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文档简介
专题17反比例函数中的平行四边形问题
1、如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=K(k六0)的图象过等边三角形80C的顶点8,OC=2,
x
点A在反比例函数图象上,连接AC、AO.
(1)求反比例函数解析式;
(2)若四边形AC80的面积为3«,求点A的坐标.
解:(1)作8O_LOC于力,如图,
为等边三角形,
:.OD^CD=^-OC=\,
2
.•.8。=我。。=«,
:.B(-1,-加),
把8(-1,-«)代入y=?得Z=-lx(-«)=«,
•••反比例函数解析式为?=乂3;
X
3
(2)设A(z,—),
t
•・・四边形ACBO的面积为3«,
解得/=方,
•••A点坐标为弓,2«).
2、如图,在平面直角坐标系中,四边形A8CD是平行四边形,点A、8在x轴上,点C、。在第二象限,
点例是8c中点.已知AB=6,AZ)=8,/D4B=60。,点B的坐标为(-6,0).
图①图②
(1)求点。和点例的坐标;
(2)如图①,将口ABC。沿着x轴向右平移a个单位长度,点。的对应点。和点M的对应点M"恰好在
反比例函数),=KG>0)的图象上,请求出〃的值以及这个反比例函数的表达式;
x
(3)如图②,在(2)的条件下,过点W作直线/,点P是直线/上的动点,点。是平面内任意一
点,若以夕,C,P、。为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的点。的坐标.
解:(1):AB=6,点3的坐标为(-6,0),
二点4(-12,0),
如图1,过点D作DE±x轴于点D,
图1
则EO=4OsinN£M8=8x半=4近,同理AE=4,
故点0(-8,4晶),则点C(-2,4近),
由中点公式得,点M(-4,2«);
(2)图象向右平移J'。个单位,则点。(a-8,4«)、点“(”-4,2«),
•.•点。”都在函数上,
/.(a-8)x4“=(a-4)x2«,
解得:a=12,
则上=(12-8)x4我=16«,
故反比例函数的表达式为=也巨;
X
(3)由(2)知,点W的坐标为(8,2«),点£、。的坐标分别为(6,0)、(10,4«),
设点P(〃?,2立),点。(s,力:
①当夕。是矩形的边时,如图2,求解的矩形为矩形"C/Q和矩形"CQP,
过点C作CHLI交于点H,CH=4遥-2遥=2y,
直线的倾斜角为60。,则NM'PC=30。,PH=C'H^tanZM'PC=273,V3=6-
故点P的坐标为(16,273),
由题意得:点P、。'关于点C对称,由中点公式得,点。的坐标为(12,-4«);
同理点。、关于点W对称,由中点公式得,点。’(4,65/3)!
故点Q的坐标为:(12,-473)或(4,6«);
②当夕C是矩形的对角线时,
,/夕C的中点即为PQ的中点,且PQ=B'C,
'm+s=10+6mi=12叱=4
t+2V3=W3,解得:-S[=4$2=12
(m-s)2+(t-2V3)2=42+(4\/3)2
%=2«t2=2V3
故点。的坐标为(4,2>/3)或(12,2«);
综上,点。的坐标为:(12,-473)或(%6、/*或(4,2«)或(12,
3、如图,四边形ABCZ)是平行四边形,点A(1,0),B(4,1),C(4,4).反比例函数y=@(x>0)的
x
图象经过点。,点尸是一次函数>=丘+4-必(原0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)通过计算,说明一次函数),=&+4-4k(原0)的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=fcv+4-4k(后0),当随x的增大而增大时,确定点尸横坐标的取值范围(不必写
过程).
解:(1)•.•四边形A8CD是平行四边形,
:.AD=^BC,
,:B(4,1),C(4,4),
轴,AD=8C=3,
而A点坐标为(1,0),
...点。的坐标为(1,3).
•.•反比例函数丫=典(x>0)的函数图象经过点。(1,3),
x
•2_m
••J——,
1
A/n=3,
...反比例函数的解析式为),=旦;
X
(2)当尤=4时,y=kx+4-4k=42+4-4%=4,
,一•次函数丁=履+4-4A(厚0)的图象一定过点C;
(3)设点尸的横坐标为a,
二•一次函数y=fcr+4-4k(厚0)过C点,并且y随x的增大而增大时,
.,.k>0,P点的纵坐标要小于4,横坐标大于4,
当纵坐标小于4时,
.■.y,—_—3,
x
.•.旦,<4,解得:”>旦,
a4
则a的范围为°>1或4<旦.
4
4、小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x,y之间的关系时,得到如表数据:
x0.511.5234612
y126■321.510.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了,
(1)被墨水涂黑的数据为;
(2)y与x的函数关系式为,且y随尤的增大而;
(3)如图是小亮画出的y关于x的函数图象,点8、E均在该函数的图象上,其中矩形OA8C的面积记
为St,矩形OAE尸的面积记为S,请判断&与S2的大小关系,并说明理由;
(4)在(3)的条件下,OE交BC于点G,反比例函数)的图象经过点G交AB于点”,连接OG、
X
OH,则四边形OGBH的面积为
解:(1)从表格可以看出xy=6,
,墨水盖住的数据是6m.5=4;
故答案为4;
(2)由xy=6,得到y随x的增大而减少;
x
故答案为旷=2;减少;
x
(3)Si=OA・OC=&=6,Si=OD*OF=k=6,
S1=S2;
(4)TS四边形如小=。4・。5=6,OCG=-^OD*OG=-^X2=1,OCG=-^OA^OH=-^X2=1,
•**S四边形OG8〃=S四边形OC6A-SAOCG-SAOAH=6-I-1=4:
故答案为4;
5、如图,在平面直角坐标系中,四边形是平行四边形,点A、B在X轴上,点C、。在第二象限,
点M是BC中点.已知AB=6,AD=8,ND48=60。,点B的坐标为(-6,0).
图①图②
(1)求点C和点M的坐标;
(2)如图①,将口ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度,点D的对应点少和点M的对应点M恰好在
反比例函数了=区(x>0)的图象上,请求出〃的值以及这个反比例函数的表达式;
x
(3)如图②,在(2)的条件下,过点M,“作直线/,点P是直线/上的动点,点。是平面内任意一
点,若以夕,C,尸、。为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
解:(1):A8=6,点8的坐标为(-6,0),
.•.点A(-12,0),
如图1,过点力作轴于点D,
图1
则ED=ADsinZDAB=8x乎=4«,同理AE=4,
故点。(-8,473))则点C(-2,473)>
由中点公式得,点M(-4,273):
(2)图象向右平移了a个单位,则点D(a-8,4t)、点M(a-4,2«),
:点都在函数上,
(a-8)x4“=(a-4)x2加,
解得:4=12,
则上=(12-8)x4“=16«,
故反比例函数的表达式为=也巨;
X
(3)由(2)知,点W的坐标为(8,2«),点6、C的坐标分别为(6,0)、(10,
设点P(如2“),点Q(s,f);
①当夕(7是矩形的边时,如图2,求解的矩形为矩形B'C'PQ和矩形B'C'Q'P',
y
oA/
o
图2
过点C作CH,/交于点H,CH=4遥-2y=2«,
直线9C的倾斜角为60。,则NATPC=30。,P〃=C',?anNM7C=2料•J§=6,
故点P的坐标为(16,2小§),
由题意得:点P、。关于点C对称,由中点公式得,点。的坐标为(12,-4«);
同理点。、。'关于点M'对称,由中点公式得,点。’(4,673);
故点。的坐标为:(12,-4«)或(4,6;
②当夕C是矩形的对角线时,
V8'。的中点即为PQ的中点,且尸。=B'C,
"m+s=10+6'叫=1212=4
t+2V3=W3
解得:<Sj=4S2=12
(m-s)2+(t-2V3)2=42+(473)2
ti=2V3t2=2V3
故点。的坐标为(4,273)或(12,2加);
综上,点。的坐标为:(12,-4j§)或(4,6,§)或(4,2丁§)或(12,2“).
6、已知,在直角坐标系中,平行四边形0ABe的顶点A,C坐标分别为4(2,0),C(-1,2),反比例
函数丫=四的图象经过点8(,/0)
X
(1)求出反比例函数的解析式
(2)将n0ABe沿着x轴翻折,点C落在点。处,作出点。并判断点。是否在反比例函数、=旦的图象
x
上
(3)在x轴是否存在一点P使AOCP为等腰三角形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理
由.
解:(1)分别过点C、8作x轴的垂线,垂足分别为:E、F,
•四边形0ABe为平行四边形,则C0=A8,
ARtACOE丝RSBAF,:.AF=OE=1,
故点B(1,2),故m=2,
则反比例函数表达式为:y=2.
(2)翻折后点。的坐标为:(-1,-2),
(-1)•(-2)=2,
...£)在反比例函数y=处的图象上;
X
(3)当OP=OC时•,点P(土泥,0);
当。C=PC时,点尸(-2,0);
当。尸=PC时,设点P(w,0),
则m2+(〃?+1)2+4,解得:m=-2.5;
综上,点尸的坐标为:(士泥,0)或(-2,0)或(-2.5,0).
7^如图,四边形A8CQ是平行四边形,点A(1,0),(4,1),C(4,4).反比例函数(x>0)
X
的图象经过点。,点尸是一次函数y=fcv+4-4k(原0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)通过计算,说明一次函数),=&+4-4k(岫))的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=k"4-4Z(后0),当随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写
过程).
解:(1):四边形ABC。是平行四边形,
:.AD=BC,
\'B(4,1),C(4,4),
.•.8C_Lr轴,AO=BC=3,
而A点坐标为(1,0),
...点。的坐标为(1,3).
•••反比例函数丫=蚂G>0)的函数图象经过点。(1,3),
X
・・・3=手
团=3,
...反比例函数的解析式为y=3;
x
(2)当x=4时,y—kx+4-4k—4k+4-4k—4,
一次函数尸质+4-4k(原0)的图象一定过点C;
(3)设点尸的横坐标为。,
:一次函数丫=依+4-4k(原0)过C点,并旦y随x的增大而增大时,
:.k>0,P点的纵坐标要小于4,横坐标大于4,
当纵坐标小于4时,
.,.-<4,解得:
a4
则〃的范围为“>1或“vg.
4
8、如图,A为反比例函数y=K(其中x>0)图象上的一点,在x轴正半轴上有一点2,03=4.连接0A,
X
AB,且。A=AB.过点8作8CL0B,交反比例函数y=K(其中x>0)的图象于点C,连接0C交AB
X
于点。,则黑的值为.
解:过点A作轴,垂足为4,A”交0C于点M,如图,
,
:0A=AB1AH1.OB,
2
设OH=BH=a,则A(a,—),C(2a,鲁),
a2a
■:AH//BC,
1k
24a
J.AM^AH-MH=—--
a4a4a
':AM//BC,
•地=幽=3
••丽―而一亍
9、如图,点A(1,3)为双曲线■上的一点,连接A0并延长与双曲线在第三象限交于点8,M为y轴
正半轴上一点,连接M4并延长与双曲线交于点M连接3M、BN,已知△M2N的面积为斗,则点N
解:连接OM
•.•点4(1,3)为双曲线y=X上,
X
.\k=3,即:j=—:
x
由双曲线的对称性可知:。4=。乩
SAMBO=SAMAOfSANHO=SANAO,
・w_1_33
・・)△MON=—^QLBMN=--y
24
Q
设点M(0,m),N(n,—),
n
即,mn^—,①
242
设直线AM的关系式为y=fcr+。,将M(0,m)A(1,3)代入得,
b=m,k=3-m,
,直线AM的关系式为y=(3-/??)x+m,
把N(H,-)代入得,一=(3-m)x〃+〃?,②
由①和②解得,M=-|,
%9.32
当时,一=K,
2n3
:.N(―9,—2),
23
故答案为:(晟,.
乙0
10、如图,等边△OAB的边4B与y轴交于点C,点4是反比例函数>=且过(x>0)的图象上一点,且
x
BC=2AC,则等边△048的边长为.
解:设点A(a,刍返),等边三角形的边长为6,
a
过点A作x轴的平行线交y轴于点M,过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E,过点O作ONLAB
与点N,
则AN=^AB=2〃,ON=返儿
222
':AN-=—h,AC^—b,
23
CN=AN-AC=—b,
6
,:CM〃BE,
噂噜,艮嗑二机则心”,
b
,:ZOCN=ZACM=NABE,
•••△ONCSAAEB,
:.理■=里,即除b,b
杷EB4rM
解得:BE=®a
3
AB^AE?+BE1,则分二姆+紧;学足,
oo
:点4(a,且3,
a
=〃2+号=学42,
a3
解得:b=2被,
故答案为2^7-
11、如图,直线-1交y轴于点3,交x轴于点C,以BC为边的正方形A5C。的顶点A(-1,a)
9k
在双曲线丫=-三(x<0)上,。点在双曲线丫=羯(x>0)上,则攵的值为.
XX
9
解:VA(-1,a)在双曲线y=(xVO)上,
x
・二〃=2,
・"(-1,2),
'・•点B在直线y=mx-1上,
:.B(0,-1),
.,.48=7(-1-0)2+(-1-2)2="/10"
:四边形A8C。是正方形,
**•BC=AB=7]0,
设C(m0),
Vn2+12=V10,
-3(舍)或〃=3,
AC(3,0),
・・・点B向右平移3个单位,再向上平移1个单位,
・,・点。是点A向右平移3个单位,再向上平移1个单位,
工点、D(2,3),
・・,。点在双曲线丁=三(x>0)上,
;・左=2x3=6,
故答案为:6.
12、如图,己知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=K的图象上,作射线A8,再将射线
AB绕点A按逆时针方向旋转a度,tana=/,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为
解:如图,过B作BF_LAC于F,过F作尸。_Ly轴于。,过A作AE_LQF于E,
01]△AEFsAFDB,
1
.tana=—,
2
•BD_BFDF1
•'而次一蕊一=万,
.•.设则E尸=2a,
•.•点A(2,3)和点8(0,2),
:.DF=2-2a,OD=OB-BD=2-af
:.AE=2DF=4-4m
■:AE+OD=3,
A4-4a+2-〃=3,
解得a=?,
5
・47
T石)’
47k
设直线AF的解析式为y=kx+b,则彳可k+b一亏,解得4
2k+b=3b=i
T吟
♦.•点4在反比例函数y=上的图象上,
X
.6
••)'=一
x
9
*2或,
解方程组,可得
_6y=3_8
y=^-
9
:.C(--
43,
故答案为(号,.
TCO
13、如图,点A是双曲线),=一旦在第二象限分支上的一个动点,连接A。并延长交另一分支于点B,以AB
X
为底作等腰AABC且NACB=120。,点。在第一象限,随着点A的运动点。的位置也不断变化,但点
C始终在双曲线y=K上运动,则k的值为.
X
解:作AOLx轴于。,CELr轴于£连接0C,如图,
〈AB过原点,
,点A与点8关于原点对称,
:.OA=OB,
'.'△CAB为等腰三角形,
:•OC1.AB,
,ZACB=\20°f
:.ZCAB=30%
:・OA=^pC,
VZAOD+ZCOE=90°tNAOO+NOAO=9()。,
:.ZOAD=ZCOEf
:.RtAAODsRsOCE,
・'△AOD,0A、2/广、2o
••n------=%)2=32=3,
•iAOCEw
而SACMO=/X|-6|=3,
•*•SAOCE=1,
呜k1=1,
而k>0,
:.k=2.
14、以矩形0ABe的顶点。为坐标原点建立平面直角坐标系,使点A、C分别在x、y轴的正半轴上,双曲
线丫=三(x>0)的图象经过BC的中点。,且与AB交于点E,过0C边上一点凡把ABCF沿直线8尸
x
翻折,使点C落在矩形内部的一点C处,且Ce〃BC,若点C'的坐标为(2,4),则tan/CBF的值为
解:连接OD、0E.设BC=BC'=tn,则EC=m-2.
;CD=BD,
._k_1„
・・v)△CDO-中形46c。,
24
..k1
,*,SAAOE———SACDO="7S矩形AS。。,
24
:,AE=EB,
VC(2,4),
:.AE=EB=4,
在RSBEC中,'/BC^BU+ECJ
/.m2=42+(m-2)2,
m=5,
:.E(5,4),
:.B(5,8),则BC=5,
延长EC交y轴于G,则EGJ_y轴,
CG=2,CG=4,
2,2222
,在Rl△尸GC中,CF=C(?+FGf即(4-FG)=2+FG,
3
:.CF=4-—5
22
CF1
tanZCBF=—■
BC12
故答案是:
k
15、如图,正方形ABC。的边长为5,点A的坐标为(-4,0),点B在y轴上,若反比例函数(厚0)
x
的图象过点C,则该反比例函数的表达式为;
解:如图,过点C作CEJ_),轴于E,在正方形A8
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