专题01直线与方程（考点清单知识导图+4考点清单+9题型解读）（学生版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题01直线与方程【清单01】直线的倾斜角与斜率一、直线倾斜角的定义1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，3.范围：[0,π)4.图形：二、直线的斜率1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为α，则当α≠90°时，称k=tanα为直线l的斜率；当α=90°时，称直线l的斜率不存在.2.公式：已知点A(x1,y1)、B(x2,y【清单02】直线方程的五种形式名称已知条件标准方程使用范围点斜式斜率k,直线上一点（x0，yy-yo=k（x-x0）k存在斜截式斜率k,y轴上截距by=kx+bk存在两点式直线上的两点P1（x1，y1）,y−直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴截距式直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，x直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于)轴,且不过原点一般式A,B不同时为0Ax+By+C=0通用【清单03】两条直线的平行与垂直一、两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件αα对应关系k1=k两直线斜率都不存在⇔l1∕∕图示二、两条直线垂直与斜率之间的关系类型斜率存在且不为0斜率不存在或斜率为0条件αα对应关系k两直线的斜率一个不存在，一个斜率为0⇔图示三、一般式判断两条直线的位置关系l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0l1A1l1A1l1A1l1A1【清单04】距离公式一、两点间距离公式点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（二、点到直线距离公式1.点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.点到特殊直线的距离公式点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|.三、两条直线距离公式1.两条平行线之间的距离两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.两条平行线之间的距离公式两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【考点题型一】直线的倾斜角方法总结：直线的倾斜角需要注意符合倾斜角的取值范围，（0，π]【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点1,0和2,3A．π6 B．π3 C．2π3【变式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+3y−3=0的夹角为A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【变式1-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线l1:2xA．α<β<γ B．β<α【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点M3,y，N0,A．0 B．−23 C．43【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线l经过两点A2,m、B−m,2m−1A．12 B．2 C．1 D．【考点题型二】直线的斜率方法总结：1.定义：倾斜角α的正切值，（α≠90°）2.记法：k=tanα3.经过两点A(x1【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过A−1,2，BA．2 B．−2 C．12 D．【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi+1i=1,2,3,…,9约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距AiAiA．±0.40 B．±0.42 C．±0.43 D．±0.45【变式2-2】（23-24高二上·山东·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为15°，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（

）A．0 B．233 C．−23【变式2-3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点A1,2，B3,m，C7,【变式2-4】(多选)（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台ABCD，AB=3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则

A．19 B．12 C．1 【考点题型三】斜率与倾斜角的变化方法总结：:已知线段AB的两端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率都存在，解题步骤如下:①连接PA,PB;②由k=y2−y1x③结合图形写出满足条件的直线l斜率的取值范围【例3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线l经过点A(−1,2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率kA．(−2,0] B．(−∞,−2]∪[0,+∞) C．[1,2] D．[−2,0]【变式3-1】（多选）（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过A1−a,1+a和A．−2 B．0 C．1 D．2【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点A2,3，B−5,2，若过点C−1,5的直线l与线段AB相交，则直线l【变式3-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线x−ay−1=0的倾斜角大于π【变式3-4】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）直线xcosA．−∞,3 B．2,+∞ C．−∞,0∪0,【考点题型四】直线方程的五种形式方法总结：求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。(1)已知直线的纵截距，常设方程的斜截式;(2)已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式(截距均不为0)(3)已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况;(4)仅知道直线的横截距，常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距，m是参数)，注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+c=0(A，B不同时为0.)【例4】（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x【变式4-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线l经过1,2(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线l的方程；(2)当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程.【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点P2,1的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当△A．x+2y−4=0C．x+3y−5=0【变式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直线l1:(1)若直线l1在两坐标轴上的截距相等，求实数a(2)若l1∥l2，求直线【考点题型五】两条直线的平行与垂直方法总结：判断两条直线平行时，注意检验重合；判断两条直线的垂直时，注意考虑斜率不存在与斜率为0的情况【例5】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线ax+2ay+1=0A．0或3 B．3C．0或−3 D．−3【变式5-1】（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线l1:ax+3yA．−1 B．1C．3 D．−1或3【变式5-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线a+1x+3y+3=0A．2 B．1C．−2 D．2或−2【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,3)和N(4,0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为π2【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线2a−1x+y+1=0与直线【考点题型六】由直线的平行与垂直求直线方程方法总结：1.根据平行关系求直线方程的方法(1)若直线l与已知直线y=kx+b平行，则可设l的方程为y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线的方程.2.根据垂直关系求直线方程的方法(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y=kx+b垂直，则可设直线l的方程为y=-1k(2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx-Ay+m=0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程.【例6】（23-24高二上·江苏南通·期中）过点3,4且与直线2xA．3x−2yC．3x+2y【变式6-1】（22-23高二·贵州贵阳·阶段练习）过点(1,2)且垂直于直线3xA．2x+3yC．3x−2y【变式6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点1,2且与直线x−2y−3=0【变式6-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知△ABC的顶点A5,1，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，(1)求顶点C的坐标.(2)求直线BC的方程.【变式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直线l的倾斜角为60°，且l过点P(（1）求l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.【考点题型七】直线过定点问题方法总结：直线方程过定点问题常用的三种方法:1.将方程化为点斜式y-y0=k(x-x0),其中k为参数,求得直线恒过定点(x02.分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起，没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.3.赋值法:因为参数取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标.【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直线kx−y+1−3A．3,1 B．0,1C．0,0 D．2,1【变式7-1】（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:y-4=-mA．56 B．C．52 【变式7-2】（多选）（21-22高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:xA．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，直线lC．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1【变式7-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my+2=0和过定点B的动直线mx−y−2【变式7-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：(4λ(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l被两平行直线l1：x−2y+2=0与l2：x【考点题型八】距离公式及应用方法总结：距离公式综合应用的三种常用类型最值问题:①利用对称转化为两点之间的距离问题②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离，③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素--点和方向、利用直线方程的各种形式、结合直线的位置关系：平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.【例8】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线l1:2xA．255 C．3510 【变式8-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(−A．2 B．6C．22 D．【变式8-2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l过点P−2,−3，若点M2,−1和点N4,5到直线lA．3x−yC．x−y−1=0【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,−2)，B(−3,4)(1)求BC边所在的直线方程；(2)求△ABC【变式8-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线l：m+n(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程.【考点题型九】和差最值与对称问题方法总结：将军饮马问题：利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。点关于直线的对称问题：（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知x+y=0A．25 B．C．17 D．2【变式9-1】（22-23高二上·江苏南京·期中）直线l与直线y=3x关于直线yA．π12 B．C．π4