《4.1直线与圆锥曲线的交点》知识清单

《4.1直线与圆锥曲线的交点》知识清单直线与圆锥曲线的交点知识清单一、直线与圆锥曲线位置关系的判断1、**联立方程法**-把直线方程y=kx+b（如果直线斜率存在）或者x=m（直线斜率不存在）代入圆锥曲线方程（比如椭圆方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1，双曲线方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1，抛物线方程y^{2}=2px等）。-得到一个关于x或者y的一元二次方程，形式大概是Ax^{2}+Bx+C=0或者Ay^{2}+By+C=0。-然后根据判别式\Delta=B^{2}-4AC来判断位置关系：-当\Delta>0时，直线与圆锥曲线有两个不同的交点，意味着直线与圆锥曲线相交。-当\Delta=0时，直线与圆锥曲线有且仅有一个交点，此时直线与圆锥曲线相切。-当\Delta<0时，直线与圆锥曲线没有交点，也就是直线与圆锥曲线相离。2、**特殊情况的快速判断（以椭圆为例）**-对于椭圆，如果直线过椭圆的中心（原点），那么直线一定与椭圆相交，因为椭圆是中心对称图形。-对于双曲线，渐近线是很特殊的情况。如果直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线只有一个交点，但此时直线与双曲线是相交关系（不是相切哦）。-对于抛物线，平行于对称轴的直线与抛物线只有一个交点，这也是相交关系。二、求直线与圆锥曲线的交点坐标1、**常规方法**-按照前面判断位置关系时联立直线和圆锥曲线方程得到一元二次方程。-利用求根公式求出方程的根。比如对于一元二次方程Ax^{2}+Bx+C=0，其根为x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}。-将求出的x的值代入直线方程y=kx+b，就可以求出对应的y值，这样就得到了交点坐标。2、**利用韦达定理简化计算（当求交点坐标相关的量时）**-当联立直线和圆锥曲线方程得到一元二次方程Ax^{2}+Bx+C=0后，韦达定理告诉我们两根之和x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}，两根之积x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}。-在一些题目中，比如求弦长或者与交点坐标有关的式子的值时，利用韦达定理可以避免求出具体的交点坐标，从而简化计算。三、弦长公式1、**直线斜率存在时**-设直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})。-弦长|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}，这里面就用到了韦达定理哦。2、**直线斜率不存在时**-当直线方程为x=m时，与圆锥曲线相交的两点纵坐标设为y_{1}和y_{2}。-弦长就是|y_{1}-y_{2}|。四、习题1、已知直线y=2x+1与椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1，判断它们的位置关系，并求出交点坐标（如果有）。-解：将直线方程y=2x+1代入椭圆方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1，得到\frac{x^{2}}{4}+\frac{(2x+1)^{2}}{3}=1，整理得19x^{2}+16x-8=0。这里A=19，B=16，C=-8，判别式\Delta=16^{2}-4\times19\times(-8)=256+608=864>0，所以直线与椭圆相交。-由求根公式x=\frac{-16\pm\sqrt{864}}{2\times19}=\frac{-16\pm12\sqrt{6}}{38}=\frac{-8\pm6\sqrt{6}}{19}。-当x=\frac{-8+6\sqrt{6}}{19}时，y=2\times\frac{-8+6\sqrt{6}}{19}+1=\frac{-16+12\sqrt{6}}{19}+1=\frac{3+12\sqrt{6}}{19}；当x=\frac{-8-6\sqrt{6}}{19}时，y=2\times\frac{-8-6\sqrt{6}}{19}+1=\frac{-16-12\sqrt{6}}{19}+1=\frac{3-12\sqrt{6}}{19}。所以交点坐标为(\frac{-8+6\sqrt{6}}{19},\frac{3+12\sqrt{6}}{19})和(\frac{-8-6\sqrt{6}}{19},\frac{3-12\sqrt{6}}{19})。2、已知直线x=3与抛物线y^{2}=6x，求弦长。-解：把x=3代入y^{2}=6x得y^{2}=18，y=\pm3\sqrt{2}。所以弦长为|3\sqrt{2}-(-3\sqrt{2})|=6\sqrt{2}。答案：1、直线与椭圆相交，交点坐标为(\frac{-8