工程优化设计复习

复习共七十九页机械(jīxiè)优化设计的定义

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机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，寻找实现预期(yùqī)目标的最优设计方案和最佳设计参数。

第一章机械优化设计的基本概念和理论共七十九页一、设计(shèjì)变量第一章机械优化设计(shèjì)的基本概念和理论（续）在优化设计过程中，要选择的设计参数。设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的维数。二、设计空间共七十九页第一章机械(jīxiè)优化设计的基本概念和理论（续）优化设计中要优化的某个(mǒuɡè)或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。三、目标函数优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。四、设计约束共七十九页性能约束

由结构(jiégòu)的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。约束条件的分类(fēnlèi)第一章机械优化设计的基本概念和理论（续）根据约束的性质分边界约束

直接限定设计变量取值范围的约束条件，即共七十九页一个n维的优化设计问题中，等式约束(yuēshù)的个数必须少于n。等式(děngshì)约束

根据约束条件的形式分不等式约束第一章机械优化设计的基本概念和理论（续）显式约束隐式约束共七十九页第一章机械优化设计(shèjì)的基本概念和理论（续）五、可行(kěxíng)域在设计空间中，满足所有的约束条件所构成的空间。六、优化设计的数学模型1、优化设计的数学模型共七十九页的

X*、f(X*)。第一章机械(jīxiè)优化设计的基本概念和理论（续）2、约束(yuēshù)优化设计的最优解约束优化设计的最优解为使：共七十九页第二章优化设计(shèjì)的数学基础一、目标函数(hánshù)的基本性质1、函数的等值面（线）具有相同目标函数值的点的集合形成一个曲面或曲线，称为目标函数的等值面或等值线。它是用来描述研究函数的整体性质的。共七十九页用Matlab可画出该函数(hánshù)的等直线。

共七十九页第二章优化设计(shèjì)的数学基础一、目标(mùbiāo)函数的基本性质X1点的最速下降方向为局部性质2、函数的最速下降方向—梯度方向梯度向量与过点X(0)的等值线的切线方向垂直（正交）共七十九页第二章优化设计的数学(shùxué)基础（续）二、函数(hánshù)的近似表达式

H(X(k))

为Hessian

矩阵共七十九页函数(hánshù)的凸性表现为单峰性。oxf(x)abx*三、函数(hánshù)的凸性第二章优化设计的数学基础（续）凸函数则f（X）为D上的凸函数，否则为凹函数。如果Hessian矩阵正定，为凸函数；共七十九页（一）、无约束优化问题(wèntí)的极值条件1.F(x)在处取得极值，其必要条件是:

即在极值点处函数(hánshù)的梯度为n维零向量。四、优化问题的极值条件第二章优化设计的数学基础（续）共七十九页海森（Hessian）矩阵正定，即各阶主子式均大于零，则X*为极小点。海森（Hessian）矩阵负定，则X*为极大点。2.在X*处取得极值(jízhí)充分条件共七十九页1、约束优化设计的最优点(yōudiǎn)在可行域D内最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；二、约束(yuēshù)优化问题的极值条件共七十九页

目标函数(hánshù)等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：，约束方程所围成的可行(kěxíng)域是D。共七十九页2、约束优化设计的最优点在可行(kěxíng)域D的边界上设X

(k)点有适时约束*库恩—塔克条件(tiáojiàn)（K-T条件(tiáojiàn)）：共七十九页

K-T条件是多元函数取得约束极值的必要条件,以用来作为约束极值的判断条件，又可以(kěyǐ)来直接求解较简单的约束优化问题。

对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况，符合K-T条件的点一定是全局(quánjú)最优点。这种情况K-T条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。共七十九页第三章一维搜索(sōusuǒ)的最优化方法一、黄金分割(huángjīnfēngē)法1、在寻找一个区间[Xa,Xb]，使函数f(X)在该区间的极小点X*∈[Xa,Xb]

2、用黄金分割法在区间[Xa,Xb]中寻找X*。共七十九页第三章一维搜索(sōusuǒ)的最优化方法（续）f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留(bǎoliú)[X1，Xb][Xa，X1，X2，Xb]如何消去子区间？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]收敛准则：时，终止迭代，于是所求最优点共七十九页确定最优解所在(suǒzài)区间的进退法基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较(bǐjiào)其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。一维搜索的插值类方法（间接法）第三章一维搜索的最优化方法（续）牛顿法抛物线法共七十九页基本思想:利用目标函数在若干点的信息(xìnxī)，构成一个与目标函数值相近似的低次插值多项式p(x)，然后用多项式p(x)的最优解作为函数的近似最优解(即p’(x*p)=0的根)作为目标函数f(x)的近似极值点。牛顿(niúdùn)法抛物线法收敛条件：最优解：收敛条件与牛顿法相似共七十九页迭代过程中，要充分利用函数(hánshù)的解析式，故称为解析法（又称间接法）。包括：梯度法、共轭梯度法、牛顿(niúdùn)法和变尺度法在迭代过程中只需计算函数值，故称直接法。包括：坐标轮换法、单纯形法和鲍威尔法。第四章无约束最优化方法共七十九页一.梯度(tīdù)法（最速下降法）1.基本(jīběn)思想：2.搜索方向：梯度方向是函数值变化率最大的方向，沿着梯度方向，函数值上升最快，负梯度方向是函数值下降最快的方向，因此，在求极小值考虑搜索方向时，用负梯度方向作为一维搜索的方向，即:第四章无约束最优化方法共七十九页一.梯度(tīdù)法（续）3.迭代(diédài)公式或：是步长，每次迭代保证最优值为：共七十九页4、梯度(tīdù)法的搜索路线f(X)=

ckf(X)=ck+1ss(k)和s(k+1)正交一、梯度(tīdù)法（续）共七十九页一、梯度(tīdù)法（续）收敛(shōuliǎn)条件：最优解：共七十九页二、共轭梯度(tīdù)法（旋转梯度(tīdù)法）(1).基本(jīběn)思想对梯度法作一个修正，将搜索方向由负梯度方向旋转一个角度，使相邻的两次搜索方向由正交变为共轭，成为二次收敛。β(k)S(k)第四章无约束最优化方法（续）共七十九页(2).共轭系数(xìshù)二、共轭梯度(tīdù)法（续）共七十九页二、共轭梯度(tīdù)法（续）收敛(shōuliǎn)条件最优解：共七十九页三、牛顿(niúdùn)法（二阶梯度法）1.基本(jīběn)思想将f(x)在x(k)点作泰勒展开，取二次函数式Φ(x)作为近似函数,以Φ(x)的极小值点作为f(x)的近似极小值点。第四章无约束最优化方法（续）共七十九页三、牛顿(niúdùn)法（续）2、迭代(diédài)公式收敛条件最优解：共七十九页§4-2牛顿(niúdùn)法牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向共七十九页1、变尺度(chǐdù)的定义每确定一次搜索方向，调整一次模（尺度）的大小(dàxiǎo)，称为变尺度。2、基本思想发扬梯度法和牛顿法各自的优点，避免两者各自的缺点，将两者结合起来，形成变尺度法。四、变尺度法第四章无约束最优化方法（续）共七十九页四、变尺度(chǐdù)法(续）3、迭代(diédài)公式：当——梯度法。—阻尼牛顿法4、基本思路：共七十九页5、构造变尺度(chǐdù)矩阵H(k)的递推公式修正(xiūzhèng)矩阵

四、变尺度法(续）共七十九页6、收敛(shōuliǎn)条件7、最优解：四、变尺度(chǐdù)法(续）共七十九页1、基本(jīběn)思想它是以共轭方向为基础的收敛速度较快的直接搜索法。若沿连接相邻两轮搜索末端的向量(xiàngliàng)S方向搜索，收敛速度加快。

目的：以共轭方向打破振荡，加速收敛。二、鲍威尔法（Powell法）第四章无约束优化方法——直接法共七十九页共七十九页2、迭代(diédài)步骤二、鲍威尔法（续）共七十九页构建(ɡòujiàn)共轭方向进行(jìnxíng)一维搜索二、鲍威尔法（续）3、迭代公式共七十九页4、收敛(shōuliǎn)条件5、最优解二、鲍威尔法（续）共七十九页如由约束条件所限定的可行域是凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则，将由于所选择(xuǎnzé)的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上。约束问题(wèntí)目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定的可行域内的最小值。可行域就是约束函数的集合第五章约束优化方法基本概念共七十九页3、约束(yuēshù)问题的数学模型为约束条件分为(fēnwéi)两类：等式约束和不等式约束将约束优化问题转换成无约束优化问题求解。2、基本思想共七十九页4、约束优化问题(wèntí)分为:直接法、间接法。（1）直接(zhíjiē)法

直接法包括：可行方向法、线性逼近法、复合形法、随机试验法、随机方向法、梯度投影法、简约梯度法和

广义简约梯度法。适用范围：仅含不等式约束条件的优化问题。

间接法包括：惩罚函数法、消元法、拉格朗日乘子法。适用范围：对于不等式约束问题和等式约束问题均有效（2）间接法共七十九页一、复合(fùhé)形法——直接法复合形法是单纯形法在约束问题(wèntí)中的发展。在用于求解约束问题的复合形法中，复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下降，还应当满足所有的约束条件。第五章约束优化方法共七十九页1、基本原理一、复合(fùhé)形法（续）个顶点(dǐngdiǎn)所构成所谓复合形是指在n维设计空间内由的多面体（一般2n个顶点）。

复合形法就是在n维设计空间的可行域内进行：比较去掉满足逐步调向最优点。各顶点的目标函数约束条件最坏点数学模型：共七十九页产生k个随机点，将可行点依次排在前面，如有q个顶点(dǐngdiǎn)X

(1)、X

(2)…X

(q)是可行点，其它k-q个为非可行点，则：（2）将第q+1点朝着点X

(s)的方向(fāngxiàng)移动，新点X

(q+1)为：

X(q+1)=X(s)+0.5(X(q+1)—X(s))（1）计算q个点集的中心X

(s)；一、复合形法（续）2、迭代过程共七十九页共七十九页

函数(hánshù)值之差的均方根值小于误差限：

函数(hánshù)值之差的平方和小于误差限：

函数值差的绝对值之和小于误差限：

最后复合形的好点X(l)及其函数值f(X(l))为最优解。3、判断终止条件一、复合形法（续）共七十九页可行方向是求解大型不等式约束优化问题的主要方法之一。基本思想：这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点，当确定了一个可行方向d和适当的步长后，按式:§7-1可行方向法进行迭代计算,迭代点既不超出可行域,又使目标函数(hánshù)的值有所下降。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近约束最优点。共七十九页2.产生(chǎnshēng)可行方向的条件可行方向是指沿该方向作微小移动(yídòng)后，所得到的新点是可行点，且目标函数值有所下降。

可行方向应满足两个条件:(1)可行;(2)下降。1）可行条件

方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点为可行点。共七十九页2）下降(xiàjiàng)条件

方向的下降(xiàjiàng)条件是指沿该方向作微小移动后，所得新点的目标函数值是下降(xiàjiàng)的。

共七十九页最优步长最大步长共七十九页收敛(shōuliǎn)条件2）设计点xk满足(mǎnzú)库恩-塔克条件1）设计点xk及约束允差满足共七十九页1、基本思想通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，用无约束最优化方法求解(qiújiě)，这类方法称为序列无约束最小化方法。简称为SUMT法。二、惩罚(chéngfá)函数法SUMT法的目标函数一般可写成

罚函数(增广目标函数）

惩罚项罚因子在迭代过程中使收敛于同一最优解。

和第五章约束优化方法共七十九页3、罚函数(hánshù)的分类罚函数(hánshù)内点罚函数法（内点法）外点罚函数法（外点法）混合罚函数法（混合法）第五章约束优化方法共七十九页惩罚函数(hánshù)构造的形式为：或：4、内点法罚函数(hánshù)的构造将新目标函数定义于可行域内，迭代过程均在可行域内进行，逐步逼近最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。适用条件：当迭代点接近边界上时，使迭代过程无法超越边界，故内点法也叫障碍函数法或称为围墙法。共七十九页当惩罚因子r(k)=0时可得到(dédào)原问题的最优解。——应用(yìngyòng)求导数的解析法——适用于直接法共七十九页初始点应选择一个(yīɡè)离约束边界较远的可行点。2）选取适当的罚因子初值r0，降低(jiàngdī)系数c（0<c<1)，计算精度。1）在可行域内选一个初始点内点X0惩罚函数法（续）5、内点法的迭代步骤一般经常取r(0)=14)收敛条件3)构造惩罚函数，调用无约束优化方法，求minΦ(X,r(k))的极值点。共七十九页三、外点法外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近(bījìn)原约束问题的最优解。外点法可以用来求解(qiújiě)含不等式和等式约束的优化问题。外点法惩罚函数的构造：(1)、共七十九页即：(2)、对于(duìyú)

惩罚函数(hánshù)的形式取为共七十九页共七十九页混合罚函数法可处理等式(děngshì)和不等式(děngshì)约束的优化