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第三节等比数列及其前n项和[考纲](教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.(对应学生用书第84页)[基础知识填充]1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为eq\f(an+1,an)=q(n∈N+,q为非零常数).(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,eq\f(G,a)=eq\f(b,G),G2=ab,G=±eq\r(ab),那么G叫作a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1(q=1),,\f(a1(1-qn),1-q)=\f(a1-anq,1-q)(q≠1).))3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N+).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),则am·an=ap·aq=aeq\o\al(2,k);(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))),{aeq\o\al(2,n)},{an·bn},eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列;(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.[基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=eq\f(a(1-an),1-a).()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=eq\f(1,4),则公比q=()A.-eq\f(1,2)B.-2C.2D.eq\f(1,2)D[由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=eq\f(1,4),②由②÷①得q3=eq\f(1,8),解得q=eq\f(1,2).故选D.]3.(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则eq\f(a2,b2)=________.1[设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则由a4=a1+3d,得d=eq\f(a4-a1,3)=eq\f(8-(-1),3)=3,由b4=b1q3得q3=eq\f(b4,b1)=eq\f(8,-1)=-8,∴q=-2.∴eq\f(a2,b2)=eq\f(a1+d,b1q)=eq\f(-1+3,-1×(-2))=1.]4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.27,81[设该数列的公比为q,由题意知,243=9×q3,q3=27,∴q=3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=__________.6[∵a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又∵Sn=126,∴eq\f(2(1-2n),1-2)=126,解得n=6.](对应学生用书第85页)等比数列的基本运算(1)在等比数列{an}中,a3=7,前3项和S3=21,则公比q的值为()A.1 B.-eq\f(1,2)C.1或-eq\f(1,2) D.-1或eq\f(1,2)(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于__________.(1)C(2)2n-1[(1)根据已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2=7,,a1+a1q+a1q2=21,))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))②÷①得eq\f(1+q+q2,q2)=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-eq\f(1,2).(2)设等比数列的公比为q,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a1q3=9,,a\o\al(2,1)·q3=8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,q=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=8,,q=\f(1,2).))又{an}为递增数列,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,q=2,))∴Sn=eq\f(1-2n,1-2)=2n-1.][规律方法]解决等比数列有关问题的两种常用思想1方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程组求关键量a1和q,问题可迎刃而解.2分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=eq\f(a1(1-qn),1-q)=eq\f(a1-anq,1-q).[跟踪训练](1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏 B.3盏C.5盏 D.9盏(2)(2018·广州综合测试(二))在各项都为正数的等比数列{an}中,已知a1=2,aeq\o\al(2,n+2)+4aeq\o\al(2,n)=4aeq\o\al(2,n+1),则数列{an}的通项公式an=________.【导学号:79140176】(3)(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+8a4=0,则eq\f(S4,S3)=()A.-eq\f(5,3) B.eq\f(15,7)C.eq\f(5,6) D.eq\f(15,14)(1)B(2)2eq\s\up12(eq\f(n+1,2))(3)C[(1)设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2,所以S7=eq\f(a1(1-q7),1-q)=eq\f(a1(1-27),1-2)=381,解得a1=3.故选B.(2)设数列{an}的公比为q(q>0),由aeq\o\al(2,n+2)+4aeq\o\al(2,n)=4aeq\o\al(2,n+1),an>0,得(anq2)2+4aeq\o\al(2,n)=4(anq)2,整理得q4-4q2+4=0,解得q=eq\r(2)或q=-eq\r(2)(舍去),所以an=2×2eq\s\up12(eq\f(n-1,2))=2eq\s\up12(eq\f(n+1,2)).(3)在等比数列{an}中,因为a1+8a4=0,所以q=-eq\f(1,2),所以eq\f(S4,S3)=eq\f(\f(a1(1-q4),1-q),\f(a1(1-q3),1-q))=eq\f(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))4,1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))3)=eq\f(\f(15,16),\f(9,8))=eq\f(5,6).]等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=eq\f(31,32),求λ.[解](1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=eq\f(1,1-λ),故a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以eq\f(an+1,an)=eq\f(λ,λ-1).因此{an}是首项为eq\f(1,1-λ),公比为eq\f(λ,λ-1)的等比数列,于是an=eq\f(1,1-λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ-1)))eq\s\up12(n-1).(2)由(1)得Sn=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ-1)))eq\s\up12(n).由S5=eq\f(31,32)得1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ-1)))eq\s\up12(5)=eq\f(31,32),即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ-1)))eq\s\up12(5)=eq\f(1,32).解得λ=-1.[规律方法]等比数列的三种常用判定方法1定义法:若eq\f(an+1,an)=qq为非零常数,n∈N+,则{an}是等比数列.2等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且aeq\o\al(2,n+1)=an·an+2n∈N+,则数列{an}是等比数列.3通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qnc,q均是不为0的常数,n∈N+,则{an}是等比数列.易错警示:1前两种方法是证明等比数列的常用方法,后者常用于选择题、填空题中的判定.2若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.[跟踪训练]设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.[解](1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2.∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn+1=4an+2,①,Sn=4an-1+2(n≥2),②))①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,∴eq\f(an+1,2n+1)-eq\f(an,2n)=eq\f(3,4),故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为eq\f(1,2),公差为eq\f(3,4)的等差数列.∴eq\f(an,2n)=eq\f(1,2)+(n-1)·eq\f(3,4)=eq\f(3n-1,4),故an=(3n-1)·2n-2.等比数列的性质及应用(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6-aeq\o\al(2,7)+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11=()A.1 B.2C.4 D.8(2)已知{an}为各项都是正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=()【导学号:79140177】A.150 B.-200C.150或-200 D.400或-50(1)D(2)A[(1)由等差数列的性质,得a6+a8=2a7.由a6-aeq\o\al(2,7)+a8=0,可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12=beq\o\al(3,7)=23=8.(2)依题意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,所以S40-S30=S10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c
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