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文档简介

专题4.3指数函数-重难点题型精讲1.指数函数的定义(1)一般地,函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征:

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2.指数函数的图象与性质3.底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自下而上,图象越高的指数函数的底数越大,即“底大图高”.(2)左右比较:在直线y=1的上面,a>1时,a越大,图象越靠近y轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近y轴.

(3)上下比较:比较图象与直线x=1的交点,交点的纵坐标越大,对应的指数函数的底数越大.4.比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法:【题型1指数函数的解析式、定义域与值域】【方法点拨】根据指数函数的定义,结合具体条件,进行求解即可.【例1】(2021秋•南宁期末)函数f(x)=2x的定义域为()A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.R【变式1-1】(2021秋•阎良区期末)函数y=2x(x≤0)的值域是()A.(0,1) B.(﹣∞,1) C.(0,1] D.[0,1)【变式1-2】(2021秋•城区校级期中)指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为()A.4 B.8 C.16 D.1【变式1-3】(2021秋•罗湖区校级期中)若函数f(x)=(a2﹣2a﹣2)ax是指数函数,则a的值是()A.﹣1 B.3 C.3或﹣1 D.2【题型2比较幂值的大小】【方法点拨】利用指数函数的单调性,来比较幂值的大小.【例2】(2021秋•路南区校级期中)已知a=0.32,b=0.31.5,c=20.3,则()A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.a>b>c【变式2-1】(2021秋•厦门期末)下列选项正确的是()A.0.62.5>0.63 B.1.7−13<C.1.11.5<0.72.1 D.212>【变式2-2】(2021秋•怀仁市校级期末)设a=0.60.6,b=0.60.7,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b【变式2-3】(2021秋•天宁区校级期中)已知a=0.3﹣0.2,b=(13)0.3,c=A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a【题型3解指数不等式】【方法点拨】指数不等式的三种求解方法:(1)性质法:解形如>的不等式,可借助函数y=的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)隐含性质法:解形如>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法:解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.【例3】(2020秋•兴庆区校级期中)不等式ax﹣3>a1﹣x(0<a<1)中x的取值范围是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣2,2)【变式3-1】(2021秋•北碚区校级月考)不等式(1A.(﹣2,4) B.(﹣∞,﹣2) C.(4,+∞) D.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞)【变式3-2】(2021秋•黄埔区校级期中)已知a>0,且a≠1,若函数y=xa﹣1在(0,+∞)内单调递减,则不等式a3x+1>a﹣2x中x的取值范围是()A.(﹣∞,−15) B.(−15,+C.(﹣∞,−15)∪(−15,+∞) D【变式3-3】(2021秋•丰台区期中)已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(1,12(I)求函数y=f(x)的解析式;(II)若不等式满足f(2x+1)>1,求x的取值范围.【题型4指数函数的图象及应用】【方法点拨】①指数函数图象的识别:对于所给函数解析式,研究函数的单调性、特殊值等,利用排除法,得出正确的函数图象.②指数函数图象的应用:对于与指数函数有关的函数的作图问题,一般宜用变换作图法作图,这样有利于从整体上把握函数的性质,从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】(2021秋•临渭区期末)函数y=x+a与y=a﹣x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像可能是()A. B. C. D.【变式4-1】(2021秋•微山县校级月考)若指数函数y=ax,y=bx,y=cx(其中a、b、c均为不等于1的正实数)的图象如图所示,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>a>c【变式4-2】(2021秋•中宁县校级期中)如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小是()A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.a<b<1<d<c D.1<a<b<c<d【变式4-3】(2021•长春模拟)如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=(1A.① B.② C.③ D.④【题型5指数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质,再结合具体问题,进行求解即可.【例5】(2021秋•蚌埠月考)已知函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象经过点(3,19(1)求a的值;(2)求函数f(x)=a2x﹣ax﹣2+8,当x∈[﹣2,1]时的值域.【变式5-1】(2021秋•凌源市期中)设函数f(x)=(12)10﹣ax,其中a为常数,且f(3)=(1)求a的值;(2)若f(x)≥4,求x的取值范围.【变式5-2】(2021秋•钦州期末)已知函数f(x)=2x﹣1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).(1)求a的值;(2)若f(x)≥2x,求x的取值范围.【变式5-3】(2022秋•新华区校级月考)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若不等式c⋅10x+6xf(x)+3>0对任意【题型6指数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发,建立指数函数模型,借助指数函数的图象和性质进行解题,注意要满足实际条件.【例6】(2022春•殷都区校级期末)某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用该药,服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.其中OA是线段,曲线段AB是函数y=k•at(t≥1,a>0,k,a是常数)的图象.(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式;(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效,假若某病人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟是当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后再过3h,该病人每毫升血液中含药量为多少μg?(精确到0.1μg)【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数,若牛奶放在0℃的冰箱中,保鲜时间约是192h,而在22℃的厨房中则约是42h(1)写出保鲜时间y(单位:h)关于储藏温度x(单位:℃)的函数解析式;(2)利用(1)中结论,指出温度在30℃和16℃的保鲜时间(精确到1h).【变式6-2】(2021秋•朝阳区期末)已知某地区现有人口50万.(I)若人口的年自然增长率为1.2%,试写出人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系;(Ⅱ)若20年后该地区人口总数控制在60万人,则人口的年自然增长率应为多少?(201.2=【变式6-3】(2021秋•长丰县校级期末)某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)结合图,求k与a的值;(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,求服药一次治疗有效的时间范围?专题4.3指数函数-重难点题型精讲1.指数函数的定义(1)一般地,函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征:

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2.指数函数的图象与性质3.底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自下而上,图象越高的指数函数的底数越大,即“底大图高”.(2)左右比较:在直线y=1的上面,a>1时,a越大,图象越靠近y轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近y轴.

(3)上下比较:比较图象与直线x=1的交点,交点的纵坐标越大,对应的指数函数的底数越大.4.比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法:【题型1指数函数的解析式、定义域与值域】【方法点拨】根据指数函数的定义,结合具体条件,进行求解即可.【例1】(2021秋•南宁期末)函数f(x)=2x的定义域为()A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.R【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域.【解答过程】解:函数f(x)=2x的定义域为R,故选:D.【变式1-1】(2021秋•阎良区期末)函数y=2x(x≤0)的值域是()A.(0,1) B.(﹣∞,1) C.(0,1] D.[0,1)【解题思路】本题可利用指数函数的值域.【解答过程】解:∵y=2x(x≤0)为增函数,且2x>0,∴20=1,∴0<y≤1.∴函数的值域为(0,1].故选:C.【变式1-2】(2021秋•城区校级期中)指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为()A.4 B.8 C.16 D.1【解题思路】设出指数函数y=f(x)的解析式,把点的坐标代入求出解析式,再计算f(3)的值.【解答过程】解:设指数函数y=f(x)=ax,a>0且a≠1;由f(x)的图象过点(2,4),即a2=4,解得a=2;所以f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选:B.【变式1-3】(2021秋•罗湖区校级期中)若函数f(x)=(a2﹣2a﹣2)ax是指数函数,则a的值是()A.﹣1 B.3 C.3或﹣1 D.2【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组,求出a的值.【解答过程】解:∵函数f(x)=(a2﹣2a+2)(a+1)x是指数函数,∴a2﹣2a﹣2=1,且a>0,a≠1解得a=3.故选:B.【题型2比较幂值的大小】【方法点拨】利用指数函数的单调性,来比较幂值的大小.【例2】(2021秋•路南区校级期中)已知a=0.32,b=0.31.5,c=20.3,则()A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.a>b>c【解题思路】根据指数函数的图象和性质,比较三个数的大小,可得答案.【解答过程】解:∵y=0.3x为减函数,2>1.5>0,故a=0.32<b=0.31.5<0.30=1,∵y=2x为增函数,0.3>0,故c=20.3>20=1,故c>b>a,故选:C.【变式2-1】(2021秋•厦门期末)下列选项正确的是()A.0.62.5>0.63 B.1.7−13<C.1.11.5<0.72.1 D.212>【解题思路】利用指数函数和幂函数的单调性求解.【解答过程】解:对于选项A:∵指数函数y=0.6x在R上单调递减,且2.5<3,∴0.62.5>0.63,故选项A正确,对于选项B:∵指数函数y=1.7x在R上单调递增,且−13>−1对于选项C:∵1.11.5>1.10=1,0<0.72.1<0.70=1,∴1.11.5>0.72.1,故选项C错误,对于选项D:∵(212)6=23=8,(313故选:A.【变式2-2】(2021秋•怀仁市校级期末)设a=0.60.6,b=0.60.7,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b【解题思路】利用指数函数的性质求解.【解答过程】解:∵0<0.60.7<0.60.6<0.60=1,∴0<b<a<1,∵1.50.6>1.50=1,∴c>1,∴c>a>b,故选:D.【变式2-3】(2021秋•天宁区校级期中)已知a=0.3﹣0.2,b=(13)0.3,c=A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】解:∵0.3﹣0.2>0.30=1,∴a>1,∵(13)0.3<(1∴b<c<a,故选:D.【题型3解指数不等式】【方法点拨】指数不等式的三种求解方法:(1)性质法:解形如>的不等式,可借助函数y=的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)隐含性质法:解形如>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法:解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.【例3】(2020秋•兴庆区校级期中)不等式ax﹣3>a1﹣x(0<a<1)中x的取值范围是()A.(﹣∞,2)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣2,2)【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式.【解答过程】解:因为0<a<1,所以由不等式ax﹣3>a1﹣x可得:x﹣3<1﹣x,解得:x<2,所以不等式ax﹣3>a1﹣x(0<a<1)中x的取值范围是:(﹣∞,2).故选:C.【变式3-1】(2021秋•北碚区校级月考)不等式(1A.(﹣2,4) B.(﹣∞,﹣2) C.(4,+∞) D.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞)【解题思路】由指数函数的性质,把(13)x2−8>3−2x=(【解答过程】解:∵(1∴x2﹣8<2x,解得﹣2<x<4.故选:A.【变式3-2】(2021秋•黄埔区校级期中)已知a>0,且a≠1,若函数y=xa﹣1在(0,+∞)内单调递减,则不等式a3x+1>a﹣2x中x的取值范围是()A.(﹣∞,−15) B.(−15,+C.(﹣∞,−15)∪(−15,+∞) D【解题思路】根据函数y=xa﹣1在(0,+∞)内单调递减,求出a的范围,得到函数y=ax的单调性,将a3x+1>a﹣2x转化为x的不等式即可.【解答过程】解:依题意,a﹣1<0,即0<a<1,所以函数y=ax为R上的减函数,由a3x+1>a﹣2x可得,3x+1<﹣2x,解得x<−故选:A.【变式3-3】(2021秋•丰台区期中)已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(1,12(I)求函数y=f(x)的解析式;(II)若不等式满足f(2x+1)>1,求x的取值范围.【解题思路】(Ⅰ)因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(1,12),构造方程,可得函数y=f(x(II)利用指数函数的单调性,可将f(2x+1)>1化为:2x+1<0,解得答案.【解答过程】解:(Ⅰ)因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(1,12所以a=所以指数函数的解析式为y=(12(Ⅱ)由(Ⅰ)得,f(2x+1)>1等价于(因为函数y=(12)所以2x+1<0,解得x综上,x的取值范围是{x|x<【题型4指数函数的图象及应用】【方法点拨】①指数函数图象的识别:对于所给函数解析式,研究函数的单调性、特殊值等,利用排除法,得出正确的函数图象.②指数函数图象的应用:对于与指数函数有关的函数的作图问题,一般宜用变换作图法作图,这样有利于从整体上把握函数的性质,从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】(2021秋•临渭区期末)函数y=x+a与y=a﹣x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像可能是()A. B. C. D.【解题思路】分别讨论a>1和0<a<1时,函数y=x+a与y=a﹣x在同一坐标系中的图像情况,即可得出答案.【解答过程】解:根据指数函数的定义知,当a>1时,函数y=x+a与y=a﹣x在同一坐标系中的图像为图(1)所示:当0<a<1时,函数y=x+a与y=a﹣x在同一坐标系中的图像为图(2)所示:只有选项B满足题意.故选:B.【变式4-1】(2021秋•微山县校级月考)若指数函数y=ax,y=bx,y=cx(其中a、b、c均为不等于1的正实数)的图象如图所示,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>a>c【解题思路】由题意,做出直线x=1,结合图象可得结论.【解答过程】解:对于指数函数y=ax,y=bx,y=cx(其中a、b、c均为不等于1的正实数)的图象,做出直线x=1,结合图象可得,直线x=1和指数函数y=ax,y=bx,y=cx的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c,且c>a>b,故选:B.【变式4-2】(2021秋•中宁县校级期中)如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小是()A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.a<b<1<d<c D.1<a<b<c<d【解题思路】作直线x=1,根据直线x=1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a,b,c,d的大小关系.【解答过程】解:作直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),由图象可知纵坐标的大小关系为0<b<a<1<d<c,故选:B.【变式4-3】(2021•长春模拟)如图,①②③④中不属于函数y=2x,y=3x,y=(1A.① B.② C.③ D.④【解题思路】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可.【解答过程】解:根据函数的图象,函数的底数决定函数的单调性,当底数a>1时,函数单调递增,当0<a<1时,函数单调递减,当底数a>1,满足底数越大函数的图象在x>0时,越靠近y轴,则③是对应函数y=3x的图象,④是对应函数y=2x的图象,根据对称性,①是对应函数y=(12故选:B.【题型5指数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质,再结合具体问题,进行求解即可.【例5】(2021秋•蚌埠月考)已知函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象经过点(3,19(1)求a的值;(2)求函数f(x)=a2x﹣ax﹣2+8,当x∈[﹣2,1]时的值域.【解题思路】(1)由题意:函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象经过点(3,19).代入计算即可求a(2)求函数转化为二次函数的问题求值域即可.【解答过程】解:(1)由题意:函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象经过点(3,19则有:1解得:a=1(2)由(1)可知a=1那么:函数f(x)=a2x﹣ax﹣2+8=[(13)∵x∈[﹣2,1]∴(则f(x)=[(13)x当(13)x=9,即x=﹣2时,f(x当(13)x=92所以函数的值域为[−494,【变式5-1】(2021秋•凌源市期中)设函数f(x)=(12)10﹣ax,其中a为常数,且f(3)=(1)求a的值;(2)若f(x)≥4,求x的取值范围.【解题思路】(1)根据f(3)=116,求出a的值即可;(2)根据指数函数的性质求出【解答过程】解:(1)函数f(x)=(12)10﹣ax由f(3)=116,得:得:3a﹣10=﹣4,解得:a=2;(2)由(1)f(x)=22x﹣10,由f(x)≥4,得:22x﹣10≥22,故2x﹣10≥2,解得:x≥6.【变式5-2】(2021秋•钦州期末)已知函数f(x)=2x﹣1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).(1)求a的值;(2)若f(x)≥2x,求x的取值范围.【解题思路】(1)将点(1,2)的坐标代入函数f(x)的解析式即可求出a的值;(2)由f(x)≥2x化简得到2x﹣1≤1,再利用指数函数的单调性即可求出x的范围.【解答过程】解:(1)由已知条件可得f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1;(2)由f(x)=2x−1+1=2x2+1≥2x,得2x2≤1,即2x﹣1≤1=2因此,实数x的取值范围是(﹣∞,1].【变式5-3】(2022秋•新华区校级月考)已知函数f(x)=ax+b的图象如图所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若不等式c⋅10x+6xf(x)+3>0对任意【解题思路】(Ⅰ)由图像可知函数f(x)过点(0,﹣2)和(2,0),利用待定系数法求出a,b的值,即可得到函数f(x)的解析式.(Ⅱ)依题意不等式c⋅10x+6x>0,对任意x∈(﹣∞,2]恒成立,再利用分离参数法转化为求最值,结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围.【解答过程】解:(I)因为函数f(x)=ax+b的图象经过点(0,﹣2)和(2,0),又注意到a>1,∴a0+b=−2a故函数f(x)的解析式为f(x)=(3(Ⅱ)因为由(I)知f(x)+3=(3)x>0对任意所以由题设得不等式c⋅10x+6x>0,对任意x∈(﹣∞,2]恒成立,即c>−6x10x,亦即c>−又易知函数y=−(3所以根据(*)可得c>故所求实数c的取值范围(−9【题型6指数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发,建立指数函数模型,借助指数函数的图象和性质进行解题,注意要满足实际条件.【例6】(2022春•殷都区校级期末)某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用该药,服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.其中OA是线段,曲线段AB是函数y=k•at(t≥1,a>0,k,a是常数)的图象.(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式;(2)据测定:每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效,假若某病人第一次服药为早上6:00,为保持疗效,第二次服药最迟是当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后再过3h,该病人每毫升血液中含药量为多少μg?(精确到0.1μg)【解题思路】(1)由图象知,0≤t<1时函数的解析式是一个线段,再结合函数y=k•at(t≥1,a>0,k,a是常数)即可得到函数的解析式;(2)根据(1)中所求出的解析式建立不等式y≥2,解此不等式计算出第二次吃药的时间即可;(3)根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量,两者的和即为病人血液中的含药量.【解答过程】解:(1)当0≤t<1时,y=8t;当t≥1时,把A(1,8)、B(7,1)代入y=kat,得ka=8ka7故y=8t(2)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药,则t≥182(22)t=2,解得t(3)第二次服药3h后,每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为:y1含第二次服药量为:y2所以此时两次服药剩余的量为22故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数,若牛奶放在0℃的冰箱中,保鲜时间约是192h,而在22℃的厨房中则约是42h(1)写出保鲜时间y(单位:h)关于储藏温度x(单位:℃)的函数解析式;(2)利用(1)中结论,指出温度在30℃和16℃的保鲜时间(精确到1h).【解题思路】(1)设y=k•ax(k≠0,a>0且a≠1),则利用牛奶放在0℃的冰箱中,保鲜时间约为192h,放在22℃的厨房中,保鲜时

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