《数值分析》配套教学课件

数值分析教材

数值分析

李庆扬、王能超、易大义（华中科技大学出版社，第四版）

数值分析孙志忠、

袁慰平等（东南大学出版社,第二版）

数值逼近蒋尔雄、赵风光、苏仰峰（复旦大学出版社，第二版）第1章绪论一、数值分析能够做什么？（应用问题举例）§1Introduction1、一个两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算术》——这是一个线性方程组求解问题

2、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温——这是一个插值问题

3、人口预测

下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743——这是一个曲线拟合问题

4、铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.

这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.——这是一个数值求积问题

二、数值分析的含义、内容与特点诺贝尔奖得主,计算物理学家Wilson提出现代科学研究的三大支柱：理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会用数学解决实际问题--会用计算机进行科学计算——计算成为第三种科学方法建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程什么是数值分析？数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分，它主要研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法）;对求得的解的精度进行评估以及在计算机上实现求解等。数值计算方法已经成为计算机处理实际问题的一个重要手段，从宏观天体运动学到微观分子细胞学，从工程系统到社会经济系统，无一能离开数值计算方法。因此，数值计算与计算机模拟被称为“第三种研究科学方法”。

传统数值分析的主要研究内容：1、数值逼近：插值、函数逼近与计算、拟合、FFT、数值积分与微分2、数值代数：方程求根、线性代数方程组的解法、非线性代数方程组的解法、特征值与特征向量3、微分方程数值解：ODE、PDE和有限元法4、最优化方法：无约束优化与有约束优化方法

现代计算方法：融进了机器学习计算、仿生计算、网络计算、以数据为核心的计算和各种普适计算、非线性科学计算等内容。数值分析的主要特点：借助计算机提供切实可行的数学算法.想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理时间复杂性好__指节省时间；空间复杂性好__指节省存储量。计算复杂性好

通过数值实验证明算法行之有效.如何学好数值分析？三、算法

描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。

定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。例：求解二元一次联立方程组用行列式解法：首先判别

（1）如果，则令计算机计算

输出计算的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：令通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：S2计算S3如果则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;否则S1输入S4输出计算的结果输入

D=a11a22-a12a21D=0开始输出

x1,x2

结束

No输出无解信息Yes四、算法优劣的判别

计算量的大小存贮量逻辑结构例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)

次乘法运算。

n=20需要运算多少次？n=100?一、误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落，其下落距离s

与时间t的关系是：

其中g

为重力加速度。§2误差来源与误差分析的重要性通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差）例如，当函数用Taylor多项式

近似代替时，数值方法的截断误差是（在与0之间）。四舍五入后……在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响！

用计算机、计算器和笔算都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，如：机器字长有限——

舍入误差二、误差分析的重要性

在数值计算中不注意误差分析，用不同正确的方法可能产生不同的结果，甚至有的方法求得的结果是可行的，有的方法求得的结果是错误的。计算并估计误差。例1.1:

数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动（即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称其为数值不稳定。

例：求定积分的值.解：直接积分可产生递推公式若取初值可得递推公式按公式就可以逐步算出注意此公式精确成立，且Whathappened?!不稳定的算法！这就是误差传播所引起的危害!

NYBJ蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！这是一个病态问题由题设中的递推公式（1）可看出，

的误差扩大了5倍后传给

，因而初值

的误差对以后各步这就造成的计算结果严重失真。计算结果的影响，随着

的增大愈来愈严重。要怎么做才能解决这个问题呢?可求得I90.017，按改写后的公式可逐次求得不妨设I9I10，于是由将公式变为

I80.019I70.021 I60.024I80.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182稳定的算法！

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。注：递推公式(1)的舍入误差以5的幂次增长进行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式(2)的舍入误差在一定范围内以0.2的幂次进行传播，随着n的增大，误差逐步减少，因此该算法是数值稳定的。

因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定的算法，称为无条件稳定。而对某些数据数值稳定，对其它数据数值不稳定的算法，称为条件稳定。一、绝对误差与绝对误差限例:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！是近似值的绝对误差,简称为误差。

定义1设是准确值，为

的一个近似值，称§3误差的基本概念但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即，则称为绝对误差限。有了绝对误差限，就可以知道的范围为即落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划的精度。为近似值的相对误差，记作，通常取设是准确值，是近似值，是近似值的误差，称一般情况下是不知道的，怎么办？相应地，若正数满足则称为的相对误差限。二、相对误差与相对误差限有位有效数字。则称其中，是1到9中的一个数字；是0到9中一个数字；为整数，且若近似值的误差限是某一位的半个单位,该位到的左边第一位非零数字共有位,就说有位有效数字。也即，若

三、有效数字取作的近似值，就有三位有效数字；取作的近似值，就有五位有效数字。例如：注：（1）例1.2,1.3。（2）若一近似数是由原真值经四舍五入得到，则必为有效数。（3）若是一个位有效数字，则，这说明有

效位数越多，绝对误差越小。

则

至少具有位有效数字。定理1对于用式表示的近似数，若具有位有效数字，则其相对误差限为反之，若的相对误差限为证明：由(*)式可得:

反之

即至少有位有效数字.

当有位有效数值时:

例1.4：例：用表示具有三位有效数字的近似值，则其相对误差限要使的近似值的相对误差限小于

,要取几位有效数字?

四、数值运算的误差估计设是一元函数，的近似值为,以近似，其误差限记作，可用Taylor展开

介于之间.取绝对值得1、函数值的误差（当自变量有误差时）假定与的比值不太大,,可忽略的高阶项,于是可得计算函数的误差限为

当为多元函数时计算,如果的近似值为,则的近似为于是函数值的误差由Taylor展开,得：于是误差限为而的相对误差限为(1.3.1)(1.3.2)例1.5:已测得某场地长的值为,宽的值为,已知,，试求面积的绝对误差限与相对误差限。

解:其中由式(1.3.1)得于是绝对误差限为相对误差限为2、四则运算的误差估计设和分别是准确值和的近似值。（1）加法：令，则（2）减法：令，则（3）乘法：令，则（4）除法：令，则1.要避免两个相近的数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。例:

求的值。当x=1000，y的准确值为0.01580

§4数值运算中误差分析的方法与原则（误差的控制）类似地

(2)若将原式改写为则y=0.01581(1)直接相减有3位有效数字！只有1位有效数字2.尽量避免绝对值太小的数作分母例：如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时结果相差这么大!3.避免大数吃小数精确解为算法1：利用求根公式例：用单精度计算的根。在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.简化计算步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为例：多项式求值：给定的x求下列n次多项式的值。

解：1.用一般算法，即直接求和法；

2.逐项求和法；3.秦九韶方法(即Hornor算法）；先计算x2,x3,…,xn,再作线性组合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐项求和法按顺序依次计算每一项的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以递推实现。约翰·冯·诺依曼（JohnvonNeumann,1903-1957）美藉匈牙利人，1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国。1931年成为该校终身教授。1933年成为新成立的普林斯顿高等研究院的终身研究员。1951年至1953年任美国数学会主席。冯·诺依曼是20世纪少有的数学科学通才，在许多领域都有重要的贡献，被西方人誉为“数学奇才、计算机之父”。冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术和数值分析的开拓性工作。第二章插值法§1引言一、引例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温.这就是本章要讨论的“插值问题”

插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。

伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了不同的解决方法。二、插值问题的定义这个问题称为“插值问题”

(2.1.1)这里g(x)

称为f(x)的插值函数;节点称为插值节点;条件(2.1.1)称为插值条件;区间称为插值区间。如果利用g(x)来求f(x)

在y点的近似值，则称y为插值点。由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x)，满足条件

上一系列节点

处测得函数值,

当函数y=f(x)非常复杂或未知时，设在区间定义2.1

插值函数的类型有很多种,最常用的插值函数是代数多项式。用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即选取次数不超过n的多项式Pn(x)，使得

代数插值一、插值多项式的存在唯一性？二、插值多项式的常用构造方法？三、插值多项式的误差如何估计？

(2.1.2)一、插值多项式的存在唯一性设所要构造的插值多项式为：由插值条件得到如下线性代数方程组：

（2.2.1）§2一般多项式插值此方程组的系数行列式为当

时，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。范得蒙行列式的转置！定理2.1插值条件的n

阶插值多项式Pn(x)存在且唯一。插值多项式的构造：插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？对于给定的互异节点x0…xn,满足

，用于插值的简单函数集合+线性组合结构→插值多项式简单函数元素集是指构成多项式的基函数集合，例如自然形式（2.2.1）的自然基底,、

、

(结构)(集合)若求自然形式(2.2.1)的插值多项式问题，只要求解线性方程组（2.2.2）计算出多项式系数即可。一般插值多项式的构造方法通过解方程组(2.2.2)求得插值多项式的方法并不可取.这是因为当n较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）,当阶数n越高时，

病态越重。怎样可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢?在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数

,使不同的基函数的选取导致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插值Hermite插值1．n次拉格朗日插值多项式设连续函数

在上对给定的个不同节点上分别取函数值试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足插值条件:

二、拉格朗日(Lagrange)插值定义2.2若n次多项式在个节点

上满足条件由定理2.1得：

则称这个次多项式为节点上的次插值基函数。因此，令的表达式推导：根据的定义，以外所有的结点都是

的根，又由，得：

2．线性插值(n=1)

xkxk+1(xk,yk)(xk+1

,yk+1)f(x)P1(x)3．抛物插值(n=2)p2(x)

f(x)xk-1xkxk+1f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。

注：（1）

次数。（2）记，则，所以4、插值余项定理2.2

设在[a,b]上连续，在（a,b）内存在,则在[a,b]上的n+1个互异的节点，对

所作的n次Lagrange插值多项式有误差估计

Rolle’sTheorem的推论:若充分光滑，且存在使得构造(固定)由Roll定理,知存在证明:当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，，可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插），用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，误差可能很大。注：

通常不能确定

,而是估计，x(a,b)，将作为误差估计上限。通常取。也称为Lagrange插值多项式的插值余项。当n=1时，当n=2时，例：已知分别利用1次、2次Lagrange插值计算

sin50，并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用利用

计算得：sin500.76008,

利用x0,x1

作为插值节点的实际误差0.01001利用x1,x2作为插值节点的实际误差

0.00596sin50=0.7660444…n=22次插值的实际误差

0.00061三、牛顿插值（Newton’sInterpolation）Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)

都需要重新计算。希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。能否重新在

中寻找新的基函数？回顾：Lagrange插值的优缺点：

优点：具有严格的规律性,便于记忆。

缺点：计算量大、不具有承袭性。利用插值条件代入上式，得关于的线性代数方程组:设当

互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解1．差商及其性质(1)差商的定义定义2.3

设已知函数f(x)在互不相等的节点上的函数值为，

称为f(x)在点xi,xj处的一阶差商，记作f[xi,xj]；

称为f(x)在点xi,xj,xk处的二阶差商，记作f[xi,xj,xk]；称为f(x)在点x0,x1,…,xk处的k阶差商，记作f[x0,x1,…,xk]。

由差商定义知高阶差商是两个低一阶差商的差商(2)差商的性质

性质1(差商与函数值的关系):记,则性质2

（对称性）：差商的值与结点排列顺序无关，即性质3(差商与导数的关系):设在上有阶导数,且则存在使得

性质4(特征定理):差商可列表计算：

f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xi

yi

一阶差商

二阶差商

n阶差商

……x0x1x2xn-1xn

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1](3)差商的计算

利用差商的定义,可得的系数

:从而因此每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。

2.牛顿插值公式3.牛顿插值余项由插值多项式的唯一性可知，故其余项也相同，即命题

Newton插值多项式的余项为

其中从而，例:给定的数据表

2.202.402.602.803.000.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.分别写出二次、四次Newton插值多项式解:构造差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商余项四、等距节点插值

引入(微商的离散化)：1．差分的定义设函数在等距节点上的值已知,这里为常数,称为步长，分别称为在处以为步长的一阶向前差分,一阶向后差分,以及一阶中心差分。高阶差分：定义2.4

引进不变算子，移位算子，即则有

2、差分表（差分计算）计算各阶向前差分可按如下差分表进行：计算各阶向后差分可按如下差分表进行：3、差分的性质性质1

(差分与函数值的关系):

各阶差分均可表示为函数值的线性组合:其中性质2(向前差分与向后差分的关系):性质3(差分与差商的关系):在等距节点的前提下，性质4(差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，性质5：常数的差分等于零.性质6：差分算子为线性算子，即性质7：这个性质类比于

4、等距节点的牛顿插值公式牛顿公式:牛顿前插公式（用于计算最小节点附近的函数值）利用差分的性质,可将Newton公式简化为(1)称公式(1)为Newton向前差分插值公式,其余项为(2)牛顿后插公式（用于计算最大节点附近的函数值）如果将Newton插值公式改为按节点的次序排列的Newton插值公式,即(3)令x=xn-th,则当xn-1≤x≤xn时,0≤t≤1.利用差商与向后差分的关系,式(3)可简化为(4)称式(4)为Newton向后差分插值公式。其余项为注：一般当x

靠近x0时用前插，靠近xn时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。例

给定f(x)在等距节点上的函数值表如下:

xi0.40.60.81.0

f(xi)1.51.82.22.8分别用Newton向前和向后公式求f(0.5)及f(0.9)

的近似值.

解

先构造向前差分表如下:

xi

fi

△fi

△2fi△3fi

0.41.50.30.10.10.61.80.40.20.82.20.61.02.8

x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.

分别用差分表中第一行上的值和对角线的值,得Newton向前和向后插值公式如下:(1)

(2)当x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5.将t=0.5代入(1),得

f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375.当x=0.9时,用公式(2),这时t=(x3-x)/h=0.5.将t=0.5代入(2),得

f(0.9)≈N3(0.9)=2.46875.1．引入

在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即要求插值函数P(x)满足:（1）把此类插值问题称为相应的插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。H(x)

存在且唯一。埃米尔特（Hermite）插值§3Hermite插值2.推导只讨论函数值与导数值个数相等，且一阶情况。设在节点上,要求插值多项式,满足条件(2)这里给出的个条件,可唯一确定一个次数不超过的多项式其形式为根据条件(2)来确定个系数,显然非常复杂。(3)插值基函数及,共有个,每一个基函数都是次多项式,且满足条件(Lagrange型Hermite插值多项式):基函数方法(3)于是满足条件(2)的插值多项式可写成用插值基函数表示的形式,即显然有(4)下面利用Lagrange插值基函数求及。令其中是

由条件式(3)有整理,得解得由于两端取对数再求导,得于是(5)同理可得(6)（1）仿照Lagrange插值余项，Hermite插值余项可描述为：(7)注：设在[a,b]上连续，在（a,b）内存在,则且依赖于，有插值余项（2）作为带导数插值多项式(4)的重要特例是n=1的情形。这时可取节点为及,插值多项式为,满足条件：(8)相应的插值基函数为,它们满足：根据(5)式及(6)式的一般表达式,可得于是满足条件(8)的插值多项式是其余项为（3）N个条件可以确定N-1阶多项式，要求在1个节点处直

到

阶导数都重合的插值多项式即为在点处的

Taylor多项式:

其余项为Newton型Hermite插值（1）单节点的重节点差商（2）多节点的重节点差商插值条件：重节点差商可列表计算：

重节点差商的计算其中，例1：已知

求三次多项式

P(x)满足4.举例解：例2：已知

求三次多项式

P(x)满足注意:解：1.多项式插值的龙格现象例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)f(x)n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象§4

分段低次插值2.分段线性插值在每个子区间上，用1次多项式

(直线)逼近f(x):记,易证：当时，一致yxoy=p(x)y=f(x)失去了原函数的光滑性。则是分段一次的连续函数且满足条件分段线性插值多项式的构造：

即为分段线性插值的基函数。

基函数只在附近不为零,在其它地方均为零。这种性质称为局部非零性质。相应的分段线性插值函数为：分段线性插值的误差估计：如果在上二阶连续可微,则分段线性插值函数的余项有以下估计

其中,3.分段三次Hermite插值其中基函数为

给定节点，在节点上的函数值及导数值分别为,在每个子区间上作两点三次Hermite插值，因此是分段三次，总体是直至一阶导数连续，插值函数为分段Hermite插值余项:

由三次Hermite插值的余项可以估计分段Hermite插值的余项：设是给定节点

上的分段三次Hermite插值函数，，与的误差限为其中，

要求：插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。

这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，这种插值方法称为——样条插值。它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，图2.1早期机翼下轮廓的放样如图2.1所示，在早期的板材曲线切割时，常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，其它地方让其自由弯曲，然后画出长条的曲线称为样条曲线，由此启发设计整体连续光滑的样条插值函数。

问题分段低次插值虽然具有简单、收敛性、整体连续性及数值计算的稳定性等优点，但在节点处常有“尖点”出现，光滑性较差。特别是需要给出节点处的导数值，这在多数问题中是不实际的。如何在没有节点导数数据时也能达到上述目的？为此引入样条插值函数。1.引入§5三次样条插值定义2.5设对y=f(x)在区间[a,b]上给定一组节点a=x0<x1<x2<…<xn=b和相应的函数值y0,y1,…,yn，如果s(x)具有如下性质：（1）在每个子区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上s(x)是不高于三次的多项式;（2）s(x)，，s(x)在[a,b]上连续；则称s(x)为三次样条函数.如再有（3）s(xi

)=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，

则称s(x)为y=f(x)的三次样条插值函数。注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。S(x)H(x)f(x)给定函数在[a,b]上的一组节点：及节点上的函数值

，函数是满足下列条件的函数：的三次样条插值；

2.三次样条插值函数的构造(3)在插值节点处连续，即

(4)即(1)(2)在子区间

上是三次多项式，记为。

要保证S(x)的存在唯一性，必须附加两个边界条件。例如，满足下列四种边界条件中的任意一个：(1)固支边界条件（D1-样条）：3.边界条件(2)弯矩边界条件（D2-样条）：

(3)自然边界条件（自然样条）：

(4)周期边界条件（周期样条）

：上述几种边界条件都有它们的实际意义，从力学角度看，附加边界条件相当于在细梁两端加上约束。工程中常用自然边界条件求样条插值函数，这类插值函数称为自然样条函数，利用插值条件和连续线性条件列出线性方程组并求解，是一种构造样条的基本方法。构造思想:

通过构造含待定参数的分段三次Hermite插值多项式来构造三次样条插值函数。

构造Hermite插值多项式需要知道被逼近函数f(x)的导数，而导数通常是不知道的。三次样条插值函数的构造则不需要知道f(x)的导数值，直接将其作为待定参数，利用各节点在连接处的光滑性与连续性条件，建立关系式来确定待定参数，从而构造插值多项式。4.三弯矩方程设f(x)是定义在

[a,b]区间上的一个二次连续可微函数，令在每一个小区间

上都是三次多项式。S(x)在上的表达式为：

（1）(注意:未知)其中，将（1）两次积分得：Ai和Bi为积分常数。

因为所以它满足方程：

求得（2）同理求得:（3）求

Mi确定S(x)的表达式。由（2）式得由得（4）则（5）可以写为记

整理得（5）（6）（1）D1-样条：给定两端点导数值

有

分别补充为方程组（6）的第一个和最后一个方程组，得D1-样条的三弯矩方程为：

（2）D2-样条：

给定边界条件（6）中第一个方程变为：（6）中最后一个方程变为：得三弯矩方程若取M0=Mn=0，称为三次自然样条，三弯矩方程为（3）周期样条：

给定条件:，得由整理得整理得令则补充（6）中的最后及第一个方程，可得周期样条的三弯矩方程：上述第一个方程化为所以周期样条三弯矩方程为5、三次样条插值的计算步骤(1)根据已知条件顺次计算方程组系数

，求出三次样条插值的三弯矩方程组；

(2)由给定边界条件，确定

；(3)求解对应边界条件下的三弯矩方程组，求出

；(4)将求出的代入(2)式，求出

上的三次样条插值函数

对给定的点，须首先确定所在的子区间，

然后按三次样条插值的计算步骤计算，进而求出

6.三次样条插值函数的收敛性定义2.6

设是区间上的连续函数，记为函数的范数。定理2.3

设被插值函数为满足边

界条件的3次样条插值函数，则在插值区

间上成立余项估计式其中,其次求:得方程组:得:历史与注记

1756年，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1766年任普鲁士科学院数学部主任。1786年出任法国米制委员会主任。1795年拉格朗日被选为法兰西研究院科学院数理委员会主席。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章。

拉格朗日在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚。他在数值计算上的主要贡献是发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作，在数学史上被认为是对数学的发展产生全面影响的数学家之一。拉格朗日(Joseph-LouisLagrange，1736～1813)拉格朗日1736年生于意大利都灵，1813年卒于巴黎。

在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其它许多数值方法（如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。插值法的一般参考资料见文献[1,2]，关于样条的一篇有重要影响的论文参见文献[3]。

插值一词最早是由Wallis提出的，公元6世纪，中国刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪，牛顿和格雷果里建立了等距节点上的插值公式。18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。1946年,Schoenberg首先提出了样条插值函数。[1]P.J.Davies.TheFiniteElementMethod:AFirstApproach.OxfordUniversityPress,NewYork,1980.[2]M.J.D.Powell.ApproximationTheoryandMethods.CambridgeUniversityPress,NewYork,1981.[3]I.J.Schoenberg.Contributionstotheproblemofapproximationofequidistantdatabyanalyticfunctions.QuarterlyofAppliedMathematics4,1946.参考文献第三章函数逼近与计算

在科学与工程技术的很多领域，人们常碰到大量带有误差的实验数据，这时采用高次插值会出现震荡，采用分段插值则会使函数非常复杂，无法准确反映被测函数的整体性态，因此，不适合用插值法。§1引言一、

问题的提出本章将从整体角度出发,建立一种全新的评价标准,也就是最佳逼近。最佳逼近的出发点是在空间中引进范数,逼近的好坏用范数来控制.二、

函数逼近问题的一般提法：注：本章中所研究的函数类通常为区间上

的连续函数，记做；而函数类通常

是代数多项式或三角函数。

对于函数类中的函数，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类中寻找一个函数

,使与

之差在某种度量意义下最小。1.线性相关与线性无关.

2.线性空间的维数与基.

3.连续函数空间C[a,b]的维数.

4.连续函数的逼近问题.

三、

线性空间的一些基本概念：定理1（维尔斯特拉斯定理）

若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则对于任意

>0，总存在多项式

P(x)，使对一切a≤x≤b

有证明:

构造Bernstein多项式:有四、连续函数空间1．函数的范数定义1设表示定义在上的一个实值函数,称之为的范数，它具有下列性质:（3）三角不等式：即对任意两个向量，(2)齐次性：即对任何实数，(1)非负性：即对一切有的-范数定义为:

的-范数定义为:

2．函数的两个常用范数与的距离可以定义为:

或性质:3.内积空间1、定义称二元关系为内积。设为(实)线性空间,对中每一对元素,在上定义了内积是指都有一实数，记为与之对应，且这个对应满足:（2）（1）（3）（4）则称为内积空间，4.两种重要的内积空间n维欧氏空间，内积就是两向量的数量积，即连续函数空间，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即或5.权函数的定义设

(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，若有下列性质：(1)对任意x

[a,b]，

(x)≥0；(2)积分存在，(n=0,1,2,…)；(3)对非负的连续函数g(x)

若

则在(a,b)上g(x)0。称满足上述条件的

(x)为[a,b]上的权函数。

6.Euclid范数及其性质定义6设为的Euclid范数。则称量性质对于任何下列结论成立：1、2、3、（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四边形定律)2．函数系的线性关系定义7设函数在区间

上连续，如果关系式当且仅当时才成立，函数在上是线性无关，否则称线性相关。则称

连续函数在上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式定理4其中，

是任意实数，则并称是生成集合的一个基底。的全体是

的一个子集，记为设是上线性无关的连续函数,五、常用的度量标准：

(一)一致逼近若以函数f(x)和P(x)的最大误差作为度量误差

f(x)－P(x)

“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为最优一致逼近多项式。(二)平方逼近：采用作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。1.正交则称f(x)

与g(x)

在[a,b]上带权

(x)

正交。

若则称与正交。设，若一、正交多项式

§2正交多项式设在[a,b]上给定函数系，若满足条件则称函数系是[a,b]上带权

(x)的正交函数系。特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。

若上述定义中的函数系为多项式函数系，则称之为

[a,b]

上带权

(x)的正交多项式系。例如,三角函数族就是区间上的正交函数族.2、正交化手续

一般来说，当权函数及区间给定以后，可以由幂函数系利用正交化方法构造出正交多项式系。3.正交多项式的性质(1)是最高次项系数为1的次多项式.(2)任一次多项式均可表示为

的线性组合.(3)当时,且与任一

次数小于的多项式正交.(4)递推性其中这里且都在区间内.(5)设是在上带权项式序列,的正交多则的个根都是单重实根,1.Legendre(勒让德)多项式(1)定义

多项式称为n次勒让德多项式。二、常用的正交多项式

(2)性质勒让德多项式序列是[-1,1]上带权的正交多项式序列。即正交性:递推关系:相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：当n为偶数时，为偶函数；当n为奇数时，

为奇函数。

在区间[-1,1]内部存在n个互异的实零点。

奇偶性：

的最高次项系数为

令，则最高次项系数为1

(1)定义称为n次Chebyshev多项式.[注]令则而故为关于的次代数多项式。2.第一类切比雪夫多项式(2)性质正交性：由Tn(x)所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权

的正交多项式序列。且

递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：

奇偶性：

切比雪夫多项式

，当

为奇数时为奇函数；

为偶数时为偶函数。

在区间[-1,1]上有

个不同的零点令得

Tn(x)

在[-1,1]上有n+1个不同的极值点使Tn(x)轮流取得最大值1

和最小值-1。

切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)

的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。

在区间[-1,1]上，在所有首项系数为1的n次多项式中,与零的偏差最小，偏差为：(3)应用多项式的降阶多项式的降阶问题事实上等价于求次多项式的不超过次最佳一致逼近多项式问题。即求使其满足：由于首项系数为1的次Chebyshev多项式的无穷范数最小，故有(1)于是设例1设f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)

在［-1,1］中的3次最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表达式可知b４＝４,注：对区间为［a,b］的情形，先作变换

x=(b-a)t/2+(b+a)/2(2)然后对变量为t的多项式用(1)式求得pn(t)，然后再作(2)式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式.由(1)式得首项系数为1的4次Chebyshev多项式为:3、其他常用的正交多项式(1)第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式定义：

称为第二类切比雪夫多项式。性质:①是区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。②相邻的三项具有递推关系式：(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义：称多项式为拉盖尔多项式。性质：是在区间[0,+∞]上带权

的正交多项式序列。

②

相邻的三项具有递推关系式：

(3)埃尔米特(Hermite)多项式定义：称多项式

为埃尔米特多项式。性质:的正交多项式序列。①是区间(-,+)上带权②相邻的三项具有递推关系式：§3最佳平方逼近

1.

对于给定的函数要求函数使若这样的存在，上的最佳平方逼近函数。则称为在区间特别地，若则称为在上的次最佳平方逼近多项式。求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数,使多元函数取得极小值。由于是关于的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得得方程组如采用函数内积记号方程组可以简写为写成矩阵形式为法方程组！

由于0,1,…,n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解。从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是下证满足（3.11），即对任何有考虑由于的系数是方程（3.13）的解，故于是故是在中的最佳平方逼近函数。2.最佳平方逼近的误差若令,其中,则平方误差为取既要在中此时求次最佳平方逼近多项式2.举例求在中的最佳平方逼近元。解：这是上的最佳平方逼近问题.取记因为所以，关于的法方程组为解得即为中对的最佳平方逼近元。4.函数按正交多项式展开设为其中上带权的正交多项式系，给定若为在上的次最佳平方逼近多项式，则由正交多项式的性质，得即例：求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：先计算即得所以有均方误差为最大误差为

在所有首项系数为1的

次多项式中，勒让德多项式在上与零的平方误差最小。证明：它可表示为设是任意一个最高项系数为1的次多项式，于是定理：一、问题提出已知测量数据：要求简单函数使得总体上尽可能小。称为“残差”这种构造近似函数的方法称为曲线拟合；合函数。称为拟§4曲线拟合的最小二乘法注：使尽可能小的度量准则:常见做法：使最小较复杂使最小不可导，求解困难使最小二、曲线拟合的步骤：（3）根据某一逼近准则确定拟合函数的未知参数；（2）观察散点分布，选择适当的函数类来构造拟合函数；（1）根据已知条件画出散点图；这一方法称为数据拟合法，得到的函数p(x)称为拟合曲线。线性拟合问题三、最小二乘法(2-范数度量下的曲线拟合)对于一组数据和权函数，要在函数类中找一个函数使得误差平方和其中即上述问题转化为求多元函数的极小点问题。由极值必要条件得记于是得到关于的方程组（法方程组或正规方程组）由于线性无关，所以上述方程组有唯一解，设为，从而有多项式拟合问题取称为多项式拟合。得到的拟合函数非线性拟合（1）双曲拟合（2）对数拟合（3）指数拟合（4）幂函数拟合举例给定的一组数据，求拟合函数。解：作图可知所有点都分布在一条直线的附近，即拟合函数近似为一个线性函数，故可设将数据带回，即可得拟合函数令则解得第四章数值积分§1引言【数值积分的必要性】本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求函数的原函数☞有解析表达式；☞为初等函数．

例如求由函数给定的曲线,从到间的弧长L。实际问题1.

的原函数不能用初等函数表示。

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。类似的下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:2.

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:3.

没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有