湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷

2024年上学期期末质量监测试卷高一数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量，若，则的值为（）A.6B.4C.4D.62.复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.边长为2的正三角形的直观图的面积是（）A.B.C.D.4.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（）A.B.C.D.5.下列说法正确的是（）①已知为三条直线，若异面，异面，则异面；②若不平行于平面，且，则内的所有直线与异面；③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；④若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则，三点共线.A.①②B.③④C.①③D.②④6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A.B.C.D.7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，则的最小值为（）A.2B.4C.D.8.某工业园区有共3个厂区，其中，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.给定一组数，则（）A.平均数为3B.标准差为C.众数为2D.分位数为510.有6个相同的小球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，为偶数，，则（）A.B.与相互独立C.与相互独立D.与相互独立11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（）A.平面B.直线与平面所成的角为C.若点为棱上的动点，则的最小值为D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师､中年教师､青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为__________.13.拋两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为，则能够构成三角形三边长的概率为__________.14.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.用表示为__________；若为上一动点且__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.16.（本小题15分）在某电视节目中，有5位歌手（1到5号）依次登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“”的事件概率.17.（本小题15分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.18.（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题17分）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.（1）试将写成三角形式；（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；（3）计算：的值.2024年上学期期末质量监测参考答案（高一数学）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.B2.D3.A4.C5.B6.A7.C8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.AD10.ACD11.AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1813.14.；四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：如图，，，合速度的方向与水流的方向成的角设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，小船航行速度的大小为.16.解：（1）设表示事件“观众甲选中3号歌手”，表示事件“观众乙选中3号歌手”，则.事件与相互独立，与相互独立，则表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”..即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.（2）设表示事件“观众丙选中3号歌手”，则，依题意，相互独立，相互独立，且彼此互斥.又.，，.17.解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，该市居民用水的平均数估计为：；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.18.解：平面平面，又四边形是矩形，，平面，平面，又是的中点，，，所以平面（2）解：底面是矩形，异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面平面，平面为直角三角形，又是的中点，，在中，即为异面直线与所成角，故，异面直