举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题2.4 基本不等式-重难点题型检测（含答案及解析）

专题2.4基本不等式-重难点题型检测【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．252．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤23．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+14．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．435．（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2B．a2C．a+b2D．2ab7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D10．（4分）（2021秋•建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2A．67 B．47 C．27 11．（4分）（2021秋•烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是412．（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝14．（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为．15．（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最（大或小）值，为．16．（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1x≤−2；②若x∈R，则x2+2x2+1≥2；③若x∈R，则|x+1x|≥2；④若四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及18．（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．19．（8分）（2022春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：（1）4a（2）2a+1+20．（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1x21．（8分）（2022春•河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b＝1，求1a解：∵a+b＝1，∴1a当且仅当ba=2ab，结合a+b＝1得∴1a+2请类比以上方法，解决下面问题：（1）已知正实数x，y满足1x+1y=1（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求12x+122．（8分）（2022春•润州区校级月考）（1）已知x＞0，y＞0，且满足8x+1y=1（2）当0＜x＜14（3）已知a＞0，b＞0，求a2a+b专题2.4基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．25【解题思路】利用基本不等式化简即可求解．【解答过程】解：由题意f（x）＝5x+20x当且仅当5x=20x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为故选：C．2．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分别求出x+y【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即14∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x∴x2+y2≤2，故C错，D对，故选：D．3．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+1【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0；选项B，由配方法，可得y≥3；选项C，利用基本不等式，可得解；选项D，采用换元法，令t=x2+2≥2，则【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意；选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意；选项C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，当且仅当选项D，令t=x2+2≥2，则y＝t+1所以y≥2+12=3故选：C．4．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．43【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解．【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)ab=3ab+a+3b+1ab=当且仅当3ab=6ab且a+3b＝5，即a＝2，故选：C．5．（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1【解答过程】解：∵正实数a，b满足4a+b∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)a+b⋅a+b故选：B．6．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2B．a2C．a+b2D．2ab【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．【解答过程】解：由图形可知：OF=12AB=1在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF2又CF≥OF，∴12(a2+b2故选：C．7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【解题思路】利用“乘1法”，可得1a+【解答过程】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=14（2+ab因为a≠b，所以1a+又1a+1b＞t故选：A．8．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4++4yx+【解答过程】解：根据题意，x＞0，y＞0，且2x+则x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4+当且仅当x＝2y＝4时等号成立，即x+2y的最小值为8，若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．即m的取值范围为（﹣8，1）．故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可．【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误．对于B，y=x2+2x2+1=x2+1+1x2对于C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=对于D，当x＝0时，很显然最小值不是2，D错误．故选：BC．10．（4分）（2021秋•建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2A．67 B．47 C．27 【解题思路】构造17×（3a+2+3b+2）×（13a+2【解答过程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，∴13a+2+13b+2=17×（3a∵a，b都是正数，∴3b+23a+2＞0，3a+2由基本不等式可知3b+23a+2+3a+23b+2∴13a+2+13b+2≥27+27=47，当且仅当∴13a+2+1故选：AB．11．（4分）（2021秋•烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是4【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，所以x+y＝3﹣xy≥2xy，当且仅当x＝y＝解得，0＜xy≤1，即0＜xy≤所以xy的取值范围为（0，1]，A错误；又xy＝3﹣（x+y）≤(x+y2)2，且仅当x解得，x+y≥2，故B正确，又x+y＝3﹣xy＜3；由x+y+xy﹣3＝0，得x=3−yy+1所以0＜y＜3，1＜y+1＜4，所以x+4y=3−yy+1+4y＝4（y+1）+4y+1−x+2y=3−yy+1+2y＝2y−y+1−4y+1=2（y+1）+4y+1−3≥2(2y+2)⋅4y+1−3＝42−3，当且仅当2y故选：AC．12．（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 【解题思路】先结合基本不等式求出x+2yxy的最小值，然后由不等式恒成立转化为mm−1≤（x+2yxy）【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝2，所以x+2yxy=1y+2x=12（1y+2当且仅当2xy=2yx且2x+y＝2，即x若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，则mm−1整理得7m−9m−1≥解得m≥97或m＜结合选项可知，ACD符合题意．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝1【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+当且仅当x﹣2=ax−2，即x＝2∴x+ax−2（a＞0）最小值为2a∵x+ax−2（a＞0）最小值为∴2a+2＝3，∴a=故答案为：1414．（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为42−3【解题思路】利用已知关系式求出a=3−bb+1，则2a+b＝2×3−bb+1+b=6−2bb+1【解答过程】解：因为ab+a+b＝3，所以a=3−b则2a+b＝2×3−bb+1+=8b+1+b﹣2=8b+1当且仅当8b+1=b+1，即b＝22−1时取等号，此时最小值为4故答案为：42−315．（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最大（大或小）值，为254【解题思路】先设直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，然后结合基本不等式及三角形面积公式可求．【解答过程】解：设两直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y=5故xy≤25故三角形面积S=1故答案为：大；25416．（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1x≤−2；②若x∈R，则x2+2x2+1≥2；③若x∈R，则|x+1x|≥2；④【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3个条件缺一不可．【解答过程】解：对于①，若x＜0，则﹣x＞0，∴x+1x=−（﹣x+1−x）≤﹣2−x⋅1−x=−2对于②，若x∈R，x2+2x2+1=(x2+1对于③，当x＝0时，x+1x无意义，故对于④，若a＞0，则（1+a）（1+1a）＝1+1a+a+1≥2a⋅1a+2＝4，当且仅当所以正确的序号是①②④，故答案为：①②④．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及【解题思路】（1）由题意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=x2+2x+3x=【解答过程】解：（1）因为x∈（0，+∞），所以y=x+1取等号条件：x=1x，x2＝因为x∈（0，+∞），所以x＝1，所以函数y=x+1x的值域为[2，（2）y=x2+2x+3x=因为x∈（0，+∞），所以x+3x≥所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等号条件：x=3x，x因为x∈（0，+∞），所以x=3，当x=3时，该函数取最小值2+218．（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b−12）2【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1a当且仅当2ab=2ba，即∴1a+2（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2当b=12时，a2+4b2+5ab有最大值为19．（8分）（2022春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：（1）4a（2）2a+1+【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；（2）利用基本不等式的结论(m+n【解答过程】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b＝1，所以4a+1b=（4a+1b当且仅当4ba=ab且a+b＝1，即b=故4a（2）因为（2a+1+2b+12）2≤2a+1+2b+12=2，当且仅当2a+1=2b+1且a+b所以2a+1+20．（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1x【解题思路】（1）由题意得，xy＝18，所用篱笆总长x+2y≥2（2）由题意x+2y＝18，1x+2y=118【解答过程】解：（1）由题意得，xy＝18，则所用篱笆总长x+2y≥22xy=12，当且仅