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文档简介
专题2.4基本不等式-重难点题型检测【人教A版2019】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2022春•韩城市期末)函数f(x)=5x+20A.10 B.15 C.20 D.252.(3分)(2022春•郫都区校级期末)若实数x、y满足x2+y2=1+xy,则下列结论中,正确的是()A.x+y≤1 B.x+y≥2 C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤23.(3分)(2022春•黄陵县校级期末)下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1x B.y=x2﹣2xC.y=x2+14.(3分)(2022秋•哈尔滨月考)设a>0,b>0,若a+3b=5,则(a+1)(3b+1)abA.93 B.2 C.62 D.435.(3分)(2022秋•南关区校级月考)已知正实数a,b满足4a+b+1b+1=1A.6 B.8 C.10 D.126.(3分)(2021秋•泽普县校级月考)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2B.a2C.a+b2D.2ab7.(3分)(2022春•营口期末)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a,b满足a+b=4,且1a+1bA.t≤1 B.t<1 C.t≤2 D.t<28.(3分)(2021秋•李沧区校级月考)若x>0,y>0,且2x+1y=1,x+2y>m2A.﹣8<m<1 B.m<﹣8或m>1 C.m<﹣1或m>8 D.﹣1<m<8二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2021秋•滦南县校级月考)下列函数最小值为2的是()A.y=x+1x B.yC.y=x2+1x2 D10.(4分)(2021秋•建华区校级期中)若正数a,b满足a+b=1,则13a+2A.67 B.47 C.27 11.(4分)(2021秋•烟台期末)已知x>0,y>0,且x+y+xy﹣3=0,则错误的是()A.xy的取值范围是[1,9] B.x+y的取值范围是[2,+∞) C.x+4y的最小值是3 D.x+2y的最小值是412.(4分)(2021秋•呼兰区校级期中)已知x>0,y>0,且2x+y=2,若mm−1≤x+2yxy对任意的x>0,y>A.14 B.98 C.127 三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2021秋•石鼓区校级月考)已知x>2,x+ax−2(a>0)最小值为3.则a=14.(4分)(2022秋•新罗区校级月考)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的最小值为.15.(4分)(2022•衡南县校级开学)直角三角形的斜边长为5时,其面积有最(大或小)值,为.16.(4分)(2022秋•余姚市校级月考)有下列4个关于不等式的结论:①若x<0,则x+1x≤−2;②若x∈R,则x2+2x2+1≥2;③若x∈R,则|x+1x|≥2;④若四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022•望花区校级开学)已知x∈(0,+∞).(1)求y=x+1(2)求y=x2+2x+3x的最小值,以及18.(6分)(2021秋•新泰市校级期末)已知实数a>0,b>0,a+2b=2.(1)求1a(2)求a2+4b2+5ab的最大值.19.(8分)(2022春•福田区校级期末)若a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)4a(2)2a+1+20.(8分)(2021秋•洛阳期中)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm,宽为ym.(1)若菜园面积为18m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为18m,求1x21.(8分)(2022春•河南期末)观察下面的解答过程:已知正实数a,b满足a+b=1,求1a解:∵a+b=1,∴1a当且仅当ba=2ab,结合a+b=1得∴1a+2请类比以上方法,解决下面问题:(1)已知正实数x,y满足1x+1y=1(2)已知正实数x,y满足x+y=1,求12x+122.(8分)(2022春•润州区校级月考)(1)已知x>0,y>0,且满足8x+1y=1(2)当0<x<14(3)已知a>0,b>0,求a2a+b专题2.4基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2022春•韩城市期末)函数f(x)=5x+20A.10 B.15 C.20 D.25【解题思路】利用基本不等式化简即可求解.【解答过程】解:由题意f(x)=5x+20x当且仅当5x=20x,即x=2时取等号,此时取得最小值为故选:C.2.(3分)(2022春•郫都区校级期末)若实数x、y满足x2+y2=1+xy,则下列结论中,正确的是()A.x+y≤1 B.x+y≥2 C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2【解题思路】由x2+y2﹣xy=1可得,(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2,x2+y2﹣1=xy≤x2+y22,分别求出x+y【解答过程】解:对于A,B,由x2+y2=1+xy可得,(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2,即14∴(x+y)2≤4,∴﹣2≤x+y≤2,故A错,B错,对于C,D,由x2+y2=1+xy可得,x2+y2﹣1=xy≤x∴x2+y2≤2,故C错,D对,故选:D.3.(3分)(2022春•黄陵县校级期末)下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+1x B.y=x2﹣2xC.y=x2+1【解题思路】选项A,利用排除法,当x<0时,y<0;选项B,由配方法,可得y≥3;选项C,利用基本不等式,可得解;选项D,采用换元法,令t=x2+2≥2,则【解答过程】解:选项A,当x<0时,y<0,即A不符合题意;选项B,y=x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3≥3,即B不符合题意;选项C,y=x2+1x2≥2x2⋅1x2=2,当且仅当选项D,令t=x2+2≥2,则y=t+1所以y≥2+12=3故选:C.4.(3分)(2022秋•哈尔滨月考)设a>0,b>0,若a+3b=5,则(a+1)(3b+1)abA.93 B.2 C.62 D.43【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解.【解答过程】解:a>0,b>0,a+3b=5,则(a+1)(3b+1)ab=3ab+a+3b+1ab=当且仅当3ab=6ab且a+3b=5,即a=2,故选:C.5.(3分)(2022秋•南关区校级月考)已知正实数a,b满足4a+b+1b+1=1A.6 B.8 C.10 D.12【解题思路】根据a+2b=a+b+b+1﹣1=(a+b+b+1)(4a+b+1【解答过程】解:∵正实数a,b满足4a+b∴a+2b=a+b+b+1﹣1=(a+b+b+1)(4a+b+1b+1)﹣1=5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)a+b⋅a+b故选:B.6.(3分)(2021秋•泽普县校级月考)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2B.a2C.a+b2D.2ab【解题思路】利用数形结合计算出OF,OC,再在Rt△OCF中,利用勾股定理得CF,再由CF≥OF,可解.【解答过程】解:由图形可知:OF=12AB=1在Rt△OCF中,由勾股定理得:CF2又CF≥OF,∴12(a2+b2故选:C.7.(3分)(2022春•营口期末)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a,b满足a+b=4,且1a+1bA.t≤1 B.t<1 C.t≤2 D.t<2【解题思路】利用“乘1法”,可得1a+【解答过程】解:1a+1b=14(a+b)(1a+1b)=14(2+ab因为a≠b,所以1a+又1a+1b>t故选:A.8.(3分)(2021秋•李沧区校级月考)若x>0,y>0,且2x+1y=1,x+2y>m2A.﹣8<m<1 B.m<﹣8或m>1 C.m<﹣1或m>8 D.﹣1<m<8【解题思路】根据题意,分析可得x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4++4yx+【解答过程】解:根据题意,x>0,y>0,且2x+则x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+当且仅当x=2y=4时等号成立,即x+2y的最小值为8,若x+2y>m2+7m恒成立,必有m2+7m<8,解可得﹣8<m<1.即m的取值范围为(﹣8,1).故选:A.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2021秋•滦南县校级月考)下列函数最小值为2的是()A.y=x+1x B.yC.y=x2+1x2 D【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断;对于BC利用基本不等式判断即可.【解答过程】解:对于A,当x=﹣1时,y=﹣2,A错误.对于B,y=x2+2x2+1=x2+1+1x2对于C,y=x2+1x2≥2x2⋅1x2=对于D,当x=0时,很显然最小值不是2,D错误.故选:BC.10.(4分)(2021秋•建华区校级期中)若正数a,b满足a+b=1,则13a+2A.67 B.47 C.27 【解题思路】构造17×(3a+2+3b+2)×(13a+2【解答过程】解:∵a+b=1,∴3a+2+3b+2=7,∴13a+2+13b+2=17×(3a∵a,b都是正数,∴3b+23a+2>0,3a+2由基本不等式可知3b+23a+2+3a+23b+2∴13a+2+13b+2≥27+27=47,当且仅当∴13a+2+1故选:AB.11.(4分)(2021秋•烟台期末)已知x>0,y>0,且x+y+xy﹣3=0,则错误的是()A.xy的取值范围是[1,9] B.x+y的取值范围是[2,+∞) C.x+4y的最小值是3 D.x+2y的最小值是4【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断.【解答过程】解:因为x>0,y>0,且x+y+xy﹣3=0,所以x+y=3﹣xy≥2xy,当且仅当x=y=解得,0<xy≤1,即0<xy≤所以xy的取值范围为(0,1],A错误;又xy=3﹣(x+y)≤(x+y2)2,且仅当x解得,x+y≥2,故B正确,又x+y=3﹣xy<3;由x+y+xy﹣3=0,得x=3−yy+1所以0<y<3,1<y+1<4,所以x+4y=3−yy+1+4y=4(y+1)+4y+1−x+2y=3−yy+1+2y=2y−y+1−4y+1=2(y+1)+4y+1−3≥2(2y+2)⋅4y+1−3=42−3,当且仅当2y故选:AC.12.(4分)(2021秋•呼兰区校级期中)已知x>0,y>0,且2x+y=2,若mm−1≤x+2yxy对任意的x>0,y>A.14 B.98 C.127 【解题思路】先结合基本不等式求出x+2yxy的最小值,然后由不等式恒成立转化为mm−1≤(x+2yxy)【解答过程】解:因为x>0,y>0,且2x+y=2,所以x+2yxy=1y+2x=12(1y+2当且仅当2xy=2yx且2x+y=2,即x若mm−1≤x+2yxy对任意的x>0,则mm−1整理得7m−9m−1≥解得m≥97或m<结合选项可知,ACD符合题意.故选:ACD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2021秋•石鼓区校级月考)已知x>2,x+ax−2(a>0)最小值为3.则a=1【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2【解答过程】解:∵x>2,∴x﹣2>0,∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+当且仅当x﹣2=ax−2,即x=2∴x+ax−2(a>0)最小值为2a∵x+ax−2(a>0)最小值为∴2a+2=3,∴a=故答案为:1414.(4分)(2022秋•新罗区校级月考)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的最小值为42−3【解题思路】利用已知关系式求出a=3−bb+1,则2a+b=2×3−bb+1+b=6−2bb+1【解答过程】解:因为ab+a+b=3,所以a=3−b则2a+b=2×3−bb+1+=8b+1+b﹣2=8b+1当且仅当8b+1=b+1,即b=22−1时取等号,此时最小值为4故答案为:42−315.(4分)(2022•衡南县校级开学)直角三角形的斜边长为5时,其面积有最大(大或小)值,为254【解题思路】先设直角边分别为x,y,则x2+y2=25,然后结合基本不等式及三角形面积公式可求.【解答过程】解:设两直角边分别为x,y,则x2+y2=25,因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y=5故xy≤25故三角形面积S=1故答案为:大;25416.(4分)(2022秋•余姚市校级月考)有下列4个关于不等式的结论:①若x<0,则x+1x≤−2;②若x∈R,则x2+2x2+1≥2;③若x∈R,则|x+1x|≥2;④【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可,注意“一正,二定,三相等”3个条件缺一不可.【解答过程】解:对于①,若x<0,则﹣x>0,∴x+1x=−(﹣x+1−x)≤﹣2−x⋅1−x=−2对于②,若x∈R,x2+2x2+1=(x2+1对于③,当x=0时,x+1x无意义,故对于④,若a>0,则(1+a)(1+1a)=1+1a+a+1≥2a⋅1a+2=4,当且仅当所以正确的序号是①②④,故答案为:①②④.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022•望花区校级开学)已知x∈(0,+∞).(1)求y=x+1(2)求y=x2+2x+3x的最小值,以及【解题思路】(1)由题意利用基本不等式即可求解.(2)由已知可得y=x2+2x+3x=【解答过程】解:(1)因为x∈(0,+∞),所以y=x+1取等号条件:x=1x,x2=因为x∈(0,+∞),所以x=1,所以函数y=x+1x的值域为[2,(2)y=x2+2x+3x=因为x∈(0,+∞),所以x+3x≥所以y=2+(x+3x)≥2+23,取等号条件:x=3x,x因为x∈(0,+∞),所以x=3,当x=3时,该函数取最小值2+218.(6分)(2021秋•新泰市校级期末)已知实数a>0,b>0,a+2b=2.(1)求1a(2)求a2+4b2+5ab的最大值.【解题思路】(1)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出;(2)利用a=2﹣2b将a2+4b2+5ab=﹣2(b−12)2【解答过程】解:(1)∵a>0,b>0,且a+2b=2,∴1a当且仅当2ab=2ba,即∴1a+2(2)∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a=2﹣2b>0,可得0<b<1,a2+4b2+5ab=(2﹣2b)2+4b2+5(2﹣2b)b=﹣2b2+2b+4=﹣2(b−12)2当b=12时,a2+4b2+5ab有最大值为19.(8分)(2022春•福田区校级期末)若a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)4a(2)2a+1+【解题思路】(1)由已知利用乘1法,结合基本不等式即可证明;(2)利用基本不等式的结论(m+n【解答过程】证明:(1)因为a>0,b>0,a+b=1,所以4a+1b=(4a+1b当且仅当4ba=ab且a+b=1,即b=故4a(2)因为(2a+1+2b+12)2≤2a+1+2b+12=2,当且仅当2a+1=2b+1且a+b所以2a+1+20.(8分)(2021秋•洛阳期中)如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm,宽为ym.(1)若菜园面积为18m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为18m,求1x【解题思路】(1)由题意得,xy=18,所用篱笆总长x+2y≥2(2)由题意x+2y=18,1x+2y=118【解答过程】解:(1)由题意得,xy=18,则所用篱笆总长x+2y≥22xy=12,当且仅
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