湖北省武汉市2024年中考数学试卷（含答案）

湖北省武汉市2024年中考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件3．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B．C． D．4．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效。将数据300000用科学记数法表示是（）A．0.3×105 B．0.3×15．下列计算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．6．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水。下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）A． B．C． D．7．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A．19 B．13 C．499．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，∠BAC=∠CAD=45°，AB+AD=2，则⊙O的半径是（）A．63 B．223 C．310．如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点(1,0)中心对称。若点A1A．−1 B．−0.729 C．0二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。11．中国是世界上最早使用负数的国家。负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作℃．12．某反比例函数y=kx具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是13．分式方程xx−3=x+114．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉。在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据：tan63°≈2）15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若BE=kAE(k>1)，则用含k16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过(−1,①b>0；②若0<x<1，则a(③若a=−1，则关于x的一元二次方程ax④点A(x1,y1)，B(x其中正确的是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．求不等式组x+3>1①2x−1≤x②18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）19．为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表。测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m，n的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；（2）连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．21．如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB=∠ACB；（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=−（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．23．（1）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．（2）问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：BG=FG．（3）问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出EGGF．24．抛物线y=12x2+2x−52交x轴于A，B两点（A（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF=90°，求直线DE的解析式．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；．

D、不是轴对称图形，不符合题意；，故答案为：C．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判定．2．【答案】A【解析】【解答】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件，故答案为：A．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：从正面看，该几何体下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故答案为：B．【分析】主视图是从物体的正面看到的视图，据此判定．4．【答案】C【解析】【解答】解：300000=3×10故答案为：C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于5．【答案】B【解析】【解答】解：A.a2B.(aC.(3a)2D.(a+1)2故答案为：B．【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，∴对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故答案为：D．【分析】根据圆柱体的特征，分3段分析，即可求解．7．【答案】C【解析】【解答】解：由尺规作图得：AB=BC=DC=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC∵∠A=44°，∴∠MBC=∠A=44°，∴∠CBD=1答案为：C．【分析】根据作图得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，即可求解．8．【答案】D【解析】【解答】解：画树状图如图所示，共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转有5种结果，∴至少一辆车向右转的概率是：P=5故答案为：D．【分析】先画树状图，用树状图法确定所有等可能的结果数量和符合题意的结果数量，然后用概率公式解答即可．9．【答案】A【解析】【解答】解：延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，如图所示，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=∠ABC+∠CBE=180°∴∠ADC=∠CBE∵∠BAC=∠CAD=45°∴∠CBD=∠CDB=45°，∠DAB=90°∴DB是⊙O的直径，∴∠DCB=90°∴△DCB是等腰直角三角形，∴BC=DC，∵BE=AD∴△ADC≌△EBC(SAS)∴∠ACD=∠ECB，AC=CE，∵AB+AD=2∴AB+BE=AE=2又∵∠DCB=90°∴∠ACE=90°∴△ACE是等腰直角三角形∴AC=∵∠ABC=60°∴∠AFC=60°∵∠FAC=90°∴CF=∴OF=OC=故答案为：A．【分析】延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，根据直径的性质证三角形DCB是等腰直角三角形，根据SAS证三角形ADC和EBC全等，得三角形ACE是等腰直角三角形，求得AC的长度，根据圆周角定理证∠AFC=60°，利用三角函数求解即可。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵这20个点的横坐标，从0.1开始依次增加0.1，∴0.1+1.92=0.2+1.82=⋅⋅⋅0.9+1.12=1，

∴点A1与A19关于点（1，0）对称，即y1+y19=0，

∴y1∵y=x当x=0时，y=−1，即(0,∵(0,−1)关于点(1,即当x=2时，y20∴y1故答案为：D．【分析】根据题意得出y1+y19=0，y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，y10=0，y2011．【答案】-2【解析】【解答】解：∵零上3℃记作+3℃，

∴零下2℃记作−2℃．，故答案为：−2．【分析】一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．12．【答案】2（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，∴k>0，

∴k可以取2.故填：2（答案不唯一）．

【分析】根据反比例函数的性质，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．13．【答案】x=-3【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得

x（x-1）=（x+1）（x-3）

解之：x=-3，

经检验x=-3是原方程的根.

故答案为：x=-3.

【分析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.14．【答案】51【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，如图所示，由题意得：BD=102m，∵∠DCA=45°∴DC=AD∴tan63°=∴DC≈51m∴AB=BD−AD=102−51≈51m故答案为：51．【分析】过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，根据tan63°≈2，求出DC=AD≈51m，即可求解．15．【答案】k【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AN交AN于点G，如图所示，

设MN=a，设EG=1，∵四边形PQMN是正方形∴∠PMN=45°∴∠EMG=∠PMN=45°∴EG=MG=1在△AEG和△ABN中，∠EAG=∠BAN，∠AGE=∠ANB=90°∴△AEG∽△ABN∴∵BE=kAE∴AB=AE+BE=AE∴∴BN=1+k由题意可知，△ABN≌△DAM∴BN=AM=1+k∴AG=AM−GM=1+k−1=k∴∴a=∴AN=AG+GM+MN=k+1+∴正方形ABCD的面积S1正方形MNPQ的面积S∴∵k>1∴∴S故答案为：k2【分析】过点E作EG⊥AN交AN于点G，设MN=a，设EG=1，根据正方形的性质和等腰三角形的判定得EG=MG，证明△AEG∽△ABN，利用相似三角形对应边成比例，表示出AG，MN的长度，最后利用勾股定理表示出正方形ABCD和MNPQ的面积，解即可．16．【答案】②③④【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且0<m<1．∴对称轴为直线：x=−b2a=∵x=−b2a∴b<0，故①错误，∵0<m<1，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于1又∵a<0∴x=m−1时，y>1∴若0<x<1，则ax−12+b由①得−1∴−12<当a=−1时，抛物线解析式为y=−设顶点纵坐标为：t=∵抛物线经过（-1，1），∴−1−b+c=1∴c=b+2∴t=∵−1<b<0，14>0，对称轴为直线∴当b=0时，t取得最大值为2，而b<0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2由a<0可知抛物线开口向下，点A(x1,y1)，B(x∵x=x∴点A(x1,∴对称轴−解得：0<m≤12，故故答案为：②③④．【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得−12<−1+m2<0，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断17．【答案】解：x+3>1①2x−1≤x②

解不等式①，得：x>−2

解不等式②，得：x≤1

∴不等式组的解集为：−2<x≤1，

∴整数解为：-1，0，1【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从中确定整数解．18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，

∵AF=CE，

∴AD−AF=BC−CE，

即DF=BE，

在△ABE与△CDF中，

AB=CD∠B=∠DBE=DF，

∴（2）添加BE=AF（答案不唯一）

连接EF，如图所示．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，即AF∥BE，

当BE=AF时，四边形ABEF是平行四边形【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF=BE，利用SAS证明△ABE≌△CDF；（2）添加BE=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明．19．【答案】（1）解：m=15÷25%=60（人），

a=60×30%=18（人），

b=60-12-18-15-6=9（人），

∴n%=960×100%=15%，

∴n=15，

∵3（2）解：900×18+1260=450【解析】【分析】（1）基本关系：总数=部分÷部分所占的百分比，根据成绩为2分的人数除以占比，求得m的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得a=18，进而求得b=9，即可得出n的值；

（2）根据样本百分率估计总体的百率，据此求解。20．【答案】（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC与半圆O相切于点D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圆O的切线；（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°−∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴sin∠OAC=sin∠COD=又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，OC=OF+FC=OD+2∵OC∴解得：OD=3∴sin∠OAC=sin∠COD=CD【解析】【分析】（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，由等腰三角形三线合一的性质可证AO⊥BC，再根据AO平分∠BAC，结合AC与半圆O相切于点D，可推出ON=OD，即可证明；（2）由题意可得出∠OAC=∠COD，根据OF=OD，中利用勾股定理可求除OD，从而得到OC，最后解直角三角形即可求得答案．（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC与半圆O相切于点D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圆O的切线（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°−∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴sin∠OAC=sin∠COD=又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，OC=OF+FC=OD+2∵OC∴解得：OD=3∴sin∠OAC=sin∠COD=21．【答案】（1）解：作线段HI，使四边形CHBI是矩形，HI交BC于点D，做射线AD，点D即为所求作，如图所示：（2）解：作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，点E即为作求作，如图所示：（3）解：在AC下方取点F，使AF=CF=5（4）解：作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN，线段MN即为所求作，如图所示．【解析】【分析】（1）利用网格的特征，作矩形HBIC，根据矩形的性质，对角线HI交BC于点D，做射线AD即可；（2）根据网格的特征，作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，即可；（3）根据网格的特征，结合勾股定理，在AC下方取点F，使AF=CF=5，△ACF是等腰直角三角形，连接CF，AF，AF交BC于点G（4）利用网格的特征，作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN即可．22．【答案】（1）解：①a=−115，b=8.1．

②直线的解析式为y=−12x+8.1，抛物线的解析式为：y=−115x2+x，

∴y=−115x2+x=−115(x−152)2+154

∵−115<0，

∴最大值y=15（2）−【解析】【解答】（1）①由题意，得：抛物线y=ax2+x和直线y=−12x+b均经过点(9,3.6)

∴3.6=81a+9，3.6=−12×9+b

解得：a=−115，b=8.1．

（2）解：当水平距离超过15km时，

火箭第二级的引发点为（9，81a+9），

∵直线经过点（9，81a+9）和（15，0）

∴81a+9=−1（2）把点（9，81a+9）和（15，0）代入直线的解析式，求出a、b的值，即可求解．23．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠C=∠EBF=90°，

∵E，F分别是AB，BC的中点

∴BEAB=BFBC=12，

（2）证明：取DB的中点H，连接EH和HC，如图所示：

∵H是BD的中点，E是AB的中点，

∴EH∥AD，EH=12AD

又∵AD=2CF，

∴EH=CF，

∵AD∥BC，

∴EH∥FC

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EF∥CH

∴∠GFB=∠HCB

又∵∠BCD=90°，H是DB的中点，

∴HC=12BD=BH

∴∠HBC=∠HCB

∴∠GBF=∠GFB（3）解：EGGF【解析】【解答】解：（3）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，如图所示，

∵∠C=∠ADC=90°，FM⊥AD，

∴四边形MFCD是矩形，

∵AD=2CF=CD，

∴AM=MD=FC=12AD，

设AD=2a，则MF=CD=2a，AM=a

在Rt△AMF中，AF=a2+(2a)2=5a，

∵AG=FG，由（2）BG=FG

∴AG=BG，

又∵E是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴AF=BF，∠BEG=90°，

在△AFG,△BFG中，

AG=BGGF=GFFA=FB

∴△AFG≌△BFG(SSS)

设∠GBF=∠GFB=α，则∠GAF=∠GFA=α

∴∠BGE=∠GBF+∠GFB=2α，

又∵AD∥BC

∴∠MAF=∠AFB=∠GFA+∠GFB=2α

问题探究：取DB的中点H，连接EH和HC，得EH是△ABD的中位线，根据中位线定理，证明EFCH是平行四边形，利用平行四边形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而