2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连育明中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{a,b,c}A.a B.b C.a+b+2.已知直线方程为x+3y−1=0，则(

)A.斜率为3 B.倾斜角为arctan(−13)

C.方向向量(3,1)3.方程−y=1−x2A.x轴上方的半圆 B.x轴下方的半圆 C.y轴左侧的半圆 D.y轴右侧的半圆4.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，∠ADC=90°，AD=AB=3，PD=4，DC=6，则DB与CP之间的距离为(

)A.121717 B.1213135.曲线2x2−y2−xy−8x+8y=0与x=3A.133 B.143 C.5 6.如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=4MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA,PE=nPB,A.154

B.4

C.174

7.已知点A(−2,0)，B(2,0)，点P为直线l：2x+y−6=0上动点，当∠APB取最大值，点P的横坐标为(

)A.2 B.3 C.4 D.58.已知e1,e2是空间单位向量，e1⋅e2=−12A.52 B.5 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知：直线l1：cosθx+sinθy=1，直线l2：cosθx−sinθy=1，直线l3：sinθx+cosθy=1，直线l4：sinθx−cosθy=1A.对任意的θ∈R，l2⊥l3恒成立 B.对任意的θ∈R，l1//l4恒成立

C.存在θ∈R，使得l10.在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，底面为棱长是1的菱形，A.当m=12时，三棱锥P−BC1D1的体积为定值

B.当n=12时，三棱锥P−BC1D1的体积为定值

C.当m+n=111.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(A.若点P(1,3)，Q(2,4)，则d(P,Q)=2

B.若对于三点A，B，C，则“d(A,B)+d(A,C)=d(B,C)”当且仅当“点A在线段BC上”

C.若点M在圆x2+y2=4上，点P在直线x−2y+8=0上，则d(P,M)的最小值是8−25

D.若点M在圆x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)、B(4,3)、C(2,−1)，则∠BAC角平分线所在直线斜率为______．13.如图，圆台O1O2中，上、下底面半径比为1：2，ABCD为圆台轴截面，母线与底面所成角为π3，上底面中的一条直径EF满足∠DO2E=14.已知圆O：x2+y2=4上两点A(x1,y四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，过P(1,2)的直线l与坐标轴交于A、B，△OAB面积记为S．

(1)当直线l在x轴上截距为4时，求S的值；

(2)当S=6时，求直线l在x轴上的截距．16.(本小题12分)

如图所示的几何体是由三棱锥A1−AB1C和三棱锥B−AB1C拼接而成，BB1=AA1=2，AB=A1B1=BC=1，A1C=6且∠ABC=17.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，B(2,1)，C(4,3)，D(3,3−3).

(1)求证：A，B，C，D四点共圆；

(2)若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，求直线l18.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为矩形，AB=AC=2，AA1=3，且∠CAA1=60°．19.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，△ABC满足∠ACB=90°，A(−13,0)，B(13,0)．

(1)求点C轨迹Γ的方程；

(2)已知点T在曲线Γ上，过点P(6,0)作⊙T的切线，与y轴交于E、F两点，

若⊙T的半径为1，

(ⅰ)求△PEF面积的范围，并说明理由；

(ⅱ)若⊙T与曲线Γ的两个交点记为M、N，Q(−2,−3)，QM、QN与⊙T分别交于不同于M、N的P1参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.A

6.A

7.A

8.D

9.ACD

10.AD

11.AD

12.−113.0

14.20−1015.解：(1)依题意，直线l过点(4,0)，

则其斜率为2−01−4=−23，方程为y=−23(x−4)，

令x=0，可得y=83，

则S=12×4×83=163；

(2)设直线l在x轴上的截距为a，

则直线l过点(a,0)，

故其斜率为2−01−a=21−a，方程为y=21−a(x−a)，

16.解：(1)证明：∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BC，

∴平面B1BC⊥平面ABC，∵平面B1BC∩平面ABC=BC，

∠ABC=π2，

∴AB⊥平面B1BC①，

∵BB1⊥BC，BB1=AA1=2，AB=A1B1=BC=1，A1C=6，

∴B1C=BB12+BC2=5，

∴B1A12+B1C2=AC2=6，

∴A1B1⊥B1C，∵BC⊥A1B1，BC∩B1C=C

∴A1B1⊥平面B1BC②，

由①②得：A1B1/​/AB17.解：(1)证明：点AB的中点坐标为(1,2)，直线AB的斜率为−1，

可得线段AB的垂直平分线方程为y−2=x−1，

而线段AC的垂直平分线的方程为x=2，

可得过A，B，C的圆的圆心为(2,3)，半径为2，

即有圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，

代入D的坐标，可得1+3=4，即有D在圆上，故A，B，C，D四点共圆；

(2)若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，且为0，

设直线l的方程为x=my，由|2−3m|1+m2=2，解得m=0或m=125，

即有直线l的方程为x=0和5x−12y=0；

若直线l与A，B，C，D所在圆相切，且直线l在x轴，y轴的截距相等，且不为0，

设直线l的方程为x+y=a(a≠0)，

由|2+3−a|2=2，解得a=5±22，即有直线l18.解：(1)过C点作CD⊥AA1交AA1于D，过D点作DE/​/AB交BB1于E，如图，

因为平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，平面ACC1A1∩平面ABB1A1=AA1，

又CD⊂平面ACC1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，

因为AA1，DE⊂平面ABB1A1，所以CD⊥AA1，CD⊥DE，

因为四边形ABB1A1为矩形，所以AB⊥AA1，则DE⊥AA1，

故以D为原点，DE，DA，DC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为在Rt△ACD中，AC=2，∠CAA1=60°，则AD=1,CD=3，又AB=2，AA1=3，

则A(0,−1,0)，A1(0,2,0)，C(0,0,3)，C1(0,3,3)，B1(2,2,0)，

所以A1B1=(2,0,0)，A1C=(0,−2,3)，

设平面CA1B1的法向量为n=(a,b,c)，

则A1B1⋅n=2a=0A1C⋅n=−2b+3c=0，取b=3，则a=0，c=2，故n=(0,3,2)，

易知平面AA1B1的法向量为m=(0,0,1)，

19.解：(1)设C(x,y)，由题可知，CA=(−13−x,−y)，CB=(13−x,−y)，

CA⋅CB=0，|CA|≠0，|CB|≠0，得x2+y2=13(y≠0)，

所以点C轨迹T的方程为x2+y2=13(y≠0)．

(2)因为点T在曲线T上，设T(13cosα,13sinα)(sinα≠0)，E(0,yE)，F(0,yF)，

直线PE的斜率为kE，直线PF的斜率为kF，设切线方程⊙T的切线方程为y=k(x−6)．

(ⅰ)易知yE=−6kE：yF=−6kF，所以S△EFP=12|EF|×|OP|=3|yE−yF|=18|kE−kF|，

由题可知T(13cosα,13sinα)(sinα≠0)到直线y=k(x−6)的距离为1，

得|13kcosα−13sinα−6k|1+k2=1，

整理得[(13co