自控原理课件-第2章-自动控制系统的数学模型

第2章自动控制系统的数学模型进而找出改善系统稳态和动态性能的具体方法。自动控制理论在方法上是先把具体的系统抽象成数学模型，然后以数学模型为对象，应用控制理论所提供的方法去分析它的性能和研究改进性能的途径。在这个基础上，应用所得结论去指导对实际系统的分析和改进。因此，建立数学模型是分析和研究自动控制系统的基础。

自动控制系统的数学模型是根据系统的动态特性，即通过决定系统特征的物理定律，如机械、电气、热力、液压、气动等方面的基本定律而写成的，它代表系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了整个系统的动态过程。经典控制理论中常用的数学模型是动态微分方程、传递函数和系统方框图。

2.2.1动态微分方程

建立数学模型的目的在于确定输出量与输入量之间的函数关系，而描述系统输出和输入之间关系的最直接的数学方法就是列写系统的动态微分方程。微分方程是连续系统最基本的数学模型。建立系统微分方程的方法有两种：一种是机理分析法，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律(如力学、运动学、电磁学、热学等)来编写；另一种是实验辨识法，这种方法是根据实验数据进行整理编写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成的。一般来说，对于简单的环节或装置，应用机理分析法建立微分方程的一般步骤是：

①对系统进行定性分析，确定系统的输入量和输出量。

②从输入量开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，列写它们原始的微分方程。

③消去中间变量，求取一个只含有系统输入量和输出量的系统微分方程。

多用理论推导；而对于复杂的装置，往往因涉及的因素较多，而采用实验辨认法。由于机理分析法是基本的、常用的方法，所以本书主要讨论这种方法。下面通过几个例子进一步说明建立系统微分方程的步骤。[例2．9]列写图2．4所示示RLC串联电路的微分方程。

解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为电压ur(t)，输出量为电压uc(t)(2)根据电路理论，列出原始微分方程。④整理方程成为标准形式，即将与输入量相关各项放在等号右边，与输出量相关各项放

在等号左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化成具有一定物理意义的表示形式。2．2．2传递函数建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换法等。拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。1．传递函数的定义在零初始条件下，系统的输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比，即（2．41）2．传递函数的性质①传递函数与微分方程具有相通性，只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的复变量s替代，就很容易求得系统或元件的传递函数。同时，传递函数与微分方程具有一一对应关系，确定的微分方程只有惟一的传递函数和它对应。②传递函数是复变量s的有理真分式，具有复变函数的所有性质。式(2．42)中，m≤n，系数均为实数，它们是由组成系统的元件或参数构成，而传递函数完全取决于其系数，所以传递函数只与系统本身内部结构和参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关，它代表了系统的固有特性，是一种用系统参数来表示输入输出之间关系的数学模型，称为系统的复数域模型。③传递函数是一种运算函数。由传递函数定义式变换可得，C(s)＝R(s)G(s)，此式表明，只要已知一个系统的传递函数G(s)，则对任意一个输入量R(t)，只要用其象函数R(s)乘以G(S)，就可得输出量的象函数C(s)，再经拉氏逆变换，即可得输出量c(t)。2．2．3典型环节的传递函数—个系统是由许多环节组合而成的，虽然各种环节具体结构的作用原理是多种多样的，但是抛开其具体结构和物理特点，许多环节的动态特性和传递函数是具有共性的。现按照环节传递函数的异同、归纳为几种典型环节。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析复杂系统内部各环节间的联系。这些典型环节是：比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节。现分别介绍如下。1．比例环节比例环节的特点是：输出量与输入量之间的关系是一种固定的比例关系，也就是输出量能无失真、无滞后地按一定比例复现输入量。在自动控制系统中，若系统中具有两个不同形式的储能元件，而两种元件中的能量又能相互交换，就可能在交换和储存过程中出现振荡，形成振荡环节。例如，前面介绍的例2．9中的机械平移系统中含有储存弹性势能的弹簧和储存动能的机械负载，而这两种能量能相互交换，所以在

时，就会产生振荡。同样，例2．11中的RLC串联网络，由于含有储存磁场能的电感和储存电场能的电容，而这两种能量也能相互交换，所以在R＜2时，就会产生振荡。2．2．4系统结构框图一个控制系统总是由很多环节组合而成的。从信号传递的角度去看，可以把一个系统分成若干个环节，每一个环节都有对应的输入量、输出量以及它们的传递函数。为了表明每一个环节在系统中的作用和功能，在控制工程中常常采用结构框图。结构框图是控制系统数学模型的图形表示方法，它可以形象地描述自动控制系统各环节之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观、运算方便的优点，是分析控制系统的一种常用方法。结构框图由信号线、引出点、比较点和功能框组成，它们的形状如图2．20所示。现分别介绍如下。1．信号线信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的象函数，如图2．20(a)所示。2．引出点引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同，图2．20(b)所示。3．比较点

比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。4．功能框功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数，框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的乘积，即C(s)＝R(s)G(s)绘制系统结构框图时，首先对系统进行定性分析，确定系统中含有的独立环节或单元，分别列写