2024-2025学年高中数学第一章数列1.3.1第2课时等比数列的性质学案含解析北师大版必修5

PAGE第2课时等比数列的性质内容标准学科素养1.理解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.2.驾驭等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.3.驾驭等比数列的有关性质，并能综合应用解决有关问题.加强定义理解精确性质应用提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础相识]学问点一等比数列的单调性预习教材P23－25，思索并完成以下问题视察下面几个等比数列中项的改变趋势，指出它们的单调性．(1)－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…(2)9，3，1，eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，…(3)－1，－2，－4，－8，－16，…(4)1，－eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，－eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…(5)2，2，2，2，2，…提示：(1)项是增加的，且a1＜0，0＜q＜1，是单调递增数列．(2)项是减小的，且a1＞0，0＜q＜1，是单调递减数列．(3)项是减小的，且a1＜0，q＞1，是单调递减数列．(4)项是摇摆的，a1＞0，q＜0，不是单调数列．(5)项是不变的，a1＞0，q＝1，是常数列．学问梳理等比数列的单调性公比q单调性首项a1q＜00＜q＜1q＝1q＞1a1＞0不具备单调性递减数列不具备单调性递增数列a1＜0不具备单调性递增数列不具备单调性递减数列学问点二等比中项思索并完成以下问题1．在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？提示：设这个数为G，则eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个．2．若a，G，b成等比数列，能得出什么结论？提示：因为a，G，b成等比数列，所以eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，所以G2＝ab.学问梳理1.等比中项的概念假如在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么依据等比数列的定义，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，我们称G为a，b的等比中项．2．等比中项与等差中项的异同，对比如下表对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项定义式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注随意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项学问点三等比数列的性质思索并完成以下问题给出以下两个等比数列{an}．①1，2，4，8，…；②1，－3，9，－27，….(1)在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？提示：a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.(2)在上述每一个数列中，a2·a6；a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5；a2·a4与a3的值呢？提示：a2·a6＝a3·a5＝aeq\o\al(2,4)；a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3).学问梳理类比等差数列的性质得出等比数列的一些性质如下：若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N＋)，则am·an＝as·at＝aeq\o\al(2,k).(3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列．(4){|an|}是公比为|q|的等比数列．(5)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2且项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．[自我检测]1．等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,4)，a1＝eq\r(2)，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摇摆数列解析：由于公比q＝－eq\f(1,4)＜0，所以数列{an}是摇摆数列．答案：D2．2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 D．2解析：设2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1，∴G＝±1.答案：C3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于______．解析：由a5＝a2·q3，得q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(\f(1,4),2)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)授课提示：对应学生用书第21页探究一等比数列的性质[例1]已知{an}为等比数列．(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求a(2)若an＞0，a5a6＝9.求log3a1＋log3a2＋…＋log3[解题指南](1)由等比数列性质得a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，从而得解．(2)由等比数列性质得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5[解析](1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.(2)依据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5∴log3a1＋log3a2＋…＋log＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.方法技巧等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．性质4：在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….性质5：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．跟踪探究1.(2024·朝阳区模拟)已知等比数列{an}各项均为正数，公比为q，满意an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则q2＝()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：∵a4a6＝a2a8＝6，a4＋a6＝5，等比数列{an}各项均为正数，解得a4＝3，a6＝2，∴q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(2,3).故选D.答案：D2．已知等比数列{an}的公比为正数，且4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，a2＝1，则a6＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,32) D.eq\f(1,64)解析：由4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，得4aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,4)，∴q＝eq\f(1,2)，∴a6＝a2q4＝eq\f(1,16).答案：B探究二等比中项的应用[阅读教材P25练习2第三题]求下列各组数的等比中项．(1)－45和－80.(2)7＋3eq\r(5)和7－3eq\r(5).(3)(a＋b)2和(a－b)2.解析：由等比数列性质所得，等比中项的平方等于前后两项的乘积．(1)G＝±eq\r(（－45）（－80）)＝±60.(2)G＝±eq\r(（7＋3\r(5)）（7－3\r(5)）)＝±2.(3)G＝±eq\r(（a＋b）2（a－b）2)＝±(a2－b2)．[例2](1)在等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2－11x＋9＝0的两个根，则a5a6A．3eq\r(3) B.eq\f(11,2)C．±3eq\r(3) D．以上都不对(2)已知1既是a2与b2的等比中项，又是eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的等差中项，则eq\f(a＋b,a2＋b2)的值是()A．1或eq\f(1,2) B．1或－eq\f(1,2)C．1或eq\f(1,3) D．1或－eq\f(1,3)[解题指南](1)由根与系数的关系可得a3·a9，又a3·a9＝aeq\o\al(2,6)，a5·a7＝aeq\o\al(2,6).可得结果．(2)依据等差及等比中项的定义求解．[解析](1)由根与系数的关系得a3a9＝3，又a6为a3与a9的等比中项，所以a6＝±eq\r(3)，在等比数列{an}中，a5a6a7＝aeq\o\al(3,6)＝±3eq\r(3).(2)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))因此eq\f(a＋b,a2＋b2)＝eq\f(a＋b,（a＋b）2－2ab)＝1或－eq\f(1,3).[答案](1)C(2)D方法技巧等比中项的性质(1)由等比中项的定义可知eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq\r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从其次项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab＞0)．跟踪探究3.假如－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝－3，ac＝9 B．b＝3，ac＝9C．b＝－3，ac＝－9 D．b＝3，ac＝－9解析：依据等比中项的定义得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－b，①,b2＝ac②,c2＝－9b③))，①×③得a2c2＝9b2即ac＝±3b④将④代入②得b2＝±3b，解得b＝±3.又由③得b＜0，∴b＝－3，ac＝b2＝9.故选A.答案：A探究三等比数列的实际应用[阅读教材P24例4及解答]据报载，中美洲地区毁林严峻，据统计，在20世纪80年头末，每时平均毁林约48hm2，森林面积每年以3.6%～3.9%的速度削减，迄今被毁面积已达1.3×107hm2，目前还剩1.9×107hm2，请你回答以下几个问题：(1)假如以每时平均毁林约48hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？(2)依据(1)计算出的年数n，假如以每年3.6%～3.9%的速度削减，计算n年后的毁林状况；(3)若按3.6%的速度削减，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的状况，经过多少年森林将被毁尽？题型：等比数列的实际应用方法步骤：(1)先计算出平均每年毁林数，然后用算式得出森林将被毁尽的年数；(2)依据等比数列的通项公式用计算器计算45年后还剩余的森林面积；(3)分别计算150年后，200年后，250年后，300年后，剩余森林的面积数．[例3]某城市2024年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2024年年初起先每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0＜x＜1))[解题指南]eq\x(\a\al(设人口年平均,增长率为x))→eq\x(\a\al(求2025年底,人口数量))→eq\x(求2025年底住房面积)→eq\x(列方程求x).[解析]设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2024年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，则a1＝100，公比q＝1＋x，则2025年年底人口数量为a8＝a1q8＝100(1＋x)8.2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2460(万平方米)．由题意得eq\f(2460,100（1＋x）8)＝24，即(1＋x)8＝eq\f(41,40)，因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，所以1＋8x≈eq\f(41,40)，所以x≈0.003.答：该城市的人口年平均增长率约是0.003.延长探究在本例中，若将“该城市拟自2024年年初起先每年新建住房245万平方米”改为“该城市拟自2024年年初起先每年新建住房250万平方米”，则结论如何？解析：由例题解析知2025年年底住房总面积为100×5＋8×250＝2500(万平方米)，由题意得eq\f(2500,100（1＋x）8)＝24，解得x≈0.005.答：该城市的人口年平均增长率约是0.005.方法技巧等比数列的实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的详细事务相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列学问求解．跟踪探究4.某厂生产电脑，原安排第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，事实上二月份比原安排多生产10台，三月份比原安排多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原安排第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？解析：依据已知，可设该厂第一季度原安排3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d，(d＞0)，则事实上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，由题意得eq\