2021届人教a版（文科数学） 空间点线面的位置 关系 单元测试

2021届人教A版（文科数学）空间点线面的位置关系单元测

试

已知三棱柱AB’-/BiJ的侧棱垂直于底面，该棱柱的体积为2#,AB=4,AC=2,

NBAC=60。，若在该三棱柱内部有一个球，则此球表面积的最大值为（）„

A.8nB.（16-8狗匹

C.2nD.（4"回兀

2、如果用□表示1个立方体，用□表示两个立方体叠加，用■表示3个立方体

叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是

（）

/正前方

D.

3、如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥

①②B.①③C.①④D.②④

4、经过点（1,3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）

A.%+y=4B.y=x+2C.y=3x或x+y=4D.y=3x或

y=x+2

5、一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧（左）视图的面积为6省则这

俯视图

A.12B.16C.8小D.12m

6、

矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起，当平面ABCJ•平面ACD时，四

面体ABCD的外接球的体积是（）。

125125125125

-----n-----n-----n-----n

A.12B.9C.6D.3

7、如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2

的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）

8、若空间中〃个不同的点两两距离都相等，则正整数〃的取值（）

A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3

9、已知某几何体的外接球的半径为其三视图如图所示，图中均为正方形，则该

几何体的体积为（)

168

A.16B.3c.3D.8

77

10、已知三棱锥A—88中，AB=AC,ABYAC,BD1DC,ZDBC=-,

6

3

若三棱锥A-BCD的最大体积为则三棱锥/-EG）外接球的表面积为

2

A.4百nB.8nC.12nD.1273n

11、如图所示的直观图中，AOAB的原来平面图形的面积为

3戊

A.3B.2C.3mD.6

12、如图，记正方形ABCD四条边的中点为S,M,N,T,连接四个中点得小正方形SMNT,

将正方形ABCD、正方形SMNT绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记

为ViM,贝广户2=（）

13、

有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60。，若此

圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（）。

A.五倍B.2倍C.20倍D.3倍

14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（)

12

B.2+1+罗九C.2+(1+V5)冗D.

n

已知球。半径为3行，设S、A、8、C是球面上四个点，其中

NABC=90,A8=8C=4jI,则棱锥S—ABC的体积的最大值为（）。

A6472D64夜八320n32血

3939

16、

已知正方体的棱长为2,则该正方体的外接球的直径为（）.（）。

A.V2B.73C.20D.2下）

17、

某几何体的三视图如图所示，俯视图右侧是半圆，则该几何体的体积为（）

4+2n4+n2+2n2+n

A.3B.3c.3D.3

18、已知某三棱锥的三视图（单位前）如图所示，则该三棱锥的体积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.6cm'B.2cm"C.3cm'D.1cm3

19、一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,这个几

20、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

21、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

-271-

seas

24

40--n20--n20--n

A.20-2nB.3c.3D.3

22、球。的一个截面圆的圆心为M,圆M的半径为b，O用的长度为球O的半径

的一半，则球O的表面积为（）

A.4万

C.124

23、如图，用一边长为垃的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做

成一个蛋巢，将体积为？万的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则

3

鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）

V33

-------1----

22

24、如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）

A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B.该几何体有12条棱、6个顶点

C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

25、有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为

26、我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器

—商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若乃取3,其体积为12.6（立

方寸），则图中的x为.

1卜!,5.4卜3T

正视图恻视图

俯视图

27、已知AABC的三个顶点在以0为球心的球面上，且cosA二二一,BC=1,AC=3,

3

三棱锥0-ABC的体积为—，则球0的表面积为_________。

6

28、一个简单几何体的主视图、俯视图如下图所示，则其左视图不可能为

29、已知在直三棱柱ABC-AIB©中，NBAC=12O。，AB=AC=AA1=2,若棱AA】在正视

图的投影面a内，且AB与投影面a所成角为矶30。4846。。）.设正视图的面积为m,侧

视图的面积为n,当。变化时，mn的最大值是.

30、如图，长方体A3CO-44GA的三个面的对角线A。，\B,AC的长分

别是3,2,3,则该长方体的外接球的表面积为.

H

31、圆台上、下底面面积分别为团、国，侧面积是画,这个圆台的高为

32、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四

个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的

正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为cm'.

(第11题图)

33、请将图中各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.

34、面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体？

35、分别画一个三棱锥和一个四棱台.

36、已知圆柱的侧面展开图是边长为4和6的矩形，则该圆柱的表面积为

37、如图，在三棱锥S-ABC中，SAJ■底面ABC,4ABe=90°,且点4/是

SB的中点，4V-SC且交SC于点N.

(1)求证：SCJ■平面AMN；

(2)当AB=BC=1时，求三棱锥M-SAN的体积.

38、已知正四面体棱长为1,分别求该正四面体的外接球与内切球半径.

39、请给以下各图分类.

。11AA

(5)(6)(7)(8)

40、下图为一个正方体表面的一种展开图，图中的线段AB、CD、历和GH在原正

方体中不在同一平面内的共有多少对？

41、如图所示，正三棱柱的底面边长是4cm,过BC的一个平面交侧棱AA'于点

若AO的长为2cm,求截面△BCD的面积.

42、如图，已知4B是圆柱底面圆。的直径，底面半径R=l,圆柱的表面积

为8兀；点C在底面圆。上，且NAOC=120°.

(1)求三棱锥A-4CB的体积;

(2)求异面直线与0C所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).

43、一个圆锥的底面半径为2cm,高为4cm,其中有一个高为xcm的内接圆柱:

(1)求圆锥的侧面积；

(2)当尤为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.

44、如图所示，在边长为5+W的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以0

为圆心画一个圆，M,N,K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆0为圆锥底面,

围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积.

参考答案

1、答案C

已知三棱柱ABC-A1B/1的侧棱垂直于底面，AB=4,AC=2,々BAC=60。，

由余弦定理可得：BC=2^,.-.B^+AC^AB2,.-.BC1AC,此直角三角形内切圆半径

2强=—x2x2J3AA].._C

又•.•该棱柱的体积为2\可得A/--,

而22，，若在该三棱柱内部有一个球，则此球半径的最大值为2,故此球

表面积的最大值为2m.故选C.

名师名师点评先通过计算得底面为直角三角形，进而得内切圆半径为r=43，再根据

AA,£

AA-份—=—<5/3-1

体积得高A、-#,比较22,从而得解.与球有关的组合体问题，一种是内

切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的

数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正

方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对

角线长等于球的直径.

2、答案B

分析

根据题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，当中下面为三个正方体，上面为两个

正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可.

详解

由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，

当中为三个正方体，用■表示，

上面为两个正方体，用□表示，

所以答案B是符合题意的，

故选：B.

名师点评

本题考查几何体的正视图的画法，解题关键是注意用什么样的小正方形，代表几个小正

方体.

3、答案D

4、答案D

5、答案D

设此三棱柱底面边长为。，高为人，则由图示知立。=2百，.-.a=4,侧视图面积为

2

20x/?=6百，〃=3.这个三棱柱的体积为由x42x%=12百.故D正确。

4

6、答案C

设矩形ABCD的对角线AC,BD的交点为点O,

0A=OB=0C=0D=-M+42=-

由矩形的性质结合题意可知：2丫2,

在翻折过程中。人，。8，比,0。才长度不变，据此可知点。为球心，

54,4125125

R=0A=一V=—JTR=—rex=n

外接球半径2,外接球的体积3386.

本题选择C选项.

7、答案C

8、答案C.

〃=3：平面上3点构成正三角形，符合题意，〃=4：空间中4点构成正四面体，符合

题意，〃=5：显然任三点不共线，考虑四个点构成的正四面体，第5个点必为正四面

体的外接球的球心，但其半径与正四面体的棱长显然不相等，故不成立，故选C.

考查目的：空间几何体的结构特征.

9、答案C

由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同

国3a=2

于该正方体的外接球，设正方体的棱长为a,则有2,故该正四面体的体积为

1138

V=23—x4x-x2=-

323,选C.

10、答案C

取的中点。，连接AO,DO,作于点E,设AB=AC=x.

AB_LAC,BD1DC

...AO=OB=OC=OD,即。三棱锥A—BCO外接球的球心.

AB=AC,AB1AC

：.AO=OB=OC=OD=—x

2

71

,：ZDBC=-

6

：.CD=—x

2

...DE=—x

4

3

：三棱锥A-BCD的最大体积为-

2

.•.当DE为三棱锥A-BCD的高时，三棱锥A-BCD的体积最大，即

二x=&，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为—xV6=V3.

2

三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4万x（百丫=12兀.

故选C.

名师点评：本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.

在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策是找到球心，然后通过解三角形

求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个

外心垂线的交点位置.

11、答案D

根据直观图的画法（斜二测画法），还原出平面图形，即可求出平面图形的面积

详解

直观图4AOB,还原为平面图形是一个直角三角形，直角边长为：3,4;所以它的面积为：

1

-x3x4=6

2故答案为：D

名师点评

求直观图面积的关键是，找出实际图形中的底边长和高，实际图形中的高线，在直观图

中变为与水平线成45°角，长度为原来一半的线段；也就说说，直观图还原成实际图形,

平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变成原来的2倍。

12、答案B

将正方形ABCD、正方形SMNT绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体分别为同底圆锥的

组合体和圆柱，假设小正方形边长为1,求出旋转后的几何体的底面半径和高，分别代入

圆锥与圆柱的体积公式，求出两圆锥的体积以及圆柱的体积，从而可得结果.

详解

将正方形ABCD绕对角线AC旋转一周得到的旋转体为同底的两个圆锥的组合体，

将正方形SMNT绕AC旋转一周得到的几何体为圆柱,

设正方形SMNT的边长为1,则正方形ABCD的边长为国,

则圆锥的底面半径和高均为1,

1

圆柱的底面半径为2,高为1,

1227T/1\2n

V=2x-xnxlx1=—=nx-x1=-

则33\2j4,

V18

-=—

V23,gpVrV2=8:3,故选B.

名师点评

本题主要考查几何体的体积以及空间想象能力，属于中档题.空间几何体体积问题的常

见类型及解题策：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则

可直接利用公式求解；（2）求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接

利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.（3）求以三视图为背景的几

何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

13、答案B

设圆柱的高为〃，底面半径为r,圆柱的外接球的半径为R,则4=（4、2

+r2.

12

7

因为圆锥的母线与底面所成角为60°,所以圆锥的高为百r,母线长l=2r.

所以圆锥的侧面积为兀lr=2兀/，

所以4成2=4%9+/=4x2/，所以0+r=2,，所以〃2=4’,所以

”2.

r

故选B.

14、答案A

解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1,高为2,

母线长为泥，_

圆锥的表面积S=S«+S71X/+X2X2+XJIXIX泥=2+工坐打.

故选A.

15、答案A

s

根据题意知，直角三角形血?。的面积为16.其所在球的小

圆的圆心在斜边AC的中点上，若四面体S-ABC的体积的最大值，由于底面积1A.

不变，高最大时体积最大，所以，SQ与面ABC垂直时体积最大.设球小圆的圆心为

Q,如图.设球心为0,半径为R,则在直角中，OA1=AQ2+OQ2,即

R2=(少+(SQ-R)2,­.•R=372,SQ=472

则棱锥S—ABC的体积最大值为为V=|SMCxSQ="2.

故选A.

名师点评本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD

的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想.

16、答案D

正方体的对角线就是正方体外接球的直径，

由于正方体的棱长是2,

所以该正方体的外接球的直径为,2?+2?+2?=2百.

本题选择〃选项.

名师点评：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形,

明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切

于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，

正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

17、答案B

根据此几何体的三视图可知，该几何体一半是四棱锥，另一半是半圆锥组合而成，所以

1114+n

-xlx2x2+-x-n-12x2=------

其体积为33.故选B.

18、答案D

解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，

面积是LxiXZWcm?,三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm,这是三棱锥的高,

2

.•.三棱锥的体积是」XlX3=lcm\故选D

3

19、答案B

由三视图可知，该几何体是球去掉四分之一后剩余的部分，

，“同nX2-8JI.

20、答案D

由于对角线被挡住，看不到，画成虚线，注意位置.

21、答案C

首先确定几何体的空间结构，然后求解其体积即可.

详解

由三视图可知，该几何体是由一个四棱柱去掉半个球形成的组合体，

其中，棱柱的底面为对角线为2亚的正方形，则其边长为a=2,高为h=5,

球的直径为正方形的边长，则其半径R=i,

142

V=22x5—x-xnx13=20—n

据此可知，组合体的体积233.

本题选择C选项.

名师点评

（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及

直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体

积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

22、答案D

由题设可得=3,即R=2,故S=4乃x4=16%.故应选D.

4

考查目的：球的半径及球心距之间的关系球的面积公式等知识的综合运用.

23、答案D

由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径

为1,由于鸡蛋的体积为47竺r，故鸡蛋（球）的半径为1,故球心到截面圆的距离为

3

J1一出=与，而垂直折起的4个小直角三角形的高为;，故鸡蛋最高点与蛋巢底

面的距离为走+1+L正+-,故选D.

2222

考查目的：组合几何体的面积、体积问题

24、答案D

根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D

错误.

详解

根据几何体的直观图，得

该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，

且有棱MA、MB、MC、MD,AB、BC、CD、DA、NA、NB,NC和ND,共12条；

顶点是M、A、B、C、D和N共6个；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个

面都是三角形.

所以选项A、B、C正确，选项D错误.

故选:D.

名师点评

本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目.

15

25、答案—I—二万

36

由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥,

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=O.故R=包,

2

故半球的体积为：

3

棱锥的底面面积为：1,高为1,故棱锥的体积V=

3

故组合体的体积为'+也万

16

即答案为二+半乃

名师点评本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判

断几何体的形状是解答的关键.

26、答案1.6

由图可得7x（；）xx+3xlx（5.4—x）=12.6=>x=1.6.

考查目的：1、三视图；2、体积.

方法点晴本题主要考查三视图和体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视

图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平

齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不

全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握柱体的体积公式.

27、答案16不

设球的半径为R,AABC的外接圆半径为r,球心0到截面ABC的距离为d,由

人2近伯..1

cosA=----得，sinA=—,

I2=BC~=AC2+AB'-2ACxABcosA=9+AB2-2x3ABx,解得AB=2>/2,

3

所以ACsinA=夜，所以％-.BC==Jx&x"=，解得

233。

d=—,由正弦定理知，2厂匹-=5=3,所以r=3,由球的截面性质知，

2sinA12

3

R=yjr2+d2=2,所以球0的表面积为47/?2=16乃.

28、答案直角梯形

当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆

柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能.于是只有D不可能.故选D.

29、答案12而

利用AB与投影面a所成角为“BA。=120°,AB=AC=2,AA】=2/BAD=6,将正视图的面积m

和侧视图的面积n用。的三角函数表示，利用辅助角公式结3。°48460°,可求解mn的最

大值.

详解

AB与投影面a所成角为。时，平面ABC如图所示，

0

•••BC=Z^ZACE=60-6(

•••BD=ABsin6,DA=ABcos&AE=ACcos(60°-9)；

ED=DA+AE=2cos(60°-0)+2cosG；

故正视图的面积为m=ED*AM4[COS(6O0-0)+cosG]

侧视图的面积为n=BDxAA广4sin。，

mn=16sin0[cos(6O°-0)+cos9|

=16sin0[cos6O0cos0+sin0sin6O°+cos0]

12sin20+8J3sin0

=8^0(26-30°)+4^5

v30°<0<60°,.*.30°<26-30°<90°,

故mn的最大值12区故答案为12亚

名师点评

本题考查了三视图的投影的认识和理解，以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值，属

于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成y=asin2x+bsinx+q^j

asinx+b

形式利用配方法求最值；②形如,-csinx+d的可化为sinx=(P(y)的形式利用三角函数有界

性求最值；③丫=asinx+bcosx型，可化为丫=/+b2$in(x+⑼求最值.

30、答案11%

724.02

设长方体的长、宽、高分别为a,仇c,所以/+/+02=:一=故长方体的

2

外接球的直径为2R=yja2+b2+c2=VT1,所以长方体的外接球的体积为4万R2=11兀。

31、答案同

由于圆台的侧面积公式为S圆台仞广万(R+r)/.所以母线所以由半径差与高即母线

构成的直角三角形可解出高等于®.故填画.本小题关键是通过侧面积求出母线的

长，从而利用重要的直角三角形解出圆台的高.

32、答案48

33、答案用虚线把被平面遮住的部分画出，如下图的立体图形.

①②③④

34、答案多面体至少有4个面，它是三棱锥.

35、答案画三棱锥可分三步完成

第一步：画底面---画一个三角形；

第二步：确定顶点一一在底面外任一点；

第三步：画侧棱一一连结顶点与底面三角形各顶点.

==

阿四棱可分三步完成

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段

平行的线段•

第三步;将M余线段擦去.

24+2或24+±

36、答案""

37、答案：：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予

证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用线面垂直性质定理转化为

线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形底边中线性质得AM，SB(2)

求三棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由(1)得SCI平面AMN,因此

VM-SMN=VS-AMN=3AAMNSN,这样只需在对应三角形中求出对应边即可•

试题(1)SA底面ABC,•••BC1SA,BC1AB,BC1•面SAB/BCAM,又因为SA=AB,M

是SB的中点，二AM±SB,•••AM1面SBC,SC1AM由已知AN1SC,•••SC1平面AMN.

(2)•••SCJ•平面AMN,二SN1平面AMN,而SA=AB=BC=1,•••AC=SC=由，又

AN±SC,AN=-X•••AMJ■平面SBC,AM1MN而

3

母m1也加由11

AM=—,•••MN=—,•••=XYXT=77'"VS-AMN=7SAAMN'SN=

2622612336

__1

\'M-SMN=''s-AMN=W

考查目的：线面垂直判定与性质定理，三棱锥体积

思想名师点评垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

38、答案逅，逅

412

试题分析：设正四面体为PABC,两球球心重合，设为0.

设P0的延长线与底面ABC的交点为D,则PD为正四面体PABC的高，PDL底面ABC,且

P0=R,0D=r,0D=正四面体PABC内切球的高.

设正四面体PABC底面面积为S.

将球心0与四面体的4个顶点PABC全部连接，

可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面.

每个正三棱锥体积％=!？S?r而正四面体PABC体积V2=!?S?（R+r）

33

11

所

以4?-?s?r=-?s?

根据刖面的分析，4?VFV2,33(R+r),

3i

所以R=3r,所以R尸。"