高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题07解三角形(面积问题(含定值最值范围问题))(典型题型归类训练)(学生版+解析)_第1页
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专题07解三角形(面积问题(含定值,最值,范围问题))(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:求三角形面积(定值问题) 2题型二:求三角形面积(最值问题,优先推荐基本不等式) 4题型三:求三角形面积(范围问题,优先推荐正弦定理化角) 6三、专项训练 8一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式(1);(2)(两边夹一角);核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2:利用正弦定理化角(如求三角形面积取值范围,优先考虑化角求范围)利用正弦定理,,代入面积公式,化角,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围.二、典型题型题型一:求三角形面积(定值问题)1.(2023·陕西渭南·统考模拟预测)已知的内角的对边分别为,且.(1)求角B;(2)若,求的面积.2.(2023·湖南永州·统考一模)在中,设所对的边分别为,且满足.(1)求角;(2)若的内切圆半径,求的面积.3.(2023·云南·校联考模拟预测)已知.在中,.(1)求角的大小;(2)是边上的一点,且,平分,且,求的面积.4.(2023·福建·校联考模拟预测)设的内角,,的对边分别为,,,已知,,且.(1)求;(2)求的面积.5.(2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模)如图,在四边形中,与互补,.

(1)求;(2)求四边形的面积.6.(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)设的内角所对边分别为,若.(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍,当周长取最小值时,求的面积.题型二:求三角形面积(最值问题,优先推荐基本不等式)1.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)在中,角的对边分别是,且.(1)求角;(2)若的中线长为,求面积的最大值.2.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,边BC上有一动点D.(1)求角A的大小;(2)当D为边BC中点时,,求面积的最大值.3.(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)在中,角,,所对的边分别是,,,若.(1)求角的大小;(2)若,求的面积的最大值.4.(2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测)在中,内角的对边分别为,从①,②,③,这三个条件中任选一个作为题目的补充条件,你的选择是___________,并解答下面问题:(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.5.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知的内角的对边分别是,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.6.(2023·福建南平·统考模拟预测)已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)设AD是BC边上的高,且,求面积的最小值.题型三:求三角形面积(范围问题,优先推荐正弦定理化角)1.(2023·湖南郴州·统考一模)已知向量,,函数.(1)若,求的值;(2)已知为锐角三角形,,,为的内角,,的对边,,且,求面积的取值范围.2.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)在中,内角,,的对边分别为,,,且,.(1)若边上的高等于1,求;(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.3.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)如图,是边长为2的正三角形所在平面上一点(点、、、逆时针排列),且满足,记.

(1)若,求的长;(2)用表示的面积,并求的取值范围.4.(2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知、、分别为的三个内角、、的对边长,,且.(1)求角的值;(2)求面积的取值范围.5.(2023·重庆·统考模拟预测)在锐角中,角A、B、C的对边分别为a、b,c,其面积为S,且.(1)求角A的大小;(2)若,求S的取值范围.三、专项训练1.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)在中,角的对边分别为,已知,则的面积为(

)A. B.5 C. D.2.(2023·甘肃定西·统考模拟预测)若三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为,其中,这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,a=6,则面积的最大值为(

)A.8 B.12 C.16 D.203.(2023·四川宜宾·统考三模)在中,角A,B,C所对边分别记为a,b,c,若,,则面积的最大值是(

)A. B.2 C. D.4.(2023·西藏拉萨·统考一模)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则的面积为(

)A. B. C.12 D.165.(2023·甘肃·统考一模)在如图所示的平面四边形ABCD中,,,记△ABD,△BCD的面积分别为,则的最大值为.

6.(2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测)在中,已知,,,当取得最小值时,的面积为7.(2023·四川·校联考一模)在中,,,当取最大值时,的面积为.8.(2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)在△ABC中,若,且,则的面积是.9.(2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测)在中,,点D在线段AC上,且,,则面积的最大值为.10.(2023·福建泉州·统考模拟预测)的内角所对的边分别为,且满足.(1)求;(2)若平分,且,,求的面积.11.(2023·江苏无锡·校考模拟预测)已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)在中,内角所对的边分别是,且,若,求的面积.12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)在中,角的对边分别为,满足,且.(1)求的大小;(2)若,求的面积.13.(2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知函数(1)求的单调增区间;(2)设是锐角三角形,角的对边分别为,若,求的面积.14.(2023·山东泰安·统考模拟预测)如图,平面四边形中,的三内角对应的三边为.给出以下三个条件:①②③的面积为(1)从以上三个条件中任选一个,求角;(2)设,在(1)的条件下,求四边形的面积的最大值.18.(2023·河南·模拟预测)的内角A,B,C的对边分别为,,,.(1)求;(2)若在线段上且和都不重合,,求面积的取值范围.19.(2023·湖南郴州·统考模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若D是BC上一点,且,求面积的最大值.

专题07解三角形(面积问题(含定值,最值,范围问题))(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:求三角形面积(定值问题) 2题型二:求三角形面积(最值问题,优先推荐基本不等式) 6题型三:求三角形面积(范围问题,优先推荐正弦定理化角) 11三、专项训练 15一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式(1);(2)(两边夹一角);核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2:利用正弦定理化角(如求三角形面积取值范围,优先考虑化角求范围)利用正弦定理,,代入面积公式,化角,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围.二、典型题型题型一:求三角形面积(定值问题)1.(2023·陕西渭南·统考模拟预测)已知的内角的对边分别为,且.(1)求角B;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)根据,由正弦定理可得,又,所以可得,即;因为,所以即.(2)由结合(1)中的结论,由余弦定理可得,即,解得,即,所以.即的面积为.2.(2023·湖南永州·统考一模)在中,设所对的边分别为,且满足.(1)求角;(2)若的内切圆半径,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)在中,由得,即,故,由于,故,而,故.(2)由可得,而,故,则,由的内切圆半径,可得,即,即,故,解得,故的面积.3.(2023·云南·校联考模拟预测)已知.在中,.(1)求角的大小;(2)是边上的一点,且,平分,且,求的面积.【答案】(1);(2).【详解】(1)依题意,,由,得,而,即,因此,所以.(2)在中,由及正弦定理,得,由(1)及平分,得,又,由,得,即,解得,,所以的面积.4.(2023·福建·校联考模拟预测)设的内角,,的对边分别为,,,已知,,且.(1)求;(2)求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)由及,得,由正弦定理得所以,,所以,又因为,所以.(2)由结合正弦定理得,即所以或.又因为,所以.所以,因为,所以,所以,即的面积为.5.(2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模)如图,在四边形中,与互补,.

(1)求;(2)求四边形的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)连接,如图,

与互补,与互补,在中,,即,得,在中,,即,得,又与互补,,故;(2)由(1)得,,由(1)得,,.6.(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)设的内角所对边分别为,若.(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍,当周长取最小值时,求的面积.【答案】(1)2(2)【详解】(1)因为,所以,因为,所以,所以,由正弦定理,得,即.(2)由可得:,故,于是,由正弦定理及余弦定理可得:,解得:(舍)或者,故,因为,所以当时,周长最小,此时,所以,所以的面积为.题型二:求三角形面积(最值问题,优先推荐基本不等式)1.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)在中,角的对边分别是,且.(1)求角;(2)若的中线长为,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)在中,由正弦定理得:,而,所以,化简得,因为,所以,,即,所以,又因为,所以,即.(2)由是的中线,,所以,即,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以三角形面积,即的面积的最大值为.2.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,边BC上有一动点D.(1)求角A的大小;(2)当D为边BC中点时,,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,所以,即.由正弦定理,得.因为,所以.因为,所以.又因为,所以,则.(2)因为D为边BC中点,所以,则.又,,所以,即,仅当时取等号,所以,故面积的最大值为.3.(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)在中,角,,所对的边分别是,,,若.(1)求角的大小;(2)若,求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)因为,,所以可化为,所以,又因为解得,又因为,所以.(2)由余弦定理得,所以,又,所以,所以,又因为,当且仅当时等号成立,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以三角形的面积,当且仅当时等号成立,所以三角形面积的最大值为.4.(2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测)在中,内角的对边分别为,从①,②,③,这三个条件中任选一个作为题目的补充条件,你的选择是___________,并解答下面问题:(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)选择①,且由正弦定理得:,,即:由余弦定理得:,在中,,即:.选择②,且由正弦定理得:,,整理得:,在中,,即:,又,即:.选择③,且在中:,即:,又,则.(2)由(1)得:,且,且,,即:当且仅当时,等号成立.又面积为:面积的最大值为:.5.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知的内角的对边分别是,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(1)由,知,则.(2)由(1)知,由基本不等式可得,即,当且仅当时等号成立,故的面积,当且仅当时等号成立,即时,面积的最大值取最大值,最大值为.6.(2023·福建南平·统考模拟预测)已知中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)设AD是BC边上的高,且,求面积的最小值.【答案】(1);(2).【详解】(1)在中,由及二倍角公式,得,即,整理得,因此,即,而,所以.(2)由(1)及已知,得,即有,由余弦定理得,即,因此,即,于是,当且仅当时取等号,而,所以面积的最小值为.题型三:求三角形面积(范围问题,优先推荐正弦定理化角)1.(2023·湖南郴州·统考一模)已知向量,,函数.(1)若,求的值;(2)已知为锐角三角形,,,为的内角,,的对边,,且,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1),,则;;(2),又,所以,,得,即,因为,所以,所以,所以,解得,则故,即面积的取值范围为.2.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)在中,内角,,的对边分别为,,,且,.(1)若边上的高等于1,求;(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)由正弦定理,,所以,则,又,所以,因为,所以,解得,又由余弦定理,,解得,所以.(2)由正弦定理有,且由(1)可知,所以,又因为锐角,所以,解得,所以,所以,所以,所以面积的取值范围是.3.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)如图,是边长为2的正三角形所在平面上一点(点、、、逆时针排列),且满足,记.

(1)若,求的长;(2)用表示的面积,并求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)由,且是边长为2的正三角形,则,且,所以在中,由余弦定理得,所以;(2)由,则,则,在中,由正弦定理有,得,所以,又,且,则,所以,所以,则,故的取值范围为.4.(2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知、、分别为的三个内角、、的对边长,,且.(1)求角的值;(2)求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)由条件,可得,由正弦定理,得,所以,所以,因为,所以.(2)由正弦定理,可知,,∵,∴,∴.5.(2023·重庆·统考模拟预测)在锐角中,角A、B、C的对边分别为a、b,c,其面积为S,且.(1)求角A的大小;(2)若,求S的取值范围.【答案】(1);(2).【详解】(1)在锐角中,,由余弦定理,得,即,又,,因此,有,而,解得,所以.(2)由(1)知,,,由正弦定理得:,即,则,又是锐角三角形,则有,即,亦即,于是,,所以S的取值范围是.三、专项训练1.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)在中,角的对边分别为,已知,则的面积为(

)A. B.5 C. D.【答案】A【详解】在中,因为,可得,由正弦定理,可得,又因为,可得,所以,所以,则.故选:A.2.(2023·甘肃定西·统考模拟预测)若三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为,其中,这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,a=6,则面积的最大值为(

)A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【详解】在中,因为,所以,又a=6,所以,可得,且,故的面积,当且仅当,即时取等号,故面积的最大值为12.故选:B3.(2023·四川宜宾·统考三模)在中,角A,B,C所对边分别记为a,b,c,若,,则面积的最大值是(

)A. B.2 C. D.【答案】C【详解】由余弦定理可得,所以.因为,,所以,即,解得.所以,当时,.故选:D.4.(2023·西藏拉萨·统考一模)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则的面积为(

)A. B. C.12 D.16【答案】B【详解】由正弦定理及,得,所以,所以,即,所以.由正弦定理得.因为,所以,又,所以由余弦定理得,解得,所以的面积为.故选:B.5.(2023·甘肃·统考一模)在如图所示的平面四边形ABCD中,,,记△ABD,△BCD的面积分别为,则的最大值为.

【答案】【详解】在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得:,,整理可得:,,,,则当时,.故答案为:.6.(2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测)在中,已知,,,当取得最小值时,的面积为【答案】【详解】

令,则,由,得,在中,,在中,,于是,令,则,而,则有,由余弦定理得,整理得,即,,则,当时,取得最小值,在中,,所以.故答案为:7.(2023·四川·校联考一模)在中,,,当取最大值时,的面积为.【答案】【详解】在中,利用正弦定理,所以,,有,即,其中,,取最大值,即时,有,,所以,,所以.故答案为:.8.(2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)在△ABC中,若,且,则的面积是.【答案】【详解】因为,所以,解得又,所以,所以.故答案为:9.(2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测)在中,,点D在线段AC上,且,,则面积的最大值为.【答案】【详解】设,则,在中,由余弦定理,得,在中,由余弦定理,得,由于,得,即,整理,得,在中,由余弦定理,得,即,代入式化简整理,得,由,解得,当且仅当时,等号成立,所以面积的最大值为.故答案为:.10.(2023·福建泉州·统考模拟预测)的内角所对的边分别为,且满足.(1)求;(2)若平分,且,,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)解法一:因为,所以由正弦定理可得,即,,所以,又,所以,因为,所以.解法二:在中,由余弦定理得,,又因为,所以,即,所以,因为,所以.(2)解法一:因为,所以,两边平方得,即①,又因为平分,所以,即②,由①②,解得,,所以.

解法二:在中,,所以,又因为平分,所以,即①,在中,由余弦定理,得,即②,在中,由余弦定理,得,即③,由①②③解得,,所以.解法三:过点作交于点,

因为,且平分,所以,所以为等边三角形,所以,又因为,所以,,所以.11.(2023·江苏无锡·校考模拟预测)已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)在中,内角所对的边分别是,且,若,求的面积.【答案】(1)最小正周期为,单调递增区间为.(2)【详解】(1),所以函数的最小正周期为.令,得,故函数的单调递增区间为.(2)由,得,由得,所以,得.由余弦定理得,即,因为,所以,从而有,得,则12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)在中,角的对边分别为,满足,且.(1)求的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1)解:因为,由正弦定理得,可得,又因为,所以,且,所以,因为,所以.(2)解:因为,在中,可得,即,又因为,可得,联立方程组,解得,由正弦定理,可得,所以.13.(2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知函数(1)求的单调增区间;(2)设是锐角三角形,角的对边分别为,若,求的面积.【答案】(1)(2)【详解】(1),令,,解得,,取,则故函数在的单调递增区间为(2)由,可得,因为,可得,可得,故,因为,,由余弦定理得,解得或,由于,故舍去,只取,当时,14.(2023·山东泰安·统考模拟预测)如图,平面四边形中,的三内角对应的三边为.给出以下三个条件:①②③的面积为(1)从以上三个条件中任选一个,求角;(2)设,在(1)的条件下,求四边形的面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】(

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