高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题07解三角形(面积问题(含定值最值范围问题))(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求三角形面积（定值问题） 2题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式） 4题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角） 6三、专项训练 8一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角B；(2)若，求的面积．2．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积．3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知．在中，．(1)求角的大小；(2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积．4．（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面积.5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；(2)求四边形的面积．6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设的内角所对边分别为，若．(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.(1)求角；(2)若的中线长为，求面积的最大值.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边BC上有一动点D.(1)求角A的大小；(2)当D为边BC中点时，，求面积的最大值.3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值.4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，从①，②，③，这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知的内角的对边分别是，．(1)求；(2)若，求面积的最大值．6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量，，函数.(1)若，求的值；(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若边上的高等于1，求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；(2)用表示的面积，并求的取值范围.4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．(1)求角的值；(2)求面积的取值范围．5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范围．三、专项训练1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（

）A． B．5 C． D．2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．203．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）A． B． C．12 D．165．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为.

6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为7．（2023·四川·校联考一模）在中，，，当取最大值时，的面积为.8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是．9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为．10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面积.11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，满足，且．(1)求的大小；(2)若，求的面积．13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数(1)求的单调增区间;(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．给出以下三个条件：①②③的面积为(1)从以上三个条件中任选一个，求角；(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．18．（2023·河南·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为，，，.(1)求；(2)若在线段上且和都不重合，，求面积的取值范围.19．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若D是BC上一点，且，求面积的最大值．

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求三角形面积（定值问题） 2题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式） 6题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角） 11三、专项训练 15一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角B；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）根据，由正弦定理可得，又，所以可得，即；因为，所以即．（2）由结合（1）中的结论，由余弦定理可得，即，解得，即，所以．即的面积为.2．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，则，由的内切圆半径，可得，即，即，故，解得，故的面积.3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知．在中，．(1)求角的大小；(2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，由，得，而，即，因此，所以.（2）在中，由及正弦定理，得，由（1）及平分，得，又，由，得，即，解得，，所以的面积.4．（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及，得，由正弦定理得所以，，所以，又因为，所以.（2）由结合正弦定理得，即所以或.又因为，所以.所以，因为，所以，所以，即的面积为.5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形中，与互补，．

(1)求；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）连接，如图，

与互补，与互补，在中，，即，得，在中，，即，得，又与互补，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设的内角所对边分别为，若．(1)求的值;(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．【答案】(1)2(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得，即．（2）由可得：，故，于是，由正弦定理及余弦定理可得：，解得：(舍)或者，故，因为，所以当时，周长最小，此时，所以，所以的面积为．题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且.(1)求角；(2)若的中线长为，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化简得，因为，所以，，即，所以，又因为，所以，即.（2）由是的中线，，所以，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以三角形面积，即的面积的最大值为.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边BC上有一动点D.(1)求角A的大小；(2)当D为边BC中点时，，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即.由正弦定理，得.因为，所以.因为，所以.又因为，所以，则.（2）因为D为边BC中点，所以，则.又，，所以，即，仅当时取等号，所以，故面积的最大值为.3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，，若.(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以可化为，所以，又因为解得，又因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，又，所以，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以三角形的面积，当且仅当时等号成立，所以三角形面积的最大值为.4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，从①，②，③，这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选择①，且由正弦定理得：，，即：由余弦定理得：，在中，，即：.选择②，且由正弦定理得：，，整理得：，在中，，即：，又，即：.选择③，且在中：，即：，又，则.（2）由（1）得：，且，且，，即：当且仅当时，等号成立.又面积为：面积的最大值为：.5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知的内角的对边分别是，．(1)求；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，知，则．（2）由（1）知，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故的面积，当且仅当时等号成立，即时，面积的最大值取最大值，最大值为.6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由及二倍角公式，得，即，整理得，因此，即，而，所以.（2）由（1）及已知，得，即有，由余弦定理得，即，因此，即，于是，当且仅当时取等号，而，所以面积的最小值为.题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量，，函数.(1)若，求的值；(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），，则；；（2），又，所以，，得，即，因为，所以，所以，所以，解得，则故，即面积的取值范围为.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若边上的高等于1，求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，，所以，则，又，所以，因为，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因为锐角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面积的取值范围是．3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；(2)用表示的面积，并求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，则，且，所以在中，由余弦定理得，所以；（2）由，则，则，在中，由正弦定理有，得，所以，又，且，则，所以，所以，则，故的取值范围为.4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．(1)求角的值；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由条件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因为，所以．（2）由正弦定理，可知，，∵，∴，∴.5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理，得，即，又，，因此，有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，由正弦定理得：，即，则，又是锐角三角形，则有，即，亦即，于是，，所以S的取值范围是.三、专项训练1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【详解】在中，因为，可得，由正弦定理，可得，又因为，可得，所以，所以，则.故选：A.2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以，可得，且，故的面积，当且仅当，即时取等号，故面积的最大值为12.故选：B3．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】由余弦定理可得，所以.因为，，所以，即，解得.所以，当时，.故选：D.4．（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）A． B． C．12 D．16【答案】B【详解】由正弦定理及，得，所以，所以，即，所以.由正弦定理得.因为，所以，又，所以由余弦定理得，解得，所以的面积为.故选：B.5．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为.

【答案】【详解】在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，整理可得：，，，，则当时，.故答案为：.6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为【答案】【详解】

令，则，由，得，在中，，在中，，于是，令，则，而，则有，由余弦定理得，整理得，即，，则，当时，取得最小值，在中，，所以.故答案为：7．（2023·四川·校联考一模）在中，，，当取最大值时，的面积为.【答案】【详解】在中，利用正弦定理，所以，，有，即，其中，，取最大值，即时，有，，所以，，所以.故答案为：.8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若，且，则的面积是．【答案】【详解】因为，所以，解得又，所以，所以．故答案为：9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为．【答案】【详解】设，则，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由于，得，即，整理，得，在中，由余弦定理，得，即，代入式化简整理，得，由，解得，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为.故答案为：.10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，所以由正弦定理可得，即，，所以，又，所以，因为，所以.解法二：在中，由余弦定理得，，又因为，所以，即，所以，因为，所以.（2）解法一：因为，所以，两边平方得，即①，又因为平分，所以，即②，由①②，解得，，所以.

解法二：在中，，所以，又因为平分，所以，即①，在中，由余弦定理，得，即②，在中，由余弦定理，得，即③，由①②③解得，，所以.解法三：过点作交于点，

因为，且平分，所以，所以为等边三角形，所以，又因为，所以，，所以.11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)【详解】（1），所以函数的最小正周期为.令，得，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因为，所以，从而有，得，则12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，满足，且．(1)求的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，可得，又因为，所以，且，所以，因为，所以.（2）解：因为，在中，可得，即，又因为，可得，联立方程组，解得，由正弦定理，可得，所以.13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数(1)求的单调增区间;(2)设是锐角三角形，角的对边分别为，若，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1），令，，解得，，取，则故函数在的单调递增区间为（2）由，可得，因为，可得，可得，故，因为，，由余弦定理得，解得或，由于，故舍去，只取，当时，14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．给出以下三个条件：①②③的面积为(1)从以上三个条件中任选一个，求角；(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（