高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题01数列求通项(数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题01数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：法：角度1：用，得到 2题型二：法：角度2：将题意中的用替换 3题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 4题型四：法：角度1：已知和的关系 5题型五：法：角度2：已知和的关系 6三、数列求通项（法、法）专项训练 6一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型题型题型一：法：角度1：用，得到例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记是数列的前项和，已知，且.(1)记，求数列的通项公式；例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；题型二：法：角度2：将题意中的用替换例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求；例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列中，，，前项和为，若．(1)求数列的通项公式；例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）．(1)求；例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为的数列的前项和为，且当时，(1)证明：数列是等差数列；题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{}满足：．(1)求的通项公式；例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列满足.(1)求的通项公式；例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.(1)求数列的通项；例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列为正项等比数列，数列满足，，．(1)求；题型四：法：角度1：已知和的关系例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列的前项积.(1)求的通项公式；例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.题型五：法：角度2：已知和的关系例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;例题2．（2020春·浙江温州·高一校联考期中）设数列的前n项积（）．（1）求数列的通项公式；例题3．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列的前n项之积为，且满足．(1)求证：数列是等差数列；三、数列求通项（法、法）专项训练一、单选题1．（2023秋·江西·高三统考开学考试）设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列的前项积为，若，则（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（

）A． B． C．2 D．3二、填空题5．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知为数列的前n项积，且，则．三、解答题6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列的前项和为，，且.(1)求的通项公式；7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式．8．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；9．（2023春·江西九江·高二校考期末）记数列的前n项和为，已知，.(1)求的通项公式；10．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列的前n项和为，满足：.(1)计算并求数列的通项公式；11．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；12．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；13．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当(1)求数列的通项公式；18．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.19．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；20．（2021秋·江西九江·高二校考期中）为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.

专题01数列求通项（Sn法、Tn法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：Sn法：角度1：用Sn−Sn−1，得到an​​​题型二：Sn法：角度2：将题意中的an​​​用Sn−Sn−1替换题型三：Sn法：角度3：已知等式中左侧含有：i=1naibi 5题型四：Tn法：角度1：已知Tn和n的关系 7题型五：Tn法：角度2：已知Tn和an的关系 8三、数列求通项（Sn法、Tn法）专项训练 9一、必备秘籍1对于数列{an}，前n①Sn=②：SSn角度1：已知Sn与an​​​的关系；或S用Sn−例子：已知4Sn角度2：已知an​​​与Sn−1Sn−例子：已知2a已知S角度3：已知等式中左侧含有：i=1作差法（类似Sn例子：已知a1+22对于数列{an}，前n①Tn=①÷②：TTn角度1：已知Tn和n角度1：用TnT例子：bn的前n项之积.角度2：已知Tn和a角度1：用TnT例子：已知数列an的前n项积为Tn，且二、典型题型题型一：Sn法：角度1：用Sn例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记Sn是数列an的前n项和，已知a1(1)记bn=a【答案】(1)b【详解】（1）因为anan+1②-①得，an+1an+2−a所以数列an令n=1代入anan+1=4Sn+1所以b1所以数列bn是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an【答案】(1)a【详解】（1）Sn当n≥2时，Sn−1两式①-②得：an当n=1时，a1所以an例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an【答案】(1)a【详解】（1）因为an+1=2Sn+2所以an+1−a因为a2又因为an为等比数列，所以a2=3则等比数列an所以a例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，an(1)求数列{a【答案】(1)a【详解】（1）因为6S所以当n≥2时，6S两式相减，得到6a整理得(a又因为an>0，所以所以数列{an}当n=1时，6S1=6a1因为a1<2，所以由（1）可知an−a所以an题型二：Sn法：角度2：将题意中的an​​​例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列an的前n项和为S(1)求Sn【答案】(1)S【详解】（1）a1=2可得Sn+12−可得Sn2=2+2n−1=2n例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列an中，，an>0，前n项和为Sn(1)求数列an【答案】(1)a【详解】（1）若an由an=S则数列Sn所以Sn=S当n≥2时，an=例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列an的首项a1=1，其前n项和为Sn，且(1)求Sn【答案】(1)S【详解】（1）∵a又Sn又S1=1，∴数列，故Sn例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为1的数列an的前n项和为Sn，且当n≥2(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当n≥2时，an⋅2则2Sn2所以1Sn−所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．题型三：Sn法：角度3：已知等式中左侧含有：例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{an}满足：a(1)求{a【答案】(1)a【详解】（1）因为a1+2所以n≥2时，a1+2①−②得：nan=又，不符合上式，故an例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列an满足a(1)求an【答案】(1)a【详解】（1）由a1得当n=1时a13=2×当n≥2时，a1则an3=2当n=1时，也满足上式，综上所述，an例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列{an}(1)求数列{an}【答案】(1)an【详解】（1）由n∈N∗，a1+2a两式相减得：nan=n+12因此{nan}(n≥2)则当n≥2时，nan=2×3n−2所以数列{an}例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列an为正项等比数列，数列bn满足b1=1，(1)求an【答案】(1)a【详解】（1）令Tn当n=1时，a1b1=T当n=2时，a2b2=T由数列an为正项等比数列，设其公比为q，则，所以an题型四：Tn法：角度1：已知Tn和例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列an的前n项的积(1)求数列an【答案】(1)a【详解】（1）∵T∴当n≥2时，an当n=1时，a1∴a例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列an的前n项积T(1)求an【答案】(1)a(1)解：（1）Tn当n≥2时，an当n=1时，a1=T故an的通项公式为a例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知Tn为数列an的前n项的积，且a1=12，Sn为数列Tn的前（1）求证：数列是等差数列；（2）求an【答案】（1）证明见解析；（2）n∈N【详解】解：（1）证明：∵Tn+2∴S∴1（2）由（1）可得1Sn=2+2(n−1)=2n∴n≥2时，Tnn≥3时，an而a1=12，T2∴an=题型五：Tn法：角度2：已知Tn和例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列an的前n项的积记为Tn(1)证明：数列Tn【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当n=1时，1a1=当n≥2时，1Tn=所以数列{Tn}是首项为2例题2．（2020春·浙江温州·高一校联考期中）设数列an的前n项积Tn=1−（1）求数列an【答案】（1）an【详解】（1）当n=1时，T1=1−a1又a∴an+11−an+1=11−a1为公差的等差数列，∴1∴an例题3．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列an的前n项之积为Tn，且满足(1)求证：数列Tn【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由题意知：an∴Tn−1Tn∴数列Tn三、数列求通项（Sn法、T一、单选题1．（2023秋·江西·高三统考开学考试）设Tn为数列an的前n项积，若an=−2an+1n∈N∗A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【详解】解：由题意得，又an=−2an+1所以，所以an是公比为−因为a3+a解得a1所以an则a5=−4，a6当n>7时，，因为T6所以T6故选：A.2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知Tn为数列an的前n项积，若1an+2Tn=1A．n2+2n B．−n2+2n 【答案】A【详解】因为Tn为数列{an}的前因为1an+即Tn−1+2=T又1a1+2T故{Tn}是以3Sn故选：A3．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列an的前n项积为Tn，若T7A．q<0 B．a1<0 C．T15【答案】D【详解】设等比数列{an}当q=1，则an=a1，所以T7若a1<0，则T7=a若a1>0，则a1n单调（或为常数1），此时不满足当q<0，a1<0，此时an奇数项为负，偶数项为正，则T7>0当q<0，a1>0，此时an奇数项为正，偶数项为负，则T7<0所以q>0，故A错误，又T7T9T又T7>T9>故对任意的n∈N∗，an=a又a9=T9T8>1所以T15=aT17所以T16故选：D．4．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列an的前n项积Tn=1−215A．−3 B． C．2 D．3【答案】C【详解】∵数列an的前n项积T当n=1时，a1当n≥2时，Tn−1ann=1时也适合上式，∴an∴当n≤8时，数列an单调递减，且a当n≥9时，数列an单调递减，且a故an的最大值为a9=3∴an故选：D.二、填空题5．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知Tn为数列an的前n项积，且Tn=【答案】2【详解】当n=1时，则a1当n≥2时，则an注意到a1=2故答案为：23三、解答题6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列an的前n项和为Sn，，且S(1)求an【答案】(1)a【详解】（1）因为Sn+1故n≥2时，Sn两式相减得an+1又，，所以a1+a2=3故an+1=3a所以an为等比数列，且首项为2，公比为3，从而a7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足(1)求数列an【答案】(1)a【详解】（1）∵a1所以a1=3或a1=−1，∵aan2+2①-②得是首项为3，公差为2得等差数列，an=2n+18．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，且(1)求an【答案】(1)a(2)T【详解】（1）当n≥2时，Sn−1=a所以an=a又数列an是等比数列，所以a当n=1时，a1=a所以an9．（2023春·江西九江·高二校考期末）记数列an的前n项和为Sn，已知a1(1)求an【答案】(1)a【详解】（1）因为Sn+nn+1两式相减得an+2n=na又S1+2=a所以an所以an10．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足：(1)计算a1并求数列a【答案】(1)【详解】（1）由2S当n=1时，2S1=2a1当n≥2时，2S由①−②得2a即，又an>0，所以所以数列an是以2为首项，1所以；11．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a6=2，，数列bn满足(1)求数列an和b【答案】(1)an=n3，n∈【详解】（1）设等差数列an公差为d，则a6=a1∴an=1对于数列bn：当n=1时，b当n≥2时，由b1+b两式相减得bn=2n+2−∴bn=212．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知Sn是数列an的前n项和，满足，且a(1)求Sn【答案】(1)S【详解】（1）因为，显然，所以1Sn−所以=1所以Sn=n