5.1.1+任意角+ 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.1.1任意角教学目标

了解任意角的概念，区分正角、负角与零角（重点）01

理解象限角的概念（重点）02理解并掌握终边相同的角的概念（重点、难点）03能熟练写出终边相同的角所组成的集合（重点、难点）04任意角学科素养任意角的概念角的分类

数学抽象

直观想象

求区域角逻辑推理判断象限角及终边相同的角数学运算

数据分析

数学建模任意角01知识回顾RetrospectiveKnowledge

圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢？

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角a，射线OA，OP分别是角a的始边和终边．当角a确定时，终边OP的位置就确定了，这时，射线OP与⊙O的交点P也就确定了，由此想到，可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化．由初中知识可知，射线OA绕端点O按道时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°~

360°范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．角的定义oABαoABα始边终边顶点定义1：平面内有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，范围为0°～360°.定义2：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.角的定义02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等动作．这里不仅角度超出了0°~360°，并且旋转的方向也不相同．

因此，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广．

又如，图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且两个齿轮旋转的方向刚好相反，这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向．角的概念的推广oABoABαβ一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．（零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α=0°）

为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角α或∠α，可以简记为α.角的概念的推广

左图中的角是一个正角，它等于750°．

右图中，正角α=210°，负角β=－150°，γ=－660°．

正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角．这样，我们把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．角的概念的推广

设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β．

类似于实数t的相反数是－t，我们引入角α的相反角的概念．

如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α，则α－β=α＋(－β)．

设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．α-αα-ααβα+βOA角的概念的推广直角钝角平角锐角周角

初中所学角0°~360°可以怎么分类？

我们通常在坐标系内讨论角．为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．

如果角的终边落在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，又称轴线角．始边终边终边终边终边象限角的定义

在直角坐标系中研究角，根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？

角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．象限角的定义-50°xyoxyo210°-450°xyo405°xyo-200°xyo第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角轴线角【练习】那么下列各角：

－50°，405°，

210°，

－200°，－450°，分别是第几象限的角？象限角的定义

把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？探究如果－32°的终边是OB，那么328°，－392°，…角的终边都是OB，并且与角－32°终边相同的这些角都可以表示成－32°的角与k个(k∈Z)周角的和，如：

328°=－32°+360°（这里k=1）

－392°=－32°－360°（这里k=－1）终边相同的角的表示问题：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与-32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与-32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？问题：将-32°推广到一般角α，结论应该是什么？终边相同的角的表示即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

一般地，我们有：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合终边相同的角的表示【解析】与－950°12′角终边相同的角可以写成：例1

在0°~360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k＝3时，β＝129°48′，所以在0°~360°范围内与－950°12′角终边相同的角为129°48′，当它是第二象限角．1.利用终边相同角的表示，将角转化到0°～360°范围内；2.确定角的终边所在的位置（在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的）．象限角的判定方法例2

写出终边在y轴上的角的集合．【解析】在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k∙360°，k∈Z}而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k∙360°，k∈Z}于是，终边落在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+k∙360°，k∈Z}∪{β|β=270°+k∙360°，k∈Z}={β|β=90°+2k∙180°，k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)∙180°，k∈Z}={β|β=90°+n∙180°，n∈Z}{α|α=k·360°，k∈Z}{α|α=k·360°+180°，k∈Z}{α|α=k·360°+90°，k∈Z}{α|α=k·360°+270°，k∈Z}{α|α=k·180°，k∈Z}{α|α=k·180°+90°，k∈Z}{α|α=k·90°，k∈Z}轴线角的集合表示例3

写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？【解析】S＝{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．练习(多选)下列说法，不正确的是（）A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角ACD练习

若角2α与240°角的终边相同，则α等于（）A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，所以α＝120°＋k·180°，k∈Z．练习

下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（）A．－37°B．143°C．379°

D．－143°【解析】与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°．03拓展提升ExpansionAndPromotion第一象限角:第二象限角:第三象限角:第四象限角:区域角(终边落在坐标系的某个区域的角)的表示：

例

用集合表示下列各范围的角区域角的表示

30°75°①②练习

写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合【解析】在0°~360°范围来看，阴影部分①的角α的

范围是30°≤α<105°，所以在坐标系中角α的范围是{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}．

在0°~360°范围来看，阴影部分②的角α的范围是210°≤α<285°，所以在坐标系中角α的范围是:{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}．故终边落在两个阴影部分的角α的集合为

{α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}．区域角的表示第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终