2024-2025学年高考数学一轮复习专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解含解析

专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式【考纲解读与核心素养】1.理解同角三角函数的基本关系.2.驾驭正弦、余弦、正切的诱导公式.3．本节涉及全部的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.4.高考预料：（1）公式的应用.（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主．5.备考重点：（1）驾驭诱导公式，留意敏捷运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系；（2）驾驭同角三角函数基本关系式，留意同角的三个函数值中知一求二.【学问清单】学问点1．同角三角函数的基本关系式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.对同角三角函数基本关系式的理解留意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“随意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立．3．常用的等价变形sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；))tanα＝eq\f(sinα,cosα)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))学问点2．三角函数诱导公式六组诱导公式角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”学问点3．特别角的三角函数值（熟记）【典例剖析】高频考点一同角三角函数的基本关系式【典例1】【多选题】若，且为锐角，则下列选项中正确的有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，且为锐角，，故正确，，故正确，，故错误，，故错误.故选：.【典例2】（2024·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcosx=____.【答案】3【解析】【分析】将=2左端分子分母同除以，得，解得，.故答案为：；【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的敏捷代换法”、“和积转换法”(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，留意等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需依据角所在的象限推断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类探讨．2.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tanα＝m，求形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)(或eq\f(asin2α＋bcos2α,csin2α＋dcos2α))的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，假如先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．【变式探究】1.（2024·北京高考模拟（文））已知，且，那么（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，>0，故即，又，解得：故选：B2.（2024·山西平城�大同一中高一月考）已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知．故选：B．【总结提升】在运用开平方关系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)时，肯定要留意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，假如角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；假如角α所在的象限是未知的，则须要按象限进行探讨．高频考点二sinαcosα与sinαcosα的关系及应用【典例3】（2024·山东高三期末（理））已知，，则（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由题意知，，①，即，，为钝角，，，，，②由①②解得，，故选B.【典例4】（2024·永州市第四中学高一月考）已知.试用k表示的值.【答案】详见解析【解析】，,当时，，此时，当时，，此时.【规律方法】和积转换法:利用的关系进行变形、转化.【变式探究】1.（2024·河北高考模拟（理））已知，，则的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故选B.2.（2024·上海高考模拟）设且，若，则______．【答案】1【解析】设且，若，所以：，=1,又+=1，，=1，又===，故答案为：1．【总结提升】1.对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．高频考点三利用诱导公式化简求值【典例5】（2024·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=.【答案】【解析】∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．则tan（θ）＝﹣tan（）．故答案为：．【典例6】求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝.【答案】1【解析】原式【规律方法】1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简洁,能求值的要求出值.【变式探究】1.（2024·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.（1）化简.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）．．（2）因为，所以．因为是第四象限角，所以，所以．2.化简【答案】当时，原式；当时，原式.【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【总结提升】用诱导公式求值时,要擅长视察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.高频考点四同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用

【典例7】（2024·山东诸城�高一期中）已知，且是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并依据你的选择，解答以下问题：（1）求的值；（2）化简求值：.【答案】（1）答案不唯一，详细见解析（2）【解析】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；若选③，；若选④，；（2）原式.【典例8】设tan(α＋eq\f(8π,7))＝m，求证：eq\f(sin\f(15π,7)＋α＋3cosα－\f(13π,7),sin\f(20π,7)－α－cosα＋\f(22π,7))＝eq\f(m＋3,m＋1)．【答案】见解析【解析】证法一：左边＝eq\f(sin[π＋\f(8,7)π＋α]＋3cos[α＋\f(8π,7)－3π],sin[4π－α＋\f(8,7)π]－cos[2π＋α＋\f(8π,7)])＝eq\f(－sinα＋\f(8π,7)－3cosα＋\f(8π,7),－sinα＋\f(8π,7)－cosα＋\f(8π,7))＝eq\f(tanα＋\f(8π,7)＋3,tanα＋\f(8π,7)＋1)＝eq\f(m＋3,m＋1)＝右边．∴等式成立．证法二：由tan(α＋eq\f(8π,7))＝m，得tan(α＋eq\f(π,7))＝m．左边＝eq\f(sin[2π＋\f(π,7)＋α]＋3cos[2π－\f(π,7)＋α],sin[2π＋π－\f(π,7)＋α]－cos[2π＋π＋\f(π,7)＋α])＝eq\f(sin\f(π,7)＋α＋3cos\f(π,7)＋α,sin[π－\f(π,7)＋α]－cos[π＋\f(π,7)＋α])＝eq\f(sin\f(π,7)＋α＋3cos\f(π,7)＋α,sin\f(π,7)＋α＋cos\f(π,7)＋α)＝eq\f(tan\f(π,7)＋α＋3,tan\f(π,7)＋α＋1)＝eq\f(m＋3,m＋1)＝右边，∴等式成立．【规律方法】(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是干脆将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论运用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．【变式探究】1.（2024·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，.(1)化简；(2)若，求的值；【答案】（1）（2）【解析】第一问利用其次问∵∴从而，从而得到三角函数值．解：（1）（2）∵∴从而又为第三象限角∴即的值为2.(1)已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，求cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))的值；(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】【解析】思路分析：（1）eq\f(π,6)－α与eq\f(5π,6)＋α、α－eq\f(π,6)存在什么关系？用eq\f(π,6)－α表示其它角．（2）α－75°与150°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α．详解：(1)∵cos(eq\f(5π,6)＋α)＝cos[π－(eq\f(π,6)－α)]＝－cos(eq\f(π,6)－α)＝－eq\f(\r(3),3)，sin2(α－eq\f(π,6))＝sin2[－(eq\f(π,6)－α)]＝1－cos2(eq\f(π,6)－α)＝1－(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(2,3)，∴cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3)．(2)∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,