专题56二次函数（全章直通中考）（提升练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题5.6二次函数（全章直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2015·浙江台州·统考中考真题）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4）2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（

）．A．第一、二象限B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限3．（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或5．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．（为实数）6．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（）A． B．或C．或 D．或7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（

）x124y421A． B．C． D．8．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…10123…y…301m3…以下结论正确的是（

）A．抛物线的开口向下B．当时，y随x增大而增大C．方程的根为0和2D．当时，x的取值范围是9．（2019·广西玉林·统考中考真题）已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（

）A． B． C．﹣2或 D．﹣4或10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．48填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为．12．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是．13．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是．14．（2022·湖南湘西·统考中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

15．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．16．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为．17．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）18．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，（1）若它的图象过点，则t的值为多少？（2）当时，y的最小值为，求出t的值：（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．20．（8分）（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．（1）当时，求和的值；（2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；（3）求证：．21．（10分）（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；（2）求的面积．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．22．（10分）（2021·河南·统考中考真题）如图，抛物线与直线交于点A（2，0）和点．（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．23．（10分）（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…（1）若，求二次函数的表达式；（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．24．（12分）（2023·辽宁丹东·统考中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？参考答案：1．B解：根据二次函数的性质可得：对称轴为直线x=3，则在对称轴上所有的点的横坐标为3．故答案为：B【点拨】考点：二次函数的对称轴，直线上的点．2．D【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．解：抛物线与直线交于，两点，，．，∵，．当，时，直线经过第一、三、四象限，当，时，直线经过第一、二、四象限，综上所述，一定经过一、四象限．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．3．D【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上∴点在抛物线上故选：D【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．解：∵抛物线与x轴有交点，∴有实数根，∴即解得：或，当时，如图所示，

依题意，当时，，解得：，当时，，解得，即，当时，当时，，解得：∴

综上所述，或，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．C【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D．解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故A中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，故B中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，又∵，∴，故C中结论正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为，∴，∴，故D中结论错误，不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．6．D【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．解：∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．7．C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．解：A、若直线过点，则，解得，所以，当时，，故不在直线上，故A不合题意；B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．【点拨】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．C【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．解：将代入抛物线的解析式得；，解得：，所以抛物线的解析式为：，A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．9．A【分析】先表示出平移后的函数为，得到，，求出Q点的横坐标为：，代入求得，再根据等腰直角三角形的性质得到，解出m即可求解.解：抛物线沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到∴，，∴Q点的横坐标为：，代入求得，若，则是等边三角形，∴，由勾股定理得，，解得，故选A．【点拨】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质.10．B【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．解：当时，由题意可知，，在中，由勾股定理得，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，当时，由题意可知，，设，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．

故选：B．【点拨】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．11．/【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．解：，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若，当时，y随x的增大而减小，此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，若，当时，函数值y最小，最小值为1，∴，解得：或（舍去）；综上所述，a的值为．故答案为：【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．解：点到轴的距离小于2，，点在二次函数的图象上，，当时，有最小值为1．当时，，的取值范围为.故答案为：【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．13．或【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，当时，且抛物线过点时，，解得（舍去），当，抛物线与线段只有一个公共点时，即顶点在直线CD上，则，解得，当时，且抛物线过点时，，解得，当抛物线过点时，解得，m=1由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，，综上所述，的取值范围为或，故答案为或．【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．14．【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即解得，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，故答案为：．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．15．02【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值解：（1）将代入得：故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：由抛物线顶点坐标得新抛物线顶点的纵坐标为：∵∴当a=1时，有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是故答案为：2【点拨】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法16．1或【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可解：当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足，解得；当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，此时满足，解得或，当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．故答案为：1或【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．17．①③④【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函数的解析式是，∴a=1＞0，故①正确；当时，y有最小值，故②错误；若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点拨】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．18．或【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点代入抛物线的解析式，得出m的值，确定的坐标，再根据点的坐标分情况画图求解，即可求出点关于直线的对称点坐标．解：∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，∴当时，，当时，，∴，∴，∴，∵是抛物线上的点，∴，解得，∴当时，，当时，，①当时，此时点与点重合，如图1，设点关于直线对称点为，连接，∵点与点关于直线对称，∴是的垂直平分线，∴，且，∴，∴；②当时，∴轴，∴如图2，设点关于直线的对称点为M，连接，∵点关于直线的对称点为M，∴是的垂直平分线，∴，∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．综上可得：点关于直线的对称点的坐标为或．故答案为：或【点拨】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．19．（1）；（2）；（3）或【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可得；（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．解：（1）将代入中，得，解得，；（2）抛物线对称轴为．若，当时，函数值最小，，解得．，若，当时，函数值最小，，解得（不合题意，舍去）综上所述．（3）关于对称轴对称，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，此交点关于对称轴的对称点为且，解得．当A，B都在对称轴左边时，，解得，当A，B分别在对称轴两侧时到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，解得综上所述或．【点拨】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．20．（1）；（2）；（3）见分析【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．（1）解：当时，图像过点和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函数图像过点和，∴函数图像的对称轴为直线．∵图像过点，∴根据图像的对称性得．∵，∴．（3）解：∵图像过点和，∴根据图像的对称性得．∴，顶点坐标为．将点和分别代人表达式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．21．（1）抛物线对应的解析式，；（2）【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可；（2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案．解：（1）抛物线经过点，，，解这个方程组，得．抛物线对应的解析式．点是抛物线的顶点坐标，，即：，，．（2）如图，连接OP．

，，，，，，．，．【点拨】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键．22．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．【分析】（1）把A（2，0）分别代入两个解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得点B的坐标为（1，3），数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．解：（1）∵点A（2，0）同时在与上，∴，，解得：，；（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，解方程，得：．∴点B的横坐标为，纵坐标为，∴点B的坐标为（1，3），观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，∴不等式>的解集为或；（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，∵点A（2，0），点B（1，3），∴点A1（1，0），点B1（4，3），∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN为AA1、BB1相互平行的线段，对于抛物线，∴顶点为（1，1），如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时，当线段MN经过抛物线的顶点（