2021年中考数学二轮复习 专题17 反比例函数中的平行四边形问题(解析版)

专题17反比例函数中的平行四边形问题

1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K(k六0)的图象过等边三角形80C的顶点8,OC=2,

x

点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.

(1)求反比例函数解析式；

(2)若四边形AC80的面积为3«,求点A的坐标.

解：(1)作8O_LOC于力，如图，

为等边三角形，

：.OD^CD=^-OC=\,

2

.•.8。=我。。=«,

：.B(-1,-加)，

把8(-1,-«)代入y=?得Z=-lx(-«)=«,

•••反比例函数解析式为？=乂3；

X

3

(2)设A(z,—),

t

•・・四边形ACBO的面积为3«,

解得/=方,

•••A点坐标为弓，2«).

2、如图，在平面直角坐标系中，四边形A8CD是平行四边形，点A、8在x轴上，点C、。在第二象限,

点例是8c中点.已知AB=6,AZ)=8,/D4B=60。，点B的坐标为(-6,0).

图①图②

(1)求点。和点例的坐标；

(2)如图①，将口ABC。沿着x轴向右平移a个单位长度，点。的对应点。和点M的对应点M"恰好在

反比例函数)，=KG>0)的图象上，请求出〃的值以及这个反比例函数的表达式；

x

(3)如图②，在(2)的条件下，过点W作直线/,点P是直线/上的动点，点。是平面内任意一

点，若以夕，C,P、。为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点。的坐标.

解：(1)：AB=6,点3的坐标为(-6,0),

二点4(-12,0),

如图1,过点D作DE±x轴于点D,

图1

则EO=4OsinN£M8=8x半=4近，同理AE=4,

故点0（-8,4晶），则点C（-2,4近），

由中点公式得，点M（-4,2«）；

（2）图象向右平移J'。个单位，则点。（a-8,4«）、点“（”-4,2«）,

•.•点。”都在函数上，

/.（a-8）x4“=（a-4）x2«,

解得：a=12,

则上=（12-8）x4我=16«,

故反比例函数的表达式为=也巨；

X

（3）由（2）知，点W的坐标为（8,2«）,点£、。的坐标分别为（6,0）、（10,4«）,

设点P（〃?，2立），点。（s,力：

①当夕。是矩形的边时，如图2,求解的矩形为矩形"C/Q和矩形"CQP,

过点C作CHLI交于点H,CH=4遥-2遥=2y，

直线的倾斜角为60。，则NM'PC=30。，PH=C'H^tanZM'PC=273,V3=6-

故点P的坐标为（16,273）,

由题意得：点P、。'关于点C对称，由中点公式得，点。的坐标为（12,-4«）；

同理点。、关于点W对称，由中点公式得，点。’（4,65/3）!

故点Q的坐标为：（12,-473）或（4，6«）；

②当夕C是矩形的对角线时,

,/夕C的中点即为PQ的中点,且PQ=B'C,

'm+s=10+6mi=12叱=4

t+2V3=W3,解得：-S[=4$2=12

(m-s)2+(t-2V3)2=42+(4\/3)2

%=2«t2=2V3

故点。的坐标为（4,2>/3）或（12,2«）；

综上，点。的坐标为：（12,-473）或（%6、/*或（4,2«）或（12,

3、如图，四边形ABCZ）是平行四边形，点A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）.反比例函数y=@（x>0）的

x

图象经过点。，点尸是一次函数>=丘+4-必（原0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点.

（1）求反比例函数的解析式;

（2）通过计算，说明一次函数），=&+4-4k（原0）的图象一定过点C；

（3）对于一次函数y=fcv+4-4k（后0）,当随x的增大而增大时，确定点尸横坐标的取值范围（不必写

过程）.

解：（1）•.•四边形A8CD是平行四边形，

：.AD=^BC,

,:B（4,1）,C（4,4）,

轴，AD=8C=3,

而A点坐标为（1,0）,

...点。的坐标为（1,3）.

•.•反比例函数丫=典（x>0）的函数图象经过点。（1,3）,

x

•2_m

••J——,

1

A/n=3,

...反比例函数的解析式为），=旦；

X

（2）当尤=4时，y=kx+4-4k=42+4-4%=4,

，一•次函数丁=履+4-4A（厚0）的图象一定过点C；

(3)设点尸的横坐标为a,

二•一次函数y=fcr+4-4k(厚0)过C点，并且y随x的增大而增大时,

.,.k>0,P点的纵坐标要小于4,横坐标大于4,

当纵坐标小于4时，

.■.y,—_—3,

x

.•.旦,<4,解得：”>旦，

a4

则a的范围为°>1或4<旦.

4

4、小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x,y之间的关系时，得到如表数据：

x0.511.5234612

y126■321.510.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了，

(1)被墨水涂黑的数据为；

(2)y与x的函数关系式为,且y随尤的增大而；

(3)如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点8、E均在该函数的图象上，其中矩形OA8C的面积记

为St,矩形OAE尸的面积记为S,请判断&与S2的大小关系，并说明理由；

(4)在(3)的条件下，OE交BC于点G,反比例函数)的图象经过点G交AB于点”，连接OG、

X

OH,则四边形OGBH的面积为

解：(1)从表格可以看出xy=6,

，墨水盖住的数据是6m.5=4；

故答案为4；

(2)由xy=6,得到y随x的增大而减少；

x

故答案为旷=2；减少；

x

(3)Si=OA・OC=&=6,Si=OD*OF=k=6,

S1=S2；

(4)TS四边形如小=。4・。5=6,OCG=-^OD*OG=-^X2=1,OCG=-^OA^OH=-^X2=1,

•**S四边形OG8〃=S四边形OC6A-SAOCG-SAOAH=6-I-1=4：

故答案为4；

5、如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点A、B在X轴上，点C、。在第二象限,

点M是BC中点.已知AB=6,AD=8,ND48=60。，点B的坐标为（-6,0）.

图①图②

(1)求点C和点M的坐标；

(2)如图①，将口ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点少和点M的对应点M恰好在

反比例函数了=区(x>0)的图象上，请求出〃的值以及这个反比例函数的表达式；

x

(3)如图②，在(2)的条件下，过点M,“作直线/，点P是直线/上的动点，点。是平面内任意一

点，若以夕，C,尸、。为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.

解:(1)：A8=6,点8的坐标为(-6,0),

.•.点A(-12,0),

如图1,过点力作轴于点D,

图1

则ED=ADsinZDAB=8x乎=4«,同理AE=4,

故点。(-8,473))则点C(-2,473)>

由中点公式得，点M(-4,273):

(2)图象向右平移了a个单位，则点D(a-8,4t)、点M(a-4,2«),

:点都在函数上，

(a-8)x4“=(a-4)x2加,

解得：4=12,

则上=(12-8)x4“=16«,

故反比例函数的表达式为=也巨;

X

（3）由（2）知，点W的坐标为（8,2«）,点6、C的坐标分别为（6,0）、（10,

设点P（如2“），点Q（s,f）；

①当夕（7是矩形的边时，如图2,求解的矩形为矩形B'C'PQ和矩形B'C'Q'P',

y

oA/

o

图2

过点C作CH，/交于点H,CH=4遥-2y=2«,

直线9C的倾斜角为60。，则NATPC=30。，P〃=C'，?anNM7C=2料•J§=6,

故点P的坐标为（16,2小§），

由题意得：点P、。关于点C对称，由中点公式得，点。的坐标为（12,-4«）；

同理点。、。'关于点M'对称，由中点公式得，点。’（4,673）；

故点。的坐标为：（12,-4«）或（4,6；

②当夕C是矩形的对角线时,

V8'。的中点即为PQ的中点，且尸。=B'C,

"m+s=10+6'叫=1212=4

t+2V3=W3

解得：＜Sj=4S2=12

(m-s)2+(t-2V3)2=42+(473)2

ti=2V3t2=2V3

故点。的坐标为（4,273）或（12,2加）；

综上，点。的坐标为：(12,-4j§)或(4,6，§)或(4,2丁§)或(12,2“).

6、已知，在直角坐标系中，平行四边形0ABe的顶点A,C坐标分别为4(2,0),C(-1,2),反比例

函数丫=四的图象经过点8(，/0)

X

(1)求出反比例函数的解析式

(2)将n0ABe沿着x轴翻折，点C落在点。处，作出点。并判断点。是否在反比例函数、=旦的图象

x

上

(3)在x轴是否存在一点P使AOCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

解：(1)分别过点C、8作x轴的垂线，垂足分别为：E、F,

•四边形0ABe为平行四边形，则C0=A8,

ARtACOE丝RSBAF,：.AF=OE=1,

故点B(1,2),故m=2,

则反比例函数表达式为：y=2.

（2）翻折后点。的坐标为：（-1,-2）,

(-1)•(-2)=2,

...£）在反比例函数y=处的图象上；

X

（3）当OP=OC时•，点P（土泥，0）；

当。C=PC时，点尸（-2,0）；

当。尸=PC时，设点P（w,0）,

则m2+（〃?+1）2+4,解得：m=-2.5；

综上，点尸的坐标为：（士泥，0）或（-2,0）或（-2.5,0）.

7^如图，四边形A8CQ是平行四边形，点A（1,0）,（4,1）,C（4,4）.反比例函数（x>0）

X

的图象经过点。，点尸是一次函数y=fcv+4-4k（原0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）通过计算，说明一次函数），=&+4-4k（岫））的图象一定过点C；

（3）对于一次函数y=k"4-4Z（后0）,当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写

过程）.

解：（1）：四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,

\'B（4,1）,C（4,4）,

.•.8C_Lr轴，AO=BC=3,

而A点坐标为（1，0）,

...点。的坐标为（1,3）.

•••反比例函数丫=蚂G>0）的函数图象经过点。（1,3）,

X

・・・3=手

团=3,

...反比例函数的解析式为y=3；

x

（2）当x=4时，y—kx+4-4k—4k+4-4k—4,

一次函数尸质+4-4k（原0）的图象一定过点C；

（3）设点尸的横坐标为。，

:一次函数丫=依+4-4k（原0）过C点，并旦y随x的增大而增大时,

：.k>0,P点的纵坐标要小于4,横坐标大于4,

当纵坐标小于4时,

.,.-<4,解得：

a4

则〃的范围为“>1或“vg.

4

8、如图，A为反比例函数y=K（其中x>0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点2,03=4.连接0A,

X

AB,且。A=AB.过点8作8CL0B,交反比例函数y=K（其中x>0）的图象于点C,连接0C交AB

X

于点。，则黑的值为.

解：过点A作轴，垂足为4,A”交0C于点M,如图,

，

：0A=AB1AH1.OB,

2

设OH=BH=a,则A(a,—),C(2a,鲁),

a2a

■:AH//BC,

1k

24a

J.AM^AH-MH=—--

a4a4a

'：AM//BC,

•地=幽=3

••丽―而一亍

9、如图，点A(1,3)为双曲线■上的一点，连接A0并延长与双曲线在第三象限交于点8,M为y轴

正半轴上一点，连接M4并延长与双曲线交于点M连接3M、BN,已知△M2N的面积为斗，则点N

解：连接OM

•.•点4(1,3)为双曲线y=X上，

X

.\k=3,即：j=—：

x

由双曲线的对称性可知：。4=。乩

SAMBO=SAMAOfSANHO=SANAO,

・w_1_33

・・)△MON=—^QLBMN=--y

24

Q

设点M(0,m),N(n,—),

n

即，mn^—,①

242

设直线AM的关系式为y=fcr+。，将M(0,m)A(1,3)代入得,

b=m,k=3-m,

，直线AM的关系式为y=(3-/??)x+m,

把N(H,-)代入得,一=(3-m)x〃+〃?,②

由①和②解得，M=-|,

%9.32

当时，一=K，

2n3

：.N(―9,—2),

23

故答案为：(晟，.

乙0

10、如图，等边△OAB的边4B与y轴交于点C,点4是反比例函数>=且过(x>0)的图象上一点，且

x

BC=2AC,则等边△048的边长为.

解：设点A(a,刍返)，等边三角形的边长为6,

a

过点A作x轴的平行线交y轴于点M,过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E,过点O作ONLAB

与点N,

则AN=^AB=2〃，ON=返儿

222

'：AN-=—h,AC^—b,

23

CN=AN-AC=—b,

6

，：CM〃BE,

噂噜,艮嗑二机则心”,

b

,:ZOCN=ZACM=NABE,

•••△ONCSAAEB,

:.理■=里,即除b，b

杷EB4rM

解得：BE=®a

3

AB^AE?+BE1,则分二姆+紧;学足,

oo

:点4(a,且3,

a

=〃2+号=学42,

a3

解得：b=2被,

故答案为2^7-

11、如图，直线-1交y轴于点3,交x轴于点C,以BC为边的正方形A5C。的顶点A(-1,a)

9k

在双曲线丫=-三(x<0)上，。点在双曲线丫=羯(x>0)上，则攵的值为.

XX

9

解：VA(-1,a)在双曲线y=(xVO)上，

x

・二〃=2,

・"(-1,2),

'・•点B在直线y=mx-1上，

：.B(0,-1),

.,.48=7(-1-0)2+(-1-2)2="/10"

:四边形A8C。是正方形，

**•BC=AB=7]0,

设C(m0),

Vn2+12=V10，

-3(舍)或〃=3,

AC(3,0),

・・・点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，

・,・点。是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位,

工点、D(2,3),

・・,。点在双曲线丁=三(x>0)上,

；・左=2x3=6,

故答案为：6.

12、如图，己知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=K的图象上，作射线A8,再将射线

AB绕点A按逆时针方向旋转a度，tana=/,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为

解：如图，过B作BF_LAC于F,过F作尸。_Ly轴于。，过A作AE_LQF于E,

01]△AEFsAFDB,

1

.tana=—,

2

•BD_BFDF1

•'而次一蕊一=万，

.•.设则E尸=2a,

•.•点A(2,3)和点8(0,2),

：.DF=2-2a,OD=OB-BD=2-af

：.AE=2DF=4-4m

■:AE+OD=3,

A4-4a+2-〃=3,

解得a=?，

5

・47

T石)’

47k

设直线AF的解析式为y=kx+b,则彳可k+b一亏,解得4

2k+b=3b=i

T吟

♦.•点4在反比例函数y=上的图象上,

X

.6

••)'=一

x

9

*2或,

解方程组,可得

_6y=3_8

y=^-

9

：.C(--

43,

故答案为（号,.

TCO

13、如图，点A是双曲线），=一旦在第二象限分支上的一个动点，连接A。并延长交另一分支于点B,以AB

X

为底作等腰AABC且NACB=120。，点。在第一象限，随着点A的运动点。的位置也不断变化，但点

C始终在双曲线y=K上运动，则k的值为.

X

解：作AOLx轴于。，CELr轴于£连接0C,如图,

〈AB过原点,

，点A与点8关于原点对称,

：.OA=OB,

'.'△CAB为等腰三角形,

：•OC1.AB,

，ZACB=\20°f

：.ZCAB=30%

：・OA=^pC,

VZAOD+ZCOE=90°tNAOO+NOAO=9()。,

：.ZOAD=ZCOEf

：.RtAAODsRsOCE,

・'△AOD,0A、2/广、2o

••n------=%)2=32=3,

•iAOCEw

而SACMO=/X|-6|=3,

•*•SAOCE=1,

呜k1=1,

而k>0,

：.k=2.

14、以矩形0ABe的顶点。为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲

线丫=三(x>0)的图象经过BC的中点。，且与AB交于点E,过0C边上一点凡把ABCF沿直线8尸

x

翻折，使点C落在矩形内部的一点C处，且Ce〃BC,若点C'的坐标为(2,4),则tan/CBF的值为

解：连接OD、0E.设BC=BC'=tn,则EC=m-2.

;CD=BD,

._k_1„

・・v)△CDO-中形46c。，

24

..k1

,*,SAAOE———SACDO="7S矩形AS。。,

24

:,AE=EB,

VC(2,4),

:.AE=EB=4,

在RSBEC中,'/BC^BU+ECJ

/.m2=42+(m-2)2,

m=5,

：.E(5,4),

:.B(5,8),则BC=5,

延长EC交y轴于G,则EGJ_y轴，

CG=2,CG=4,

2,2222

，在Rl△尸GC中，CF=C(?+FGf即(4-FG)=2+FG,

3

：.CF=4-—5

22

CF1

tanZCBF=—■

BC12

故答案是：

k

15、如图，正方形ABC。的边长为5,点A的坐标为（-4,0）,点B在y轴上，若反比例函数（厚0）

x

的图象过点C,则该反比例函数的表达式为;

解：如图，过点C作CEJ_），轴于E,在正方形A8