,

如图,测得4fMe=30。，ADBC=45°,4B=14米，

则：DC=BC,

在△ACD中，

利用三角函数的关系式：

Y

tanZ.DAC=-----,

x+14

整理得出=-

3x+14

解得：xX19(米)，

故选：B.

直接利用解直角三角形知识的应用和三角函数的值的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的值，解直角三角形知识的应用，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于A,取BBi的中点连接GM,BD,由正

方体的性质可知，BD//GM,

而GM与EG相交，故BC与EG不平行，故A错误；

对于B,连接QC,由面面平行的判定可得平面FGE〃平面QBC,

由平面与平面平行的性质可得BDi〃平面EFG,故B正确；

1

对于C,由等体积法可得：VD1-EFG=^E-FGD1=,4E

=1X(iX2X1)X1=i,故C正确;

对于。，由分析时可知平面FGE〃平面ABC,即点P的轨迹为线段BC,长度为2,故

。正确.

故选：BCD.

取BBi的中点连接GM,BD,可得BD//GM,由GM与EG相交判定A错误；连接

D.C,由面面平行的判定及性质判断B；利用等体积法求体积判定C；求出P点的轨迹

判断D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与

思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于A,若4B,C=l：2：3,

则4=30°,B=60°,C=90°,

故b：c=sm30°：sm60°：sin90o=1：V3：2.故错误；

对于8,在中，cosA<cosB<=>A>B<=>sinA>sinB,故正确；

34__o

对于C,由A=30。，a=3,b=4,可得丁=或而，可得sinB=1>sin30。，故满足条

件的角B有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解，故正确；

对于。，当A为钝角时，tanA<0,tanC>0,tanAtanC<1,成立，

当C为钝角时，tanA>0,tanC<0,tanAtanC<1,成立，

当8为钝角时，cosB=—COS(J4+C)=sinAsinC—cosAcosC<0,可得sbiAsinC<

cosAcosC,可得tanA-tanC<1,成立，

综上，命题正确.

故选：BCD.

对于A,运用内角和定理，求出A,B,C,再由正弦定理，即可得到三边之比，即可判

断；

对于8,在△ABC中，cosA<cosBsinA>sinB,得出答案；

对于C,利用正弦定理求得满足条件的角C有2个，一个为锐角，另一个为钝角，三角

形有两个解；

对于D，分类讨论，利用两角和的余弦函数公式即可判断得解.

本题考查正弦定理和余弦定理及运用，考查三角形的形状的判断，考查运算能力，属于

中档题和易错题.

12.【答案】V13

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题.

利用复数四则运算先化简，再求模长.

【解答】

解：由题意，可知：

5-i_(5-i)(l■-i)_4_6i_2_oy

1+i-(l+i)(l-i)-1-i2-'

二|三|=|2-3i|=G+(-3)2=V13.

故答案为g.

13.【答案】737r

【解析】解：由题意知，BC=BD=B]D=4,

又4clBC,AC=3,AB=5,CD=£D=4近，

则AD=5MB2+BD2=V41，AQ=yjAC2+CC^=V73.

AC^=AD2+C1D2,得CW14。，

又4c1CCi，・•.AC】的中点为三棱锥D-ACC1外接球的球

心，

则外接球的半径R=Z/lCi=W.

212

外接球的表面积为S=47TR2=4兀x（争2=73”.

故答案为：737T.

由直三棱柱的性质求出C。、AQ、4C],结合勾股定理可得QD1AD,CCr1AC,

可得AC】的中点为三棱锥D-4CG外接球的球心，再求出外接球的半径，代入球的表面

积公式得答案.

本题考查多面体的外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解

能力，是中档题.

14.【答案】127r

【解析】解：如图所示，设△ABC的外接圆的余弦为01，

过。1作直线/"!•平面ABC,又ZMJ_平面ABC,

--.DA//1,连接AO】并延长，交球。于H,连接。H,与/的交

点为球心O,

则0〃=0D=R,OOi=^AD=y,

在△4BC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-

cos60°

=4+9—2x2x2x-=7,BC-y/7，

又由正弦定理可得名7=201”,可得。1"=叵.

sin60x3

R2=OH2=001+。也4+旨=3,

则该四面体的外接球的表面积为S=4TIR2127r.

故答案为：12兀.

由题意画出图形，求解三角形可得BC,由正弦定理求得底面三角形外接圆的半径，再

由勾股定理求得多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能

力，是中档题.

15.【答案】-18

【解析】解：・•・若五〃3a=(1,2),c=(%,-2),即1x(-2)=2xx,

x=-1,

a-2b=(L4),

■:若(5-2石)即lxx+(-2)x4=0,

***x=8.

故答案为：一1,8.

根据两向量平行的坐标表示，以及两向量垂直的坐标表示，分别求解.

本题考查了两向量平行的坐标表示，以及两向量垂直的坐标表示，需要学生熟练掌握公

式，属于基础题.

16.【答案】|

【解析】解：掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为士

O

事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，

基本事件总数n=6,

事件/U5后表示事件B的对立事件)包含的基本事件有：

2,4,5,6,共4个，

则一次试验中，事件力u5日表示事件B的对立事件)发生的概率为：

一

P(4UB)=士4=2

63

故答案为：I.

基本事件总数n=6,利用列举法求出事件4u后山表示事件B的对立事件)包含的基本

事件的个数，由此能求出一次试验中，事件Au5(3表示事件B的对立事件)发生的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础

17.【答案】7

1

6

【解析】解：如图：在A4BC中，AN=^NC.

所以：AN=\AC,故4=；.

44

由于点B、P、N三点共线.

所以前=t丽，

则：AP-AB=t(AN-AP)，

整理得：(1+。荏=荏+：而，

所以捻=亲解得"2.

故答案为：,,

476,

直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及

思维能力，属于中档题型.

18.【答案】解：(l)S.K=|a||K|cos(a,K>=2xlx|=l.

(2)|五+2石产=(a+2b)

=a2+4b+4五•6=4+4+4=12,

\a+2b\=V12=2V3.

(3)若为+2方与23+高(46R)垂直，

则0+2石)■(2H+A6)=0.

即2片+24升+4小9+4君j=o-

18+24+4+4=0即12+34=0,

・•・A=-4

【解析】本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，

属于基础题.

(1)直接根据平面向量数量积计算公式求解；

(2)先求出|。+2万『=0+2石/，再开方即可得|行+2行

(3)根据向量垂直的充要条件得0+23)•(2五+蒋)=0,展开即得到关于；I的方程，解

方程即可的答案.

19.【答案】解：(1)bsinA=YiacosB,

由正弦定理可得sinBsinZ=\p3sinAcosB

即得tanB=6，

由于：0cB＜兀，

B=-.

3

(2)•・•sinC=2sinAf

由正弦定理得c=2a,

由余弦定理域=a24-c2-2clecosB,

9=a2+4a2—2a•2acosg,

解得Q=收，

・•・c=2a=2V3.

【解析】(1)直接利用已知条件和正弦定理求出8的值.

(2)根据(1)的结论和余弦定理求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用及相关的运算问题

20.【答案】解：(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大

小的，

4

因此第二小组的频率为=0.08.

2+4+17+15+9+3

第二小组的频数

因为第二小组的频率=―样本容量'

第二小组的频数=二

所以样本容量=12

第二小组的频率~0.08-150.

(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率约为芸黑100%=88%.

Z+4+1/+15+9+5

【解析】本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题.

(1)由频率分布直方图求出第二小组的频率，根据样本容量=%学2合即可求得;

(2)由直方图可估计该校全体高二年级学生的达标率.

21.【答案】2

【解析】解：正方体4BCD-&B1C1D1的棱长

为1,除面A8C。外，

该正方体其余各面的中心分别为点E,F,