第01讲空间向量的概念与运算（秋季讲义）（人教A版2019选择性）

第01讲空间向量的概念与运算【人教A版2019】模块一模块一空间向量及其线性运算1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.4．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型1空间向量的线性运算及其含参问题】【例1.1】（2324高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E,F分别为BC,AE的中点，G为△ACD的重心，则FG=（

A．−B．−C．1D．1【解题思路】根据空间向量的线性运算，将FG用AB,【解答过程】因为E,F分别为BC,AE的中点，所以AF=因为G为△ACD的重心，所以AG=所以FG=故选：B.【例1.2】（2324高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体ABCD中，点E满足DE=λDC，F为BE的中点，且AF=1A．14 B．13 C．12【解题思路】由空间向量线性和基本定理运算可解.【解答过程】由F为BE的中点，得AF又AF所以AE=2得AE即AE=λAC故选：D.

【变式1.1】（2324高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则EF=（

A．12AD−C．AF−12【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项判断即可.【解答过程】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF=对于B，EF=对于C，EF=对于D，EF=故选：AC.【变式1.2】（2223高二上·广西防城港·期末）如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若OE=12OD+xA．−2 B．0 C．−1 D．3【解题思路】根据向量的线性运算的几何表示，得出OE=【解答过程】∵E为OC的中点，∴OE∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∴OE∵OE∴x=12，∴x+y=0，故选：B.【题型2向量共线的判定及应用】【例2.1】（2324高二上·辽宁·期中）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=−3eA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】把A、C、D三点共线转化为满足CD=yAC，列方程组，求出【解答过程】因为AB=−3e1所以AC=因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的即4e即4=−2y2=yλ−18=−4y故选：A.【例2.2】（2324高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（A．12 B．23 C．34【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.【解答过程】如图：连接DG交BC于H，则H为BC中点，连接AH,EH,AG,因为AG⊂平面AHD，EH⊂平面AHD，设AG∩EH=K，则K∈EH,K∈AG，又EH⊂平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点，又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合，又E为AD的中点，G为平面BCD的重心，因为点A，F，G三点共线，则AF=m=又因为点E，F，H三点共线，则AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故选：C.【变式2.1】（2324高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.【解答过程】因为AB=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=−所以BC//BD，又所以B，C，D三点共线．【变式2.2】（2324高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求证：E，F，B三点共线.【解题思路】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=3【解答过程】解：（1）因为A1E=2所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.【题型3向量共面的判定及应用】【例3.1】（2324高二上·江西九江·期末）对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=1是A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解题思路】根据共面向量定理判断点P满足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，向量AP，AB，AC共面，得到P，【解答过程】解：若x+y+z=1，则OP=1−y−zOA由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，OA=0，x可取任意值，不一定有所以x+y+z=1是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件．故选：B．【例3.2】（2324高二上·山东聊城·期中）在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=12OA+16OB+λOC，若A．12 B．13 C．512【解题思路】根据向量共面定理求解．【解答过程】由题意MA=OA−OM=∵MA，MB，MC共面，∴存在实数唯一实数对(m,n)，使得MA=m12OA−∴−12m−故选：B．【变式3.1】（2324高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【解题思路】利用共面向量定理证明，由EG=【解答过程】证明：因为从▱ABCD所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足OEOA=OFOB=OGOC=OH而在▱ABCD中，有AC=EG=k=EF故E，F，G，H四点共面，证毕.【变式3.2】（2324高二·全国·课后作业）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)求证：平面ABCD//平面EFCH(3)求证：OG=k【解题思路】（1）利用空间向量共面定理即可求证；（2）由空间向量线性运算可得EG=kAC，由空间向量共线定理可证明AC//EG，再由线面平行的判定定理可得EG//平面ABCD（3）由（2）知EG=k【解答过程】（1）因为AC=AD+m所以AC，AD，AB共面，即A，B，C，D四点共面．因为EG=EH+m所以EG，EH，EF共面，即E，F，G，H四点共面．（2）连接HF，BD，EG=kAD+kmAB又因为EG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EG//平面ABCD因为FH=OH−又FH⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FH//平面ABCD因为EG与FH相交，所以平面ABCD//平面EFGH（3）由（2）知EG=kAC，所以模块二模块二空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【题型4求空间向量数量积及其最值】【例4.1】（2324高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60∘,OB=OC=2OA=2,E为OC的中点，则AEA．1 B．0 C．1 D．3【解题思路】由题意可得AE=【解答过程】因为∠AOB=∠AOC=∠BOC=60所以OC⋅OA⋅OA⋅因为AE=AE=1故选：C.【例4.2】（2324高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一内切球O，点A．−2,2 B．0,2 C．−2,4 D．0,4【解题思路】建立空间直角坐标系，设出点P(x,y,z)，可知PA⋅PC=x−12+y−1【解答过程】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，设点P(x,y,z)，所以PA=(2−x,−y,−z)，PC所以PA⋅因为x−12+y−12+所以当点P的坐标为P(1,1,2)时，PA⋅PC取得最大值为当P与点M(1,1,0)重合时，PA⋅PC取得最小值所以PA⋅PC的取值范围为：故选：A.【变式4.1】（2324高二上·河南·阶段练习）正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅PN的最大值为（A．13 B．43 C．16【解题思路】求出正四面体内切球的半径，确定弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心O，由数量积运算律得PM⋅PN=【解答过程】如图,正四面体ABCD中，AH是四面体的高，AH与底面上直线CH垂直，由对称性知其内切球球心O必在高AH上，利用体积法（四面体ABCD的体积等于四个三棱锥O−ABC,O−ABD,O−BCD,O−ACD的体积和）可得OH=1而CH=23×所以OH=14AH=66弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心O，PM⋅PN=(PO+易知当P是正四面体ABCD的四个顶点时，PO最大，所以PM⋅PN的最大值是故选：B．【变式4.2】（2324高三上·浙江杭州·阶段练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，空间中存在一动点PA．存在点P，使得I1=I2 C．对任意的点P，有I1>I2 【解题思路】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由B1P=1，设P的坐标为x,y,z，可得x、y、z的取值范围都为−1,1【解答过程】以B1A1为x轴，B1C1为y轴，则B0,0,2，A4,0,2、D4,3,2，C所以AB=−4,0,0，AP=x−4,y,z−2，AD=因为B1P=1，所以，x2+y2I1=ABI3I1I1−I3=−3y+2B1P=I2故选：C．【题型5空间向量的夹角、垂直问题】【例5.1】（2324高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AAA．23 B．−23 C．3【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求AA【解答过程】因为A=所以AAcosA故选：B.【例5.2】（2324高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．2−34 C．2−34或2+34 【解题思路】首先根据OA为单位向量得到m2+n2=1，再利用OA与OC的夹角等于π4，得【解答过程】∵空间两个单位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p与向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA⋅OC=m+n又OA为单位向量，∴m联立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故选：C.【变式5.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD【解题思路】（1）利用数量积的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用数量积运算律可得AO⋅（3）利用数量积运算律得AO⋅CD1=0【解答过程】（1）正方体ABCD−A1B故CD（2）由题意知，AB⋅AO=AO=故AO⋅故cosAO（3）由题意，AB⋅AO=1故AO与CD【变式5.2】（2324高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求证：D,M,B(2)当AA1AB【解题思路】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得DN=（2）设AA1=c，【解答过程】（1）在平行六面体ABCD−A1B因为A1所以MBDN=所以DN=MB1，即DN=MB1且（2）当AA1AB设AA1=c，AD=b，AB=a，且c与因为底面ABCD为菱形，所以b=∵A∵A若AC1⊥AC即a2解得a=c或即AA1AB【题型6利用空间向量的数量积求模】【例6.1】（2324高二上·湖北荆门·期末）已知平面α和平面β的夹角为60°，α∩β=l，已知A，B两点在棱上，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=BD=6，则CD的长度为（

）A．213 B．231 C．62 D．【解题思路】由题意可得二面角的大小为60°或120°，则CA,BD=60°或120°，将CD【解答过程】平面α和平面β的夹角为60°，则二面角的大小为60°或120°，因为AC⊥AB,BD⊥AB，所以CA,BD=60°由题可知CD=∴=36+16+36+0+0+2×6×6×±故CD2=52或∴CD=213故选：D.【例6.2】（2324高三下·北京·开学考试）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A．1,2 B．62,3 C．【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【解答过程】以D为坐标原点，以DA,DC,建立如图所示的空间直角坐标系，设Pa,b,1，M则A1,0,0,B1,1,0因为AP⊥平面MBD1，所以即AP⋅BD所以AP=t,1−t,1，所以又0≤t≤1，所以当t=12时，即M是CC1的中点时，当t=0或1，即M与点C或C1重合时，AP取得最大值2所以线段AP长度的取值范围为62故选：C.【变式6.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足(1)用向量OA，OB，(2)求|OP【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算OP2【解答过程】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足ON=2NM，点P满足所以OP=OA+（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，所以OA=OB=所以OA⋅所以OP==116+【变式6.2】（2324高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=

(1)求AB⋅(2)求A1【解题思路】（1）根据AB⋅（2）化简可得A1O=12【解答过程】（1）AB⋅（2）因为A1所以A===9+4+18+6−18−12所以A1O的长为模块模块三空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【题型7空间向量平行、垂直的坐标运算】【例7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知a=(1)若a∥b，分别求λ与(2)若a=5，且与c=【解题思路】（1）利用向量平行的条件即可求解；（2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解.【解答过程】（1）因为a∥所以设λ+1,1,2λ=k所以λ+1=6k1=k2m−12λ=2k所以λ=15，（2）因为a=5，且与所以λ+12+12+故a=【例7.2】（2324高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量a=(1)若c//a，且a⋅(2)若a⊥b，且m>0,n>0，求【解题思路】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解.（2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立.【解答过程】（1）由题意c//a，a=又a⋅从而a⋅解得λ=2，所以c=λ（2）由题意a⊥b，所以a⋅又因为m>0,n>0，所以由基本不等式可得2m+3n=4≥26mn，等号成立当且仅当m=1,n=解得mn≤2所以当且仅当m=1,n=23时，mn的最大值为【变式7.1】（2324高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量a=(1)求a−2(2)当c=22时，若向量ka+b与c(3)若向量c与向量a,b共面向量，求【解题思路】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.（3）根据向量共面定理，建立向量c与向量a,【解答过程】（1）∵a=−2,−1,2∴a∴a（2）因为|c所以x2+2因为ka+b=(−2k−1,1−k,2k+2)，且向量所以(ka+即2−2k+4k+4=2k+6=0，∴k=−3．所以实数x和k的值分别为0和−3；（3）解：设c=λa+μ则(x,2,2)=λ(−2,−1,2)+μ(−1,1,2)解得，x=−即c=−所以向量c与向量a，b共面．【变式7.2】（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）已知点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，(1)求a，b夹角的余弦值．(2)若向量ka+b，k(3)若向量λa−b，a【解题思路】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.（3）利用共线向量定理可求参数的值.【解答过程】（1）a=(1,1,0)，b故cos〈（2）由（1）可得ka+b因为向量ka+b，k整理得到：2k2+k−10=0，故k=2（3）由（1）可得a,b不共线，故λa若向量λa−b，a−λb整理得到：(λ−t)a因为a,b不共线，故{λ−t=0tλ−1=0，故故λ=±1.【题型8空间向量模长、夹角的坐标运算】【例8.1】（2324高二下·重庆北碚·阶段练习）已知a=x,0,3,b=1,2,−1,c=1,z,1，a⊥A．π6 B．π3 C．23【解题思路】根据空间向量的平行、垂直关系求x,z，再根据空间向量的坐标运算求夹角.【解答过程】∵a⊥b，∴x×1+0×2+3×−1=x−3=0，解得又∵a∥c，注意到a≠0，则∃λ∈R，使得∴3λ=1z=0，解得λ=13∴b+∴cosa,b∴a,故选：B.【例8.2】（2324高二下·辽宁·阶段练习）在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F在直线CE上，则AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【解题思路】以O为原点，分别以OC，OD，OP的方向为x轴、y轴和z轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设PE=λPD=0,2λ,−2λ和【解答过程】如图所以，连接AC，BD，记AC∩BD=O，连接OP，由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以OC，OD，OP的方向为x轴、y轴和z轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA=AB=2，所以A−2,0,0，C2,0,0则CA=−22设PE=λPD=从而CE=故点A到直线CE的距离d=C即AF的最小值是26故选：D.【变式8.1】（2324高二上·山东聊城·阶段练习）已知a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=3,−2,z，A．−219 B．219 C．2【解题思路】由向量的平行和垂直可得关于x,y,z的关系式，解得x,y【解答过程】解：因为a//所以x−2解得x=2，y故b=(−2,−4,−1)又因为b⊥c，所以b⋅c=0所以a=(2,4,1)，c=(3,−2,所以a+c=(5,2,3)，b+c所以(a|a|b设a+c与b+则cos〈a故选：A.【变式8.2】（2324高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（

A．24 B．22 C．104【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF的函数关系求解即可.【解答过程】三棱锥A−BCD中，过C作Cz⊥平面BCD，由∠BCD=π2，知以C为原点，直线CD,CB,Cz分别为x,y,z建立空间直角坐标系，如图，

由AB⊥平面BCD，得AB//Cz，则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,1令DE=tDP=t(−1,1,12于是|EF当且仅当t=32,m=t2故选：B.一、单选题1．（2324高二下·江苏南通·期末）在三棱锥O−ABC中，已知BE=23BC，G是线段AE的中点，则A．12OA+C．13OA+【解题思路】连接OE,利用空间向量的基本定理求解即可.【解答过程】连接OE，因为G是线段AE的中点，所以OG因为BE=2所以OG故选：D.2．（2324高二下·江苏泰州·阶段练习）O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【解题思路】将AP=−14OA+【解答过程】因为AP=OP−OA，所以AP=−由于A，B，C，P四点共面，则34+1故选：C.3．（2324高二上·河北沧州·期末）已知a=2,−1,−1，b=k,−1,2，若a+b与A．−52 B．−2 C．2 【解题思路】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可.【解答过程】a+b=k+2,−2,1，∴故选：A．4．（2324高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC，则cosOA,BCA．12 B．22 C．−【解题思路】先利用题给条件求得OA⋅BC的值，进而求得【解答过程】如图所示，∵OA=OA又OB=OC，∠AOB=∠AOC，则OA∴OA⊥BC，∴OA,故选：D.5．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，若正实数x,y满足OD=xOA+2yOB−A．52 B．92 C．2【解题思路】由四点共面可得x+2y=2，再由“1”的技巧及均值不等式求解.【解答过程】由A,B,C,D四点共面，可知x+2y−1=1，即x+2y=2，由x>0,y>0，2x+y≥125+22xy故选：B.6．（2324高二上·江西吉安·期末）在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AB=2，MA=5，点F在线段MC上，且CF=λCM，当BC⋅AFA．12 B．23 C．13【解题思路】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可.【解答过程】以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

∵AB=2，MA=5∴A0,0,0，B3,1,0，M∴BC=−3已知F是棱MC上一点，CF=λCM（则AF=∵BC⋅AF=43故选：C.7．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1中点，MA．1 B．52 C．2 D．【解题思路】建立空间直角坐标系，设Px,y,z，从而求得−34【解答过程】

如图，建立空间直角坐标系，设Px,y,z则D0,0,0所以EF=−1因为DP⋅EF+所以−34x−所以DP2又0≤x≤1,0≤y≤1，所以x2+y2+所以DP的最大值是3.故选：D.8．（2324高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足ME⋅MF=−40，AB是正方体的一条棱，则AMA．162−4 B．162−2 C．【解题思路】由空间向量的数量积运算计算可得|MO|=22，即可得M【解答过程】取EF的中点O,EF=8则ME⋅MF=(MO+所以|MO|=22所以M在以O为球心，22可知AM在AB上的投影数量最小值为AN=AH−r=4−22所以AM⋅AB的最小值为所以AM⋅AB的最小值为故选：B．二、多选题9．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若p=2x+3y，则p与B．若MP=2MA+3C．若OA+OB+D．若OP=12【解题思路】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对OP=12【解答过程】选项A，根据共面向量基本定理可知，p与x，y共面；所以选项A是正确的；选项B，根据共面向量基本定理可知，MP,MA,所以M，选项C，举反例说明，若OA，OB，OC是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O为起点的对角线向量，而OD是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点A，选项D，由OP=12则0=3OA−3则PC=故选：ABD．10．（2324高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量OA→=m,n,0,OB→=A．2+34 C．2−34 【解题思路】首先根据OA为单位向量得到m2+n2=1，再利用OA与OC的夹角等于π4，得【解答过程】∵空间两个单位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p与向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA⋅OC=m+n又OA为单位向量，∴m联立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故选：AC.11．（2324高一下·山东淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（

）A．若a=b，则aB．若a+bC．若a=b=a+bD．在正方体ABCD−A1【解题思路】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。【解答过程】对于A，若a=b，但a，对于B，若a+b=则a⋅对于C，a=b=a+故a⋅a−故cos〈而〈a,a−b〉∈[0,π对于D，在正方体ABCD−A1B故四边形AA1C故AC=故选：BD.三、填空题12．（2324高二下·上海·期中）已知空间向量a=x,1,−2与b=1,−1,2夹角为钝角，则实数x的取值范围为【解题思路】根据条件，利用a⋅b<0【解答过程】因为空间向量a=x,1,−2与所以cosa,b=a由x1=1−1=−22，得到x=−1所以实数x的取值范围为(−∞故答案为：(−∞13．（2324高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AD=2BC，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设PF=xPA+yPB+zPE，则【解题思路】设PF=λPC，以PA,PB,PE为基底表示PF，由A,B,E,F共面，求出λ，可得【解答过程】PC=设PF=λ由A,B,E,F共面，有−λ2+λ+λ=1，解得λ=又PF=xPA+y则y+z−2x=2故答案为：2314．（2324高二下·河北唐山·期末）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC【解题思路】建立空间直角坐标系，设CP=mCB【解答过程】以C1为坐标原点，分别以C1D则C1设CP=m则C1D1P=则C1P⋅因为0≤m≤1，所以当m=0时，C1故答案为：3.四、解答题15．（2324高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C(1)BD(2)BD1与【解题思路】（1）表达出BD1=−a+c+（2）计算出AC=23，【解答过程】（1）设AB=a，AD=b，AA∴a⋅又∵BD∴BD∴BD1=2