沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15-4角的平分线第2课时角平分线的判定课件

第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线第2课时角平分线的判定知识点3角平分线的判定定理基础过关全练1.(2024上海宝山期末)如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别

为E,F,BE与CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.证明∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF

与△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE,∴AD平分∠BAC.知识点4三角形的三条内角平分线的性质2.如图,△ABC的周长为12,∠ABC和∠ACB的平分线相交于

点O,过点O作OD⊥BC于点D,当OD=1时,△ABC的面积为

.6解析如图,过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为点E,F,连

接AO,∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD.∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD.∴OD=OE=OF=1.∵△ABC的周长为12,∴AB+BC+AC=12,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=

AB·OE+

BC·OD+

AC·OF=

(AB+BC+AC)·OD=

×12×1=6.能力提升全练3.(2024安徽宣城泾县期末,7,★★☆)如图,△ABC的三边

AB、BC、AC的长度分别为10cm、15cm、20cm,三条角平

分线的交点为点O,则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=

()A.2∶3∶4

B.3∶4∶5C.1∶2∶3

D.5∶12∶13A解析如图,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,OK⊥

AC于点K,∵△ABC的三条角平分线的交点为点O,∴OM=ON

=OK,∵S△AOB=

AB·OM,S△BOC=

BC·ON,S△AOC=

AC·OK,AB、BC、AC的长度分别为10cm、15cm、20cm,∴S△AOB∶S△

BOC∶S△AOC=AB∶BC∶AC=10∶15∶20=2∶3∶4.4.(2023安徽六安金寨联考,10,★★☆)如图,∠ABC、∠EAC

的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE交BE于点M,PN⊥BF交

BF于点N,则下列结论:①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=

180°;③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中正确结论的

个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4D解析①如图,过点P作PD⊥AC于点D,∵BP平分∠ABC,AP

平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,

∴PN=PD.∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴点P在∠ACF的平分线上,

∴CP平分∠ACF,故①正确.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC

+90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中,

∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理可得Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴∠CPD=

∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确.③∵AP平分∠EAC,BP平分∠ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠

ACB=2∠PAM,∠PAM=

∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正确.④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△

PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△APC,故④正确.

综上所述,正确结论为①②③④,共4个.5.(2024安徽合肥包河期末,13,★★☆)如图,在△ABC中,点M,

N为AC边上的两点,AM=NM,BM⊥AC于点M,ND⊥BC于点D,

且NM=ND,若∠A=70°,则∠C的度数为

.50°解析∵AM=NM,BM⊥AC,∴BM平分∠ABN,∠BNA=∠A=70°,∴∠ABM=∠NBM=

×(180°-70°-70°)=20°.∵ND⊥BC,NM=ND,∴BN平分∠MBD,∴∠DBN=∠NBM=20°,∴∠ABC=60°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.素养探究全练6.(推理能力)如图,∠ABC的平分线与∠ACN的平分线相交于

点P,连接AP.(1)求证:AP平分∠CAM;(2)如图,过点C作CE⊥AP,垂足为点E,延长CE交BM于点D,求

证:CE=ED;(3)在(2)的条件下,请添加一个条件,使得AP∥BC,并加以证明.解析(1)证明:如图,过点P作PH⊥BM于点H,PF⊥BN于点F,

PG⊥AC于点G,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACN,BP与CP交于点P,∴PH=PF,

PF=PG,∴PH=PG,∴AP平分∠CAM.(2)证明:由(1)知AP平分∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.在△ADE与△ACE中,

∴△ADE≌△ACE(ASA),∴CE=ED.