专题06等差数列的概念与前n项和（考点清单知识导图+2考点清单+9题型解读）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06等差数列的概念与前n项和【清单01】等差数列的定义与前n项和一.等差数列的定义1.文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2.符号语言：若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列二.等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)三.等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝eq\f(a＋b,2).四.等差数列的证明1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．五.等差数列的性质1.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．3.若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．4.若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．【清单02】等差数列的前n项和一.数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.二．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SSn=n三．等差数列前n项和的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和：1.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).【考点题型一】等差数列基本量的计算方法总结：等差数列的基本运算：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，3aA．78 B．100 C．116 D．120【答案】D【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出S10【详解】设等差数列an的公差为d3a解得a1则S10故选：D.【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【答案】C【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式推导出d=2a1【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为∵等差数列an的前n项和为Sn，∴6a1+∴S9故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等差数列an中，若2a3A．36 B．24 C．18 D．9【答案】B【分析】由等差数列通项公式求基本量得a1+4d【详解】令an的公差为d，则2a3则a2故选：B【变式1-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知an为等差数列，a2=8，a【答案】32【分析】由等差数列的性质求解即可.【详解】因为an为等差数列，a2=8，a所以d=所以a10故答案为：32.【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在等差数列an中，若a8=6,a11【答案】20【分析】根据条件先计算出公差d，然后根据a8=a【详解】设等差数列的公差为d，因为a8=6,a所以d=−2所以a8所以a1故答案为：20.【考点题型二】等差数列的通项公式方法总结：等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．【例2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知an为等差数列，数列bn满足：a1+b1=2A．n22n−1 B．n C．【答案】B【分析】令n=1，由anbn=2n2−nn∈【详解】令n=1，anbn=2设an公差为d，5a4故an故选：B【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列An的首项为2，公差为8，在An中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列an，数列an【答案】2n，【分析】等差数列an满足为a1=A1，a【详解】设数列{an}的公差为d'.由题意可知，于是a因为a5−a1所以a故答案为：2n，【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）写出一个具有下列性质①②的数列an的通项公式an=．①2【答案】−n【分析】由题意可得数列an【详解】因为2an+1因为an+1<则可取an故答案为：−n【变式2-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）设等差数列an,(1)求a3(2)若a1+a【答案】(1)3(2)a【分析】（1）直接利用等差数列的性质即可求解；（2）利用等差数列基本量代换，即可求解.【详解】（1）因为等差数列an,n因为a1+a3+（2）设等差数列an的公差为d，由题意可得：即a1+2d=39【变式2-4】（22-23高二上·江苏常州·期中）记Sn为数列an的前n项和，已知an(1)求a1，a(2)求数列an【答案】(1)a1=−4，(2)a【分析】(1)根据递推关系可求得a1，a2.(2)由【详解】（1）当n=1时，a12−3a当n=2时，a22−3a所以a1=−4，（2）当n≥2时，an2由①-②得，(an+an所以数列an是以−4为首项，−3为公差的等差数列，所以a当n=1时，由(1)可知，a1=−4满足an【考点题型三】等差数列的前n项和方法总结：求等差数列前n项和的方法:1.用倒序相加法求数列的前n项和。如果一个数列an2.用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:Sn=n(a对等差数列，求前n项和Sn3、用裂项相消法求数列的前n项和。裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。4、用构造法求数列的前n项和。所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。【例3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn【答案】2【分析】利用an=Sn−【详解】因为Sn所以当n≥2时，SnS若Sn=0，则Sn−1=0，故a所以1Sn−所以1Sn是以首项为12所以1Sn=故答案为：22【变式3-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）在等差数列an中，S4=21，an−3【答案】26【分析】根据等差数列的下标和性质可得a1【详解】∵数列an为等差数列，则S4+∴Sn=n故答案为：26.【变式3-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n(1)证明：数列bn(2)当a7=4，b15=5时，求数列bn【答案】(1)证明见解析(2)T【分析】（1）由等差数列的定义证明即可；（2）由已知条件求出a1和d，然后求bn的前n项和【详解】（1）证明：设等差数列an的公差为dSnbnbn所以数列bn（2）a7b15∴a∴b∴T【变式3-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列an的前n项和为Sn，an(1)求数列an(2)设bn=4Sn【答案】(1)a(2)T【分析】（1）先用n−1替换原式中的n，然后两式作差，结合an与Sn（2）由（1）的结论，求得Sn及an+1，代入b【详解】（1）因为4Sn=an+12即2an+2an−1=又当n=1时，4a1可知数列an所以an=1+(（2）由（1）知Sn=nTn【变式3-4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）在等差数列{an}中，已知a(1)求{a(2)求数列{an}的前n【答案】(1)an=4n(2)S【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得到关于a（2）根据等差数列求和公式计算可得.【详解】（1）解：由题意，设等差数列{an}则a1+a解得a1=2，∴an=2+4(n（2）解：因为an所以Sn【考点题型四】等差数列的证明方法总结：判断等差数列的方法1.定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.2.等差中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．3.通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．【例4】（22-23高二下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列an满足an+1(1)求a2(2)证明：数列1an−2【答案】(1)a(2)证明见解析；a【分析】（1）根据递推关系式求得a2（2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得an【详解】（1）因为an+1所以a2（2）因为an所以an则1a故1a又a1=3，所以所以数列1an−2是首项为1所以1a则an【变式4-1】（20-21高二上·江苏盐城·期中）已知数列{an}满足an+1=2anan（1）求证：数列{1an（2）解关于n的不等式：22【答案】（1）证明见解析，an=2【解析】（1）将an+1=2a（2）将bn+1−bn=anbn变形为bn+1bn=an+1=n【详解】（1）证：由an+1=2故有1an+1由于1a1=12（2）由bn+1−b则不等式22an<令cn=n当n=1时，c当n=2时，c当n=3时，c当n=4时，c当n=5时，c而当n≥5,n故当n≥5,综上所述，n∈{2,3,4}【点睛】根据递推公式求等差数列的通项公式时，通常是将递推公式进行变形，结合等差数列的定义证明其为等差数列，进而得出其通项公式.【变式4-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设Sn是等差数列an的前n(1)证明：数列bn(2)当a7=4，b15=5时，求数列bn【答案】(1)证明见解析(2)T【分析】（1）由等差数列的定义证明即可；（2）由已知条件求出a1和d，然后求bn的前n项和【详解】（1）证明：设等差数列an的公差为dSnbnbn所以数列bn（2）a7b15∴a∴b∴T【变式4-3】（20-21高二上·江苏常州·期中）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足对任意n∈（1）求证：数列an（2）若bn=(−1)n2【答案】（1）证明见解析；（2）T【解析】（1）令n=1求出首项，令n=2求出a2，将n换为n−1，两式相减得出an2=（2）求出bn，分别讨论n【详解】（1）∵a当n=1时，a13当n≥2时，a两式相减得an∴an2两式相减得an+12因为各项为正，∴a当n=2时，则a13+a23所以数列an（2）由（1）可得an∴b当n为偶数时，T==22+4+6+8+⋯2当n为奇数时，Tn综上，Tn【点睛】方法点睛：证明或判断等差数列的方法，（1）定义法：对于数列an，若an−（2）等比中项法：对于数列an，若an+（3）通项公式法：若an=pn（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断.【变式4-4】（19-20高二上·江苏徐州·期中）已知等差数列an前n项和为Sn，且S2（1）求数列an（2）若bn=S【答案】（1）an【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用已知条件列出方程组求解数列an的首项与公差，即可得到数列（2）求出等差数列an的前n项和Sn，化简bn【详解】（1）设等差数列an的公差为d，则S2=2∴a（2）Sn=n从而bn+1−【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用定义证明等差数列，考查计算能力与推理能力，属于基础题.【考点题型五】等差数列前n项和的性质方法总结：等差数列的前n项和常用的性质：1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列；2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列；3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)【例5】（23-24高二下·江苏盐城·期中）等差数列an中，Sn是其前n项和，S5A．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】代入等差数列的前n项和公式，即可求解.【详解】设等差数列的首项为a1，公差为dSn=n则S5故选：C【变式5-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn，A．3765 B．1119 C．919【答案】B【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式即可得解.【详解】因为Sn所以a2故选：B.【变式5-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn，若S6A．32 B．4 C．94 【答案】C【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式推导出d=2a1【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为∵等差数列an的前n项和为Sn，∴6a1+∴S9故选：C.【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，若a2A．36 B．45 C．54 D．63【答案】C【分析】根据等差数列的性质得到a5【详解】a2+a5+故选：C.【变式5-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知等差数列an，S3=7，S6【答案】24【分析】利用等差数列的前n项和公式的性质求解即可【详解】在等差数列an中，由等差数列的前nS3所以有2又S所以2×所以S故答案为：24.【考点题型六】等差数列前n项和最值方法总结：1.项的符号法(邻项变号法)：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.2.二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.3.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．【例6】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列an的公差d<0，且a12=a132，an前nA．6 B．7 C．12 D．13【答案】AB【分析】根据a12=a132得到【详解】因为a12=即24a1d所以a1=−6d对称轴为n=132故选：AB.【变式6-1】（多选）（20-21高二下·辽宁大连·期中）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a15>0，A．a1>0 B．d<0C．前15项和S15最大 D．从第32项开始，S【答案】ABC【分析】结合等差数列的性质、等差数列前n项和公式确定正确选项.【详解】依题意等差数列{an}满足a15>0，所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15S31故选∶ABC【变式6-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知Sn为数列an的前n项和，且an+1=an+d(1)数列an(2)Sn【答案】(1)a(2)最大值12，无最小值．【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可（2）利用等差数列求和公式表示出Sn【详解】（1）由an+1=an+d设首项为a1，由S3=12得3a解得a1=3d因为d<0，所以a故an（2）当an=−2nSn所以当n=3或4时，Sn有最大值S3【变式6-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知在等差数列an中，a(1)求数列an(2)若数列an的前n项和Sn，则当n为何值时【答案】(1)a(2)当n=5时，S【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；（2）令an>0,an<0【详解】（1）设等差数列an的公差为d则a9=a则an的通项公式为a（2）因为n∈令an=11−2n>0得：1≤n故当n=5时，S其中a1=9,a【变式6-4】（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an(2)求Sn的最大值及相应的n【答案】(1)a(2)当n=4或n=5时，【分析】（1）用等差数列的通项公式即可.（2）用等差数列的求和公式即可.【详解】（1）在等差数列an中，∵a∴2a解得a1∴an（2）∵a1=8,∴Sn=n∴当n=4或n=5时，【考点题型七】等差数列函绝对值的前n项和【例7】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列an的前n项和为Sn.已知a2(1)求an(2)当n为何值时，Sn【答案】(1)a(2)8，4【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a2+（2）由Sn=12n【详解】（1）解：设等差数列an又a2+a所以2a解得a1所以an（2）由（1）得Sn当n≤7时，T当1≤n≤3,n∈N时，Tn递增，当4≤所以Tn当n≥8时，Tn=12n3所以Tn综上：Sn【变式7-1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)若cn=an，求cn【答案】(1)an(2)Tn【分析】（1）利用an与S（2）由通项公式an=2n−16可知，当【详解】（1）由Sn当n≥2时，可得a当n=1时，a所以数列an的通项公式为a（2）由an=2n−16，可得令an≤0，可得当n≤8时，可得T当n>8时，可得=−(a因为S8=−56，所以所以Tn注意：分类标准n≤7和n【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知Sn是等差数列an的前n项和，且a7(1)求数列an的通项公式与前n项和S(2)若bn=an且数列bn的前n【答案】(1)an=11−2(2)50【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程组，解方程组可得a1与d，进而可得通项公式与前n（2）分别计算n≤5和n【详解】（1）由数列an为等差数列，设其公差为d所以a1解得a1所以anSn（2）由已知bn所以T10=b1+【变式7-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知等差数列an，前nn∈N∗(1)求数列an的通项公式a(2)设bn=9−an，求数列b【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由bn=9−an=9−2n，令c【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为a1因为S9=90，所以所以a5=10，由a5又a2=4，所以（2）b设cn=9−2n，cn的前n项和为cn=9−2当1≤n≤4时，cn>0当n≥5时，得cn<0则T=综上所述：T【变式7-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知正项数列an的前n项和记为Sn，a1(1)求数列an(2)设bn=1+4Sn，数列bn的前n项和为Tn，定义x为不超过x的最大整数，例如0.1【答案】(1)a(2)n=11【分析】（1）由数列的递推式，推得an（2）由数列的裂项相消求和，以及x的定义，结合等差数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）解：因为an是正项数列，即a因为2Sn=当n=1时，2a1当n≥2时，由2Sn两式相减可得2a整理得n+1an又因为a11=a22=2所以数列an的通项公式为a（2）解：由（1）得2Sn=所以bn则Tn可得T1=3，T2=4，当n≥3T1整理得n2+7n因为n∈N*【考点题型八】恒成立问题【例8】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知数列an的前n项和Sn=n2+2nA．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据an与Sn之间的关系求得【详解】因为数列an的前n项和S当n=1时，则a当n≥2时，则a且a1=3符合上式，所以当n=1时，c当n≥2时，可得c所以c1若c1+c综上所述：m的最大值为7.故选：B.【变式8-1】（23-24高二下·湖南·期中）已知an是正项数列，其前n项的和为Sn，且满足2Sn=an【答案】3【分析】当n≥2时，可得Sn2=Sn−1【详解】当n=1时，2S当n≥2时，2变形得Sn2=Sn所以Sn2=12①当n=k2,k②当n=(k+1)2当a=1时，(k+1)2−ak综上t的取值范围是3,+∞故答案为：3,+∞【点睛】关键点点睛：本题的关键是由数列新定义求解参数值，根据取整定义求解数列具体数值.【变式8-2】（21-22高二下·北京·期中）已知等差数列an满足：a1=2(1)求数列an(2)记Sn为数列an的前n项和，求正整数n的范围，使得【答案】(1)a(2)n【分析】（1）根据已知条件可求出an的公差，进而可求得a（2）结合（1）可得到Sn【详解】（1）设等差数列an的公差为d则4d=a所以an（2）结合（1）可得Sn令2n2>60n+800，即n所以存在n>40n∈故正整数n的范围为n>40【变式8-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1(1)求数列an的通项公式a(2)设bn=an+22n(3)设数列cn的通项公式为cn=anan+t ，问:是否存在正整数【答案】(1)an(2)Tn(3)存在，t，m取值见解析.【分析】（1）利用an,Sn的关系求得递推公式（2）由bn（3）根据等差中项列式整理可得m=3+4t−1，由【详解】（1）由nan+1=2S当n≥2时，n①-②得nan+1所以nan+1当n=1时，a所以数列an+1n所以an（2）由an=2n则bn所以bn的前n项和为=1（3）由（1）知cn要使c1，c即2×33+t因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t=2时，m当t=3时，m当t=5时，m故存在正整数t，使得c1【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将bn分裂为1【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项和Sn(1)求数列an(2)若不等式2n2−n−3<【答案】(1)a(2)λ【分析】1首先令n=1求出首项a1，然后当n≥2时，有Sn−12将1的通项公式代入不等式等价于5−λ>bn对∀n【详解】（1）当n=1时，S即S1解得：a1当n≥2时，S则an即an即a