2025届高考数学统考二轮复习第一部分送分考点自练自检第4讲计数原理二项式定理定积分教师用书教案理

PAGE第4讲计数原理、二项式定理、定积分计数原理授课提示：对应学生用书第11页考情调研考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，经常以实际问题为载体，考查分类探讨思想，考查分析、解决问题的实力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.1.带附加条件的排列、组合问题．2．分组、安排问题.[题组练透]1．(2024·湛江模拟)现有甲班A，B，C，D四名学生，乙班E，F，G三名学生，从这7名学生中选4名学生参与某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必需参与的方法有()A．10种 B．15种C．18种 D．19种解析：由题按甲、乙班参与人数分状况探讨如下：若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9种方法；若甲班3人，乙班1人，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A必需参与的方法有1＋9＋9＝19种．故选D.答案：D2．(2024·桂林、崇左模拟)支配3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有()A．240种 B．150种C．125种 D．120种解析：把5项工作分成三组，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)＝10＋15＝25种方法，再把工作安排给三个志愿者有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法，由乘法分步原理得共有25×6＝150种方法．故选B.答案：B3．(2024·南宁模拟)某技术学院支配5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少支配一个班，则不同的支配方法共有()A．60种 B．90种C．150种 D．240种解析：将5个班分成3组，有两类方法：①3,1,1，有Ceq\o\al(3,5)种；②2,2,1，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),2！)种．所以不同的支配方法共有(Ceq\o\al(3,5)＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),2！))×Aeq\o\al(3,3)＝150种．故选C.答案：C4．(2024·北京西城区模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．解析：每档可取7到14中的每个整数，若公差为0，共有8种；若公差为±1，则共有12种；若公差为±2，则共有8种；若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种．答案：32[题后悟通]快审题1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特别优先原则．2．看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法．3．看到分组安排问题，想到先分类，再在各类中先分组后安排妙解法求解有限制条件排列问题的主要方法(1)干脆法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事务分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．②分步法：选定一个适当的标准，将事务分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时留意捆绑元素的内部排列．(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．(4)除法：对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列．(5)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法避误区排列、组合问题的易错点(1)分类标准不明确，有重复或遗漏．(2)混淆排列问题与组合问题．(3)解决捆绑问题时，遗忘“松绑”后的全排列二项式定理授课提示：对应学生用书第12页考情调研考向分析以理解和应用二项式定理为主，常考查二项绽开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1.特定项问题．2.系数问题．3.赋值问题.[题组练透]1．(2024·云南质检)在(x－eq\f(2,x))10的二项绽开式中，x6的系数等于()A．－180 B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D．180解析：(x－eq\f(2,x))10的二项绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(－2)r·x10－2r，令10－2r＝6，求得r＝2，可得x6的系数为Ceq\o\al(2,10)·(－2)2＝180.故选D.答案：D2．(2024·甘肃质检)(1－2x)3(2＋x)4绽开式中x2的系数为()A．0 B．24C．192 D．408解析：由题(1－2x)3的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)(－2x)r，(2＋x)4的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)24－kxk.若(1－2x)3中供应常数项1，(2＋x)4的绽开式中供应二次项，此时r＝0，k＝2，则系数为Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(2,4)22＝24；若(1－2x)3中供应一次项，(2＋x)4的绽开式中供应一次项，此时r＝1，k＝1，则系数为－2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)23＝－192.若(1－2x)3中供应二次项，(2＋x)4的绽开式中供应常数项，此时r＝2，k＝0，则系数为4Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,4)24＝192，故绽开式中x2的系数为24－192＋192＝24.故选B.答案：B3．(2024·蚌埠模拟)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6－\f(1,x\r(x))))n的绽开式中含有常数项，则n的值可以是()A．8 B．9C．10 D．11解析：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6－\f(1,x\r(x))))n的第r＋1项为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(x6)n－r·(－1)r·(x－eq\f(3,2))r＝Ceq\o\al(r,n)·(－1)r·xeq\f(34n－5r,2)，由题意可知含有常数项，所以只需4n－5r＝0，比照选项当n＝10时，r＝8，故选C.答案：C4．已知(2m＋x)(1＋x)4的绽开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则mA.eq\f(7,4)B.eq\f(7,2)C．4 D．7解析：设(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5①；令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5②.①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝eq\f(7,2)，故选B.答案：B[题后悟通]快审题看到二项式，想到先化简形式，然后利用通项公式妙解法1.求二项式与代数式积的绽开式特定项系数问题的关键一是将二项式看作一个整体，利用安排律整理所给式子；二是利用二项绽开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数．2．求(x＋y＋z)n的绽开式的特定项的系数问题的技巧若三项能用完全平方公式，那当然比较简洁，若三项不能用完全平方公式，只需依据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项绽开式的通项公式去求特定项的系数；把(x＋y＋z)n看作n个因式x＋y＋z的乘积，再利用组合数公式求解．3．二项式系数最大项的确定方法若n是偶数，则中间一项第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))项的二项式系数Ceq\f(n,2)n最大；若n是奇数，则中间两项第eq\f(n＋1,2)项与第eq\f(n＋1,2)＋1项的二项式系数最大避误区(1)二项式系数与系数的区分．(2)中间项问题．(3)二项式系数的最大问题微积分基本定理授课提示：对应学生用书第13页考情调研考向分析利用定积分求平面图形的面积，定积分的计算是高考考查的重点.1.定积分的计算．2.求曲边图形的面积.[题组练透]1．(2024·芜湖模拟)直线l过抛物线C:x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.eq\f(4,3) B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)解析：抛物线C的焦点为(0,1)，直线l：y＝1与抛物线的交点为(±2,1)，因此＝故选C.答案：C2．曲线y＝eq\f(4,x)与直线y＝5－x围成的平面图形的面积为()A.eq\f(15,2) B.eq\f(15,4)C.eq\f(15,4)－4ln2 D.eq\f(15,2)－8ln2解析：作出曲线y＝eq\f(4,x)与直线y＝5－x围成的平面图形如下：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x),y＝5－x))解得：x＝1或x＝4，所以曲线y＝eq\f(4,x)与直线y＝5－x围成的平面图形的面积为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))(5－x－eq\f(4,x))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2－4lnx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,1)))＝(20－8－4ln4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,2)))＝eq\f(15,2)－8ln2.故选D.答案：D3．(2024·汉中质检)已知(其中e为自然对数的底数)，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0,10－x，x≤0))，则f(a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))等于()A．4 B．3＋eC.eq\f(4,3) D.eq\f(1,3)解析：因为lgeq\f(1,3)<0,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝＝10lg3＝3，又a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝e＋1－1＝e>0，所以f(a)＝f(e)＝1，所以f(a)