18结冰（熔化）问题

十八、结冰（熔化）问题知识导航知识导航一、结冰（熔化）问题结冰（熔化）前后，质量不变1．北方寒冬，为制作冰雕所需的冰块，艺术家找来如图所示的长方体箱子，箱内空腔长1m、宽0.6m、高0.5m。在箱内加深度为h0的水，一夜之后水完全结冰，且冰块恰好与空腔形状完全一致。已知ρ水＝1×103kg/m3，ρ冰＝0.9×103kg/m3，则h0为（）A．0.5m B．0.45m C．0.4m D．0.35m【解答】解：在箱内加深度为h0的水，水的体积：V水＝1m×0.6m×h0，水结冰，冰的体积：V冰＝1m×0.6m×0.5m，水结冰，状态变化、质量不变，可得：m水＝m冰，由ρ＝可得：ρ水V水＝ρ冰V冰，1×103kg/m3×1m×0.6m×h0＝0.9×103kg/m3×1m×0.6m×0.5m，解得：h0＝0.45m。故ACD错误、B正确。故选：B。二．填空题（共3小题）2．一水桶内结满了冰，且冰面恰好与桶口相平，此时冰与桶的总质量为22kg，当冰完全熔化后，需要向桶内倒入2L的水，水面才正好与桶口相平，则桶的容积为0.02m3，桶的质量为4kg（已知ρ冰＝0.9×103kg/m3，ρ水＝1×103kg/m3）【解答】解：设桶内冰的质量为m1，已知ρ冰＝0.9×103kg/m3，由ρ＝可得，桶内冰的体积：V1＝＝，桶内冰完全熔化成水，质量不变，还是m1，则水的体积：V2＝＝，向桶内倒入的水的体积为：V3＝2L＝2×10﹣3m3，由题意得：V2+V3＝V1，即：+2×10﹣3m3＝，解得：m1＝18kg，由于冰面恰好与桶口相平，所以桶的容积V等于桶内冰的体积V1，即：V容＝V1＝＝＝0.02m3，由题知，原来冰与桶的总质量为22kg，则桶的质量为：m2＝m总﹣m1＝22kg﹣18kg＝4kg。故答案为：0.02；4。3．有一底面积为10cm2的圆柱形容器内盛有45cm3的酒精，现将一冰块投入酒精中，冰块浸没并下沉到容器底，当冰块完全熔化，酒精被稀释成液体A，此时液面下降了0.5cm。冰的体积为50cm3，液体A的密度为0.9g/cm3，（水与酒精混合时体积不变）（ρ冰＝0.9g/cm3，ρ酒精＝0.8g/cm3）【解答】解：由ρ＝可得酒精的质量：m酒精＝ρ酒精V酒精＝0.8g/cm3×45cm3＝36g，酒精内放入冰块后，冰熔化成水，状态变化、质量不变，而密度变大，由V＝可知，体积变小，设冰块的体积为V冰，则冰块以及熔化成水的质量：m＝ρ水V水＝ρ冰V冰。体积减小值：△V＝V冰﹣V水＝V冰﹣＝S△h＝10cm2×0.5cm＝5cm3，代入数据化简可得：V冰﹣V冰＝5cm3，解得：V冰＝50cm3；酒精被稀释成液体A，则液体A的体积：VA＝V酒精+V冰化水＝V酒精+V冰﹣△V＝45cm3+50cm3﹣5cm3＝90cm3，液体A的质量：mA＝m酒精+m冰＝36g+ρ冰V冰＝36g+0.9g/cm3×50cm3＝81g，液体A的密度：ρA＝＝＝0.9g/cm3。故答案为：50；0.9。4．如图，一只圆柱形容器装满水时的总质量是320g，底面积为100cm2，装满酒精时的总质量是280g（ρ水＝1.0×103kg/m3，ρ酒精＝0.8×103kg/m3），则该容器的容积是200cm3，容器的质量是120g．将冰块中有一小石块的冰放入盛有一定水的该容器中，冰和石块的总质量是116g，冰块完全沉入水中，这时容器中的水面上升了1.1cm（未装满），当冰全部融化后容器里的水面又下降了0.1cm，冰块中所含的石块质量是26g，石块的密度是2.6g/cm3（已知ρ冰＝0.9×103kg/m3）。【解答】解：（1）设空容器的质量为m容，容器的容积为V容，分别装满水与酒精时，水与酒精的体积等于瓶子的容积，则V水＝V酒精＝V容，装水的质量m水＝m总1﹣m容＝320g﹣m容，装酒精的质量m酒精＝m总2﹣m容＝280g﹣m容，由密度公式ρ＝可知，水的体积V水＝＝，酒精的体积V酒精＝＝，则有：＝，即：＝，解得：m容＝120g；瓶子的容积：V容＝V水＝＝＝＝200cm3。（2）设整个冰块的体积为V总，其中冰的体积为V1，石块的体积为V2；冰和石块的总质量为m总，其中冰的质量为m1，石块的质量为m2。由题意可知，冰的体积减去熔化成水后的体积，等于水面下降的体积，即：V1﹣＝S△h，代入数据得，V1﹣V1＝0.1cm×100cm2，解得：V1＝100cm3；冰的质量：m1＝ρ冰V1＝0.9g/cm3×100cm3＝90g；则冰块中所含的石块质量：m2＝m总﹣m1＝116g﹣90g＝26g；由题意可得，冰块和石块的总体积：V总＝S△h1＝100cm2×1.1cm＝110cm3，石块的体积：V2＝V总﹣V1＝110cm3﹣100cm3＝10cm3，则石块的密度：ρ石＝＝＝2.6g/cm3。故答案为：200；120；26；2.6。三．计算题（共4小题）5．有一底面积为10cm2的圆柱形容器内盛有45cm3的酒精，现将一冰块投入酒精中，冰块浸没并下沉到容器底。当冰块完全熔化，酒精被稀释成液体A，此时液面下降了0.5cm。（水与酒精混合时体积不变）（ρ冰＝0.9g/cm3，ρ酒精＝0.8g/cm3）。求：（1）冰块的质量为多少g？（2）液体A的密度为多少g/cm3？（3）同时取50cm3的液体A和50cm3的水，则最多能配制密度为0.92g/cm3的液体B多少g？【解答】解：（1）因冰熔化成水后，状态变化，质量不变，所以，由ρ＝可得：m冰化水＝m冰＝ρ冰V冰，则圆柱形容器内液体减少的体积：V冰﹣V冰化水＝S△h，即V冰﹣＝S△h，则冰块的体积：V冰＝S△h＝×10cm2×0.5cm＝50cm3，冰块的质量：m冰＝ρ冰V冰＝0.9g/cm3×50cm3＝45g；（2）容器内酒精的质量：m酒精＝ρ酒精V酒精＝0.8g/cm3×45cm3＝36g，冰块完全熔化，酒精被稀释成液体A，则液体A的质量：mA＝m酒精+m冰＝36g+45g＝81g，液体A的体积：VA＝V酒精+V冰化水＝V酒精+V冰﹣S△h＝45cm3+50cm3﹣10cm2×0.5cm＝90cm3，液体A的密度：ρA＝＝＝0.9g/cm3；（3）设配制密度为0.92g/cm3的液体B时，需要液体A和水的体积关系为＝k，则液体B的质量：mB＝mA+m水＝ρAVA′+ρ水V水＝ρA×kV水+ρ水V水＝（kρA+ρ水）V水，液体B的体积：VB＝VA′+V水＝kV水+V水＝（1+k）V水，则液体的密度：ρB＝＝＝，即0.92g/cm3＝，解得：k＝4，同时取50cm3的液体A和50cm3的水，配制密度为0.92g/cm3的液体B的最大体积（此时A液体全部用完）：VB大＝VA′+V水＝VA′+VA′＝VA′＝×50cm3＝62.5cm3，液体B的最大质量：mB大＝ρBVB大＝0.92g/cm3×62.5cm3＝57.5g。答：（1）冰块的质量为45g；（2）液体A的密度为0.9g/cm3；（3）同时取50cm3的液体A和50cm3的水，则最多能配制密度为0.92g/cm3的液体B的质量57.5g。6．如图所示，甲乙两个完全相同的圆柱形容器放在水平地面上，容器的底面积为200cm2。容器甲中盛有一定量的水，水面距容器底部10cm：容器乙中盛有酒精，且容器乙中酒精的质量等于水的质量。（ρ酒精＝0.8g/cm3，ρ铜＝8.9g/cm3，ρ铁＝7.8g/cm3，ρ黄金＝17.8g/cm3，ρ冰＝0.9g/cm3）求：（1）容器甲中水的质量m水；（2）容器乙中酒精的体积V酒；（3）现将质量为877.5g的实心铁块浸没在酒精中，质量为718g的“冰块”浸没在容器甲中并沉底，“冰块”内有一个黄金手镯，发现两个容器中液体的液面一样高（液体均不溢出）。当冰全部熔化后，甲容器里的水面下降了0.3cm，已知手镯是将黄金和铜按照一定比例混合而成的合金，则这个手镯的黄金纯度为多少（用K表示）？（“冰块”刚放入时不考虑冰的融化，不计水的蒸发，黄金的纯度有一种分数表示方式：黄金的质量占合金总质量的为“1K”，如黄金的质量占合金总质量的即成色为“12K”，即成色为“23K”。）【解答】解：（1）容器甲中水的体积V水＝Sh水＝200cm2×10cm＝2000cm3，由ρ＝可得，容器甲中水的质量m水＝ρ水V水＝1.0g/cm3×2000cm3＝2000g＝2kg；（2）因容器乙中酒精的质量等于水的质量，所以，容器乙中酒精的质量m酒精＝m水＝2000g，则酒精的体积V酒精＝＝＝2500cm3；（3）由ρ＝可得，877.5g实心铁块的体积V铁＝＝＝112.5cm3，因两个容器中液体的液面一样高，所以，冰块的总体积V总＝V酒精+V铁﹣V水＝2500cm3+112.5cm3﹣2000cm3＝612.5cm3，因冰全部熔化后质量不变，且甲容器里的水面下降了0.3cm，所以，△V＝﹣＝S△h，即﹣＝200cm2×0.3cm，解得：m冰＝540g，则手镯的质量m＝m总﹣m冰＝718g﹣540g＝178g，手镯的体积V＝V总﹣V冰＝V总﹣＝612.5cm3﹣＝12.5cm3，设手镯中黄金的质量占合金总质量的比值为k，则黄金的质量为k×178g，铜的质量为（1﹣k）×178g，则V＝V黄金+V铜＝+，即12.5cm3＝+，解得：k＝0.75＝，即这个手镯的黄金纯度为18K。答：（1）容器甲中水的质量为2kg；（2）容器乙中酒精的体积为2500cm3；（3）这个手镯的黄金纯度为18K。7．今年冬天，善于思考的小超在仙女山玩耍时，发现一块夹着矿石的冰块，其中冰与矿石的总质量为475g，总体积为510cm3．小超将夹着矿石的冰块放入底面积为50cm2，盛有深度为10cm的盐水的圆柱形容器中，冰块处于漂浮状态，如图甲。小超测得此时冰块浸入盐水中的体积为380cm3．过一段时间，冰块完全熔化（假设盐水和水混合后体积不变），矿石沉入杯底，如图乙。（已知矿石的密度为2.5g/cm3，冰的密度为0.9g/cm3）求：（1）这块夹着矿石的冰块的平均密度；漂浮时受到的浮力；（2）分别求冰和矿石的质量各为多少g；（3）冰块熔化前后液面变化的高度为多少cm。【解答】解：（1）这块夹着矿石的冰块的平均密度：ρ平均＝＝≈0.93g/cm3，因冰块处于漂浮状态，所以，漂浮时受到的浮力：F浮＝G总＝m总g＝0.475kg×10N/kg＝4.75N；（2）设冰块中冰的质量为m冰，则m矿石＝m总﹣m冰＝475g﹣m冰，则冰块的总体积：V总＝+，即510cm3＝+，解得：m冰＝450g，m矿石＝m总﹣m冰＝475g﹣450g＝25g；（3）因冰熔化前后质量不变，所以，冰熔化为水时水的体积：V水＝＝＝＝450cm3，石块的体积：V矿石＝＝＝10cm3，因盐水和水混合后体积不变，则冰熔化为水后水的体积加上石块的体积减去原来冰块浸入的体积即为液体变化的体积，所以冰块熔化前后液面变化的高度：△h＝＝＝1.6cm。答：（1）这块夹着矿石的冰块的平均密度为0.93g/cm3，漂浮时受到的浮力为4.75N；（2）冰和矿石的质量依次为450g、25g；（3）冰块熔化前后液面变化的高度为1.6cm。8．某空瓶质量为300g，装满冰后总质量为750g，过了一段时间后，冰全部熔化成了水。已知ρ冰＝0.9×103kg/m3，求：（1）空瓶的容积？（2）需向瓶中再加多少g的水才能将此瓶重新装满？（3）向装满水的此瓶中缓慢放入质量为250g的某种金属球，金属小球完全浸没在水中，待水不再溢出，擦干瓶外的水后得瓶子总质量为950g，则金属球的密度为多少？【解答】解：（1）瓶子内冰的质量：m冰＝750g﹣300g＝450g，由ρ＝得瓶子的容积：V＝V冰＝＝＝500cm3；（2）冰化水，状态变化、质量不变，水的质量：m水＝m冰＝450g，水的体积：V水＝＝＝450cm3