2024八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形2等腰三角形的判定上课课件新版华东师大版

13.3等腰三角形第2课时

等腰三角形的判定第13章

全等三角形1、能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理；2、能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题；温故知新ABC等腰三角形的性质：等腰三角形两腰相等。等腰三角形两底角相等（等边对等角）。等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。等腰三角形是轴对称图形。

情境引入

在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA知识点一

等腰三角形的判定探究新知

对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？

按定义，看它是否有两条边相等。你还能找到其他的判定方法吗？探索

我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？画画看，你发现了什么？在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，（角平分线的定义）∴△ABD

≌△ACD（AAS）.∠B=∠C（已知），AD=AD（公共边），∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，∴△

ABC是等腰三角形.画∠BAC的平分线交BC于点D.证明：CAB21D（（已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．

想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．总结归纳等角对等边等边对等角∴

AC=AB

().即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C(),已知等角对等边在△ABC中，应用格式：BCA((文字语言图形语言符号语言等边对等角等角对等边∴∠B=∠C(等边对等角）.ABC在△ABC中，∵AC=AB

(已知)，∴AC=AB

(等角对等边）.ABC在△ABC中，∵∠B=∠C

(已知)，它们的条件与结论正好调换了过来，这也叫互逆命题.典例精析【例1】

如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O.OB与OC相等吗？请说明理由.ABCOED

练一练1、如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.ABC40°70°证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∠A＝40°，∠B＝70°∴∠C＝180°－∠A－∠B

＝180°－40°－70°＝70°∴∠C＝∠B∴AB＝AC（等角对等边）2、如图，AB//CD，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.ABCD21证明：∵AB∥CD∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠B＝∠1（等量代换）∴AB＝AC（等角对等边）知识点二

等边三角形的判定一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？ABC三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：

AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：判定1：判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形ABC已知：若AB=AC,∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.12动动手

若AB=AC,∠B=60°，求证AB=AC=BC.等腰三角形边角特殊线

对称性每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)三个角都相等，轴对称图形对称轴（3条）等边三角形轴对称图形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)且都是60°两条边相等三条边都相等等边三角形性质归纳：典例精析【例2】

如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.(1)求证:△ABE≌△CAF;(2)求∠BDF的度数.解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，

∴△ABE≌△CAF(SAS).ABCDEF解：(2)∵△ABE≌△CAF,∴∠ABE=∠CAF.∴∠BDF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.ABCDEF(2)求∠BDF的度数.练一练1.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E.ABCDE

2.如图,等边△ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．ABCDFE3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；BCAMN解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．BCAFEMN(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．想一想：本题你还能得到哪些结论？1.在△ABC中,已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么?△ABC是等腰三角形,因为∠B=65°,∠A=50°,所以∠C=65°,∠B=∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形.2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.36°72°△ABC△DBA△BCDABCD((12BCDAE3.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°,∠DBA=30°.∵

BD=BE，∴∠BDE=(180°-∠DBA)÷2=(180°-30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°-∠BDE=90°-75°=15°.4.如图，∠A=∠B，CE∥DA.求证：CE=CB.需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形?BADCE证明:∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB.∵∠A=∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CE＝CB.再增加∠B＝60°，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E，并与CA的延长线相交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由.解：△ADF是等腰三角形.理由：在△ABC中.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°,∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，∴∠BDE=∠F.∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠F，∴AF=AD.∴△ADF是等腰三角形.ABCEDF6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，