福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2025届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2025届高一数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件2．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）A. B.C. D.3．已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线C.的一个零点为 D.在区间的最小值为14．已知集合，集合，则下列结论正确的是A. B.C. D.5．若实数，满足，则关于的函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是A. B.C.2 D.47．下列各式中与相等的是A. B.C. D.8．函数的零点是A. B.C. D.9．，，这三个数之间的大小顺序是（）A. B.C. D.10．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，则=____________12．已知函数，若存在，使得f（）＝g（），则实数a的取值范围为___13．已知，则_____.14．函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则______15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于坐标原点对称.若sinα=116．若函数（其中）在区间上不单调，则的取值范围为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知tanα<0，（1）若求的值;（2）若求tanα的值.18．已知函数.（1）求函数的周期；（2）求函数的单调递增区间.19．已知函数f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函数，g（x）=f（lnx）（e=2.71828…）（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断并证明函数g（x）在区间（0，1）上的单调性20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；（3）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.21．计算下列各式的值：（Ⅰ)（Ⅱ）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】求得的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得或，所以“”是“或”成立的充分不必要条件，所以“”是“”必要不充分条件.故选：D.2、D【解析】先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.【详解】设一个正三角形的边长为，则另一个正三角形的边长为，设两个正三角形的面积之和为，则，当时，S取最小值.故选：D3、D【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.【详解】函数，周期为，故A错误；函数图像的对称轴为，，，不是对称轴，故B错误；函数的零点为，，，所以不是零点，故C错误；时，，所以，即，所以，故D正确.故选：D4、B【解析】由题意得，结合各选项知B正确．选B5、B【解析】利用特殊值和，分别得到的值，利用排除法确定答案.【详解】实数，满足，当时，，得，所以排除选项C、D，当时，，得，所以排除选项A，故选：B.【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.6、B【解析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥由题意得其底面面积，高，故几何体的体积故选B【点睛】由三视图还原几何体的方法（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体7、A【解析】利用二倍角公式及平方关系可得，结合三角函数的符号即可得到结果.【详解】,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，∴=故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力.8、B【解析】函数y=x2-2x-3的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可【详解】由y=x2-2x-3=（x-3）（x+1）=0，得到x=3或x=-1，所以函数y=x2-2x-3的零点是3和-1故选B【点睛】本题考查函数的零点的概念和求法．属基本概念、基本运算的考查9、C【解析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可【详解】解：因为在上为减函数，且，所以，因为在上为增函数，且，所以，因为在上为增函数，且，所以，综上，，故选：C10、C【解析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由函数解析式，先求得，再求得代入即得解.【详解】函数，则==，故答案为.【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.12、【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式组求解即可.【详解】因为，所以，故，即因为，依题意得，解得故答案为：.13、3【解析】利用诱导公式求出，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.【详解】因，所以.故答案为：3.14、1【解析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.【详解】因函数是上周期为2的奇函数，，所以.故答案为：1【点睛】易错点睛：函数f(x)是周期为T周期函数，T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.15、-14【解析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系，再由诱导公式，可得答案.【详解】∵角α与角β的终边关于坐标原点对称,所以β=α+由诱导公式可得:sinβ=-故答案为：-16、【解析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.【详解】，x∈，①ω＞0时，ωx∈，f(x)在不单调，则，则；②ω＜0时，ωx∈，f(x)在不单调，则，则；综上，ω的取值范围是.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值（2）利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值【详解】（1），，为第四象限角，，，（2），，，或【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题18、（1）（2）【解析】（1）先把函数化简为，利用正弦型函数的周期公式，即得解（2）由解出的范围就是所要求的递增区间.【小问1详解】故函数的周期【小问2详解】由，得，所以单调递增区间为19、（I）a=（II）答案见解析【解析】（I）由函数f（x）=ln（ex+1）+ax偶函数，可得f（-x）=f（x），解得a.（II）由（I）可得：f（x）=ln（ex+1）．g（x）=f（lnx）=ln（x+1）．利用函数单调性的定义确定函数的单调性即可.【详解】（I）∵函数f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，化为：（2a-1）x=0，x∈R，解得a=经过验证满足条件∴a=（II）由（I）可得：f（x）=ln（ex+1）∴g（x）=f（lnx）=ln（x+1）则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增设，则，，，，，，∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20、（1）720人（2）（3）需要增加，理由见解析【解析】（1）由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的频率，然后由频数样本容量频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的样本学生数，最后将两者相加即可（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，由频数样本容量频率组距频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件的结果，从而得（3）同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加【小问1详解】由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:，学生人数为人高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:，学生人数约有人，全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人【小问2详解】记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，高中生中，阅读时间不足10个小时的