2024-2025学年课时作业人教A版数学课时作业13

课时作业13基本不等式的实际应用基础强化1.在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)B．a2C．b2D．ab2．某商场春节前t天年糕销售总量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，则该商场前t天的年糕平均销售量最少为()A．18B．27C．20D．163．某公司计划建造一间体积为600m3的长方体实验室，该实验室高为3m，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为(参考数据：eq\r(2)≈1.414)()A.9.91万元B．9.95万元C．10.1万元D．10.5万元4.校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形(小矩形)场地用来展示校友的书画作品．它的左、右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域(大矩形)面积的最小值是()A．360平方米B．384平方米C．361平方米D．400平方米5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是()A．当x＝40时，y取得最小值B．当x＝45时，y取得最小值C．ymin＝320D．ymin＝3606．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a>0，b>0，a＋b＝2，则()A．0<a≤1B．0<ab≤1C．a2＋b2≥2D．0<b<27．已知某产品总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝40Q2＋16000.设年产量为Q时的平均成本为f(Q)(单位：元/件)，那么f(Q)的最小值是________．8．已知直角三角形的面积等于50cm2，则该三角形的周长的最小值为________cm.9.如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积为1250m2，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200m，如何设计可使苗圃面积最大？10.如图，长为6米，宽为4米的长方形(ABCD)草坪，截去一个三角形(DEF)区域，得到一个五边形(ABCFE)区域．设DE＝a米，DF＝b米．(1)用a，b表示△DEF的周长L，并写出a，b的取值范围；(2)当△DEF的周长L＝4＋2eq\r(2)米时，求五边形ABCFE的面积S的最小值，并求此时a，b的值．能力提升11.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a，b，设物体的真实质量为G，则()A．eq\f(a＋b,2)＝GB．eq\f(a＋b,2)<GC．eq\f(a＋b,2)>GD．eq\r(ab)<G12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq\f(30t,t2＋9)，则当水池中药品的浓度达到最大时，t＝()A.1hB．3hC．5hD．6h13．白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元/斤(a≠b)，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价分别记为m1，m2，则下列结论正确的是()A．m1＝m2B．m1>m2C．m2>m1D．m1，m2的大小无法确定14．(多选)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步恰能见到此树(注：1里≈300步)，则该小城的周长可能为()A．4eq\r(10)里B．6eq\r(10)里C．9eq\r(10)里D．10eq\r(10)里15.一批货物随17列货车从A市以vkm/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列货车间距离不得小于(eq\f(v,20))2km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________km/h.16.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36000cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设EF＝xcm.(1)当x＝100cm时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?课时作业131．解析：由题知矩形周长为定值2(a＋b)，所以面积S＝a·b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，当且仅当a＝b时取“＝”．故选A.答案：A2．解析：因为某商场春节前t天年糕销售总量f(t)＝t2＋12t＋16(0<t≤30)，所以该商场前t天的年糕平均销售量为eq\f(f（t）,t)＝t＋eq\f(16,t)＋12≥2eq\r(t·\f(16,t))＋12＝20，当且仅当t＝eq\f(16,t)，即t＝4时取等号，所以该商场前t天的年糕平均销售量最少为20.故选C.答案：C3．解析：由题意得，地面面积和天花板面积均为200m2，设实验室造价为y元，地面的长为xm，则宽为eq\f(200,x)m，墙壁面积为(6x＋eq\f(1200,x))m2，所以y＝(120＋240)×200＋160×(6x＋eq\f(1200,x))≥72000＋320eq\r(6x·\f(1200,x))＝72000＋19200eq\r(2)≈9.91(万元)，当且仅当6x＝eq\f(1200,x)，即x＝10eq\r(2)时，等号成立．故选A.答案：A4．解析：设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米．由xy＝225，得S＝(x＋4)(y＋4)＝xy＋4y＋4x＋16＝241＋4x＋4y≥241＋2eq\r(4x×4y)＝241＋2×60＝361，当且仅当4x＝4y，即x＝15，y＝15时，等号成立．故整个书画展区域面积的最小值是361平方米．故选C.答案：C5．解析：一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买eq\f(800,x)次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝eq\f(800,x)×8＋4x万元．因为y＝eq\f(800,x)×8＋4x≥2eq\r(\f(6400,x)×4x)＝320，当且仅当eq\f(6400,x)＝4x，即x＝40时，等号成立，所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320.故选AC.答案：AC6．解析：∵a>0，b>0，b＝2－a.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,2－a>0))，解得0<a<2，同理0<b<2，则A不正确，D正确；∵ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))eq\s\up12(2)＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，∴0<ab≤1，则B正确；∵a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(22,2)＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a2＋b2≥2，则C正确．故选BCD.答案：BCD7．解析：因为某产品总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝40Q2＋16000.所以年产量为Q时的平均成本为f(Q)＝eq\f(C,Q)＝40Q＋eq\f(16000,Q)≥2eq\r(40Q·\f(16000,Q))＝1600，当且仅当40Q＝eq\f(16000,Q)，即Q＝20时，f(Q)取得最小值，最小值为1600.答案：16008．解析：由直角三角形的面积等于50cm2可设两条直角边长分别为xcm、eq\f(100,x)cm，则该直角三角形的周长为x＋eq\f(100,x)＋eq\r(x2＋\f(10000,x2))≥2eq\r(x·\f(100,x))＋eq\r(2\r(x2·\f(10000,x2)))＝10eq\r(2)＋20(cm)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(100,x),x2＝\f(10000,x2),x>0))时，即当x＝10时，等号成立．故该三角形的周长的最小值为20＋10eq\r(2)cm.答案：20＋10eq\r(2)9．解析：(1)设苗圃的长，宽分别为a，b，则ab＝1250，所以2a＋b≥2eq\r(2ab)＝100，当且仅当2a＝b，即a＝25，b＝50时取等号，故栅栏总长的最小值为100米．(2)由题可得2a＋b＝200，所以ab＝eq\f(1,2)×2ab≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝5000，当且仅当2a＝b，即a＝50，b＝100时取等号，故当长为50米宽为100米时苗圃面积最大，最大值为5000平方米．10．解析：(1)由题意得L＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)，0<a<6，0<b<4.(2)a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝4＋2eq\r(2)，由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)，eq\r(a2＋b2)≥eq\r(2ab)，当且仅当a＝b时等号成立，故4＋2eq\r(2)≥(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，得ab≤4，S＝24－eq\f(1,2)ab，故S的最小值为22，此时a＝b＝2.11．解析：设天平的左右臂分别为l1，l2，物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b，真实重量为G，所以，由杠杆平衡原理知：l1·G＝l2·a，l2·G＝l1·b，所以，由上式得G2＝ab，即G＝eq\r(ab)，因为l1≠l2，a≠b，所以，由均值不等式eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)＝G，故选C.答案：C12．解析：由题意可知，t>0，所以eq\f(9,t)>0，所以C＝eq\f(30t,t2＋9)＝eq\f(30,t＋\f(9,t))≤eq\f(30,2\r(t·\f(9,t)))＝5，当且仅当t＝eq\f(9,t)，即t＝3时取等号．所以当t＝3时，水池中药品的浓度达到最大．故选B.答案：B13．解析：根据题意可得m1＝eq\f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).当且仅当a＝b时等号成立；m2＝eq\f(6a＋6b,12)＝eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，由题意可得a≠b，所以m1<eq\r(ab)，m2>eq\r(ab)，则m2>m1.故选C.答案：C14．解析：设GF＝x步，EF＝y步，由△BEF∽△FGA得eq\f(BE,GF)＝eq\f(EF,GA)，所以eq\f(1200,x)＝eq\f(y,750)，y＝eq\f(900000,x)，所以小城周长为z＝2(2x＋2y)＝4(x＋eq\f(900000,x))≥4×2eq\r(x·\f(900000,x))＝2400eq\r(10)(步)＝8eq\r(10)(里)，当且仅当x＝eq\f(900000,x)，即x＝300eq\r(10)