江苏省2023届高三上学期大联考数学试卷 附答案

2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C.或 D.或【答案】D2.设复数的共轭复数为，已知，则（）A.7 B.5 C.3 D.【答案】B3.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球仰角为，而湖中气球倒影的俯角为，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A. B. C. D.【答案】C5.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A6.把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象.若的图象关于直线对称，则函数的最小值为（）A. B. C. D.0【答案】A7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A8.设函数，的最小值为，则的最大值为（）A. B.0 C.1 D.【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD10.已知函数的最大值为2，且，则（）A.B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.将的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到的图象【答案】AC11.已知，，，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】BC12.19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（）A.B.C.若有理数，，则D.存在三个点，，，使得为正三角形【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在点（，2）处的切线方程是________．【答案】14.若，则_______．【答案】15.在锐角中，内角所对的边分别为．若，，则的取值范围为_____________；的最大值为__________．【答案】①.②.##16.已知函数，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设．若在上恒成立，则实数a的取值范围为_____【答案】四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数．（1）若，求在上的零点；（2）求函数的最大值．【答案】（1）（2）当时，；当时，【小问1】解：若，，令，解得（舍去），又因，所以，所以在上零点为；【小问2】解：令，则，当时，，则，当时，函数的对称轴为，若，则在上递减，所以，若，即时，，若，即时，，综上所述，当时，；当时，.18.已知函数．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切；（2）记（1）中两条切线为，，设，与曲线异于原点的公共点分别为．若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1】证明：，设过原点的直线与曲线相切于点，则，整理得，即或；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切.【小问2】当时，，由（1）知切点为，；两条切线方程分别为：，即；联立方程，得和（舍），可得；同理可求，，，，所以.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，，点在边上，．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【小问1】解：在中，由，得，在中，由，得，则，因为，所以，又，所以，因为，所以，所以；【小问2】解：在中，，，即，解得（舍去），在中，，则，所以，即.20.在中，，点，分别在，边上．（1）若，，求面积的最大值；（2）设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．【答案】（1）（2）【小问1】由已知，在中，利用余弦定理知，结合基本不等式有，当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，所以面积的最大值为【小问2】四边形存在外接圆，又，，，，所以四边形为等腰梯形，连接，设，，在中，由正弦定理得，，，同理，在中，由正弦定理得，，所以，，，当且仅当，即，，当且仅当时，等号成立，即，即21.已知，函数．（1）证明存在唯一极大值点；（2）若存在，使得对任意成立，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1】函数，求导，令，则又，，在上单调递减，当时，，当时，，故存在，使得当，，故函数在上单调递增，当，，故函数在上单调递减，所以存在唯一极大值点；【小问2】由题知，存在，使得对任意成立，即存在，使得对任意成立，由（1）知，，且，即，即存在，使得恒成立，构造，即存在，使得恒成立，即存在，对任意恒成立，求导令，求得，，即，，当，，故函数在上单调递增，当，，故函数在上单调递减，当，，故函数在上单调递增，所以，由时，，因为，所以，即，则在上恒成立，所以的取值范围是.22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，是函数的两个零点，证明：．【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）详见解析【小问1】由，得，，当时，，在上单调递减；当时，，由时，，在上单调递增，由时，，在上单调递减，综上所述，当时，在上