辽宁省2023-2024学年高一数学上学期期中试卷（含答案）

辽宁省2023-2024学年高一数学上学期期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（）A．{1，3} B．{1，2，3}C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}2．命题“∃x∈R，−1<xA．∀x∈R，−1<x3≤4 B．∃x∈R，C．∃x∉R，−1<x3≤4 D．∀x∈R，3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，即D(x)=1，x∈Q0，x∈∁A．3 B．2 C．1 D．04．函数f(x)=|x−1|+1的部分图象大致是（）A． B．C． D．5．已知函数f(x)=−x2A．[−3，1] B．[0，3] C．[−5，1] D．[0，5]6．已知关于x的不等式ax2−bx+1>0的解集为(−∞，2mA．4 B．22 C．2 7．已知实数a，b，则“ab≥0”是“a+b≥2abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x)<0的x的取值范围是（）A．(−∞，−2)∪(2，+∞) B．(0，2)∪(2，+∞)C．(−2，0)∪(2，+∞) D．(−∞，−2)∪(0，2)二、多选题9．已知a>b>0>c，则（）A．b2<ab B．1a<1b10．下列函数中最小值为2的是（）A．y=x+1x C．y=x2+411．具有f(1A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=12．已知a+b=4，若定义域为R的f(x)满足f(x+2)为奇函数，且对任意x1，x2∈[2，+∞)A．f(x)的图象关于点(−2，0)对称B．f(x)在R上单调递增C．f(a)+f(b)=4D．关于x的不等式f(a)+f(b)+f(x)<0的解集为(−∞，2)三、填空题13．集合A={(x，y)|y=1−x}，B={(x，y)|x2+y214．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)：．①∀x1，x2，f(x15．已知x=−a是函数f(x)=ax+b的一个零点，且∃x∈(0，+∞)，f(x)>x，则a16．已知正实数a，b，c满足a2+ab+b2−c=0，则当ab四、解答题17．已知集合A={x|a−3≤x≤3a+2}，B={x|x（1）当a=0时，求A∪B，A∩(∁（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．18．已知命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，命题q：∃x∈[−2，1]（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．19．在①使“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，②使“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R(x1请写出一个非空集合B，____________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x（1）求f(x)在(−∞，0)上的解析式；（2）用定义法证明f(x)在[0，+∞)上单调递增；（3）求不等式f(1−x)<f(x)的解集．21．在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为t1；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为t2；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为t3，制动距离为d．已知t3和d的大小取决于制动时汽车时速v（单位：m/s）和汽车的类型，且d=3v22k，t3（1）已知某汽车刹车时的对应参数k=60，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离；（2）若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足30≤k≤60，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？22．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)−x2−x（1）求f(x)的解析式；（2）已知a≠0，对任意的x∈R，x+1≤ax2+bx+c≤f(x)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}。故答案为：C

【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。2．【答案】D【解析】【解答】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，−1<x3≤4”的否定形式是∀x∈R，x故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题“∃x∈R，−1<x3．【答案】C【解析】【解答】根据“狄利克雷函数”的定义，知D(0)=1，D(π)=0，则D(2所以，D(2故答案为：C.

【分析】根据“狄利克雷函数”的定义得出函数的值，进而得出D(24．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(x)=|x−1|+1=x，x≥12−x，x<1，且f(0)=|0−1|+1=2，故符合题意的只有A.故答案为：A

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，从而将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，从而找出函数f(x)的部分大致图象。5．【答案】D【解析】【解答】f(x)=−x2−3x+4，函数定义域满足故函数g(x)=f(1−x)的定义域满足：−4≤1−x≤1，解得0≤x≤5。故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和一元二次不等式求解集的方法，进而得出函数f(x)的定义域，再利用换元法得出函数g(x)的定义域。6．【答案】C【解析】【解答】由题意关于x的不等式ax2−bx+1>0的解集为(−∞，可知a>0，且2m，m为ax即2m+m=b所以b+1m=故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和韦达定理，进而得出a=12，b=7．【答案】B【解析】【解答】因为a+b≥2ab等价于(所以a≥0，b≥0，所以“ab≥0”是“a+b≥2ab故答案为：B

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ab≥0”是“a+b≥2ab8．【答案】A【解析】【解答】定义在R上的奇函数f(x)在(−∞，0)上单调递减，故函数在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=0，故f(−2)=−f(2)=0，函数在(−2，0)和(2，+∞)上满足f(x)<0，在(−∞，−2)和(0，2)上满足f(x)>0.xf(x)<0，当x<0时，f(x)>0，即x∈(−∞，−2)；当x>0时，f(x)<0，即x∈(2，+∞)，综上所述：x∈(−∞，−2)∪(2，+∞)。故答案为：A

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，进而得出满足xf(x)<0的x的取值范围。9．【答案】A,B,C【解析】【解答】因为a>b>0，不等式两边同时乘以b可得：ab>b因为a>b>0，所以1ab>0，不等式两边同时乘以1ab因为a>b>0，所以3a>2b，C符合题意；因为a>b>0且c<0，不等式的两边同时乘以1c可得：a故答案为：ABC.

【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出正确的选项。10．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，当x<0时，y=x+1对于B，y=x当且仅当x22=所以y=x对于C，y=x当且仅当x2+4=又因为x2+4≥4，所以对于D，y=2x当x=1时，函数取得最小值2，D符合题意.故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和二次函数的图象求最值的方法，进而找出最小值为2的函数。11．【答案】A,B,D【解析】【解答】f(x)=1−x1+x，则f(x)=1−x2f(x)=x2+1当0<x<1时，f(x)=x，1x>1，故当x=1时，f(x)=0，f(1x)=0当x>1时，f(x)=−1x，0<1故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合“倒负”变换的函数的定义，进而找出满足“倒负”变换的函数。12．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，因为f(x+2)为奇函数，则其图象关于原点对称，将其图象向右平移2个单位可得f(x)的图象，所以f(x)的图象关于(2，0)对称，A不符合题意；对于B，对任意x1，x2∈[2，+∞)所以x2>x1时，f(x即f(x)在[2，+∞)上单调递增，因为f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在(−∞，2]上单调递增，因为定义域为R的f(x+2)为奇函数，所以f(2)=0，所以f(x)在R上单调递增，B符合题意；对于C，因为a+b=4，所以a+b2=2，即(a，f(a))，(b，f(b))关于(2，0)对称，所以对于D，因为f(a)+f(b)=0，所以关于x的不等式f(a)+f(b)+f(x)<0，即求f(x)<0，因为f(x)在R上单调递增，f(2)=0，所以只需x<2，D符合题意.故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合奇函数的图象的对称性和图象的平移变换，得出函数f(x)的图象关于(2，0)对称；再利用增函数的定义判断出函数f(x)在R上为增函数；再结合a+b=4，所以a+b2=2，即(a，f(a))，(b，f(b))关于(2，0)对称，所以f(a)+f(b)=0；利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的性质，进而得出关于x的不等式13．【答案】4【解析】【解答】联立y=1−xx2+y2所以集合A∩B中有2个元素，所以集合A∩B的子集个数为4个。故答案为：4。

【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，再联立直线的方程与圆的方程得出交点坐标，进而得出集合A∩B中的元素的个数，再利用子集的定义得出集合A∩B的子集的个数。14．【答案】f(x)=−x（不唯一）【解析】【解答】当f(x)=−x时，f(x所以f(x1+故答案为：f(x)=−x（不唯一）。

【分析】利用已知条件结合函数的解析式和代入法，再利用减函数的定义，进而找出满足要求的函数。15．【答案】(−【解析】【解答】由题意得：a−a+b=0，解得：故f(x)=a∃x∈(0，+∞)，f(x)>x，即ax+1−x>0在即a>x2−x因为y=x所以当x=12时，所以a>−1所以a的取值范围是(−1故答案为：(−1

【分析】利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，再利用特称命题的求解方法，进而得出实数a的取值范围。16．【答案】3【解析】【解答】由a2+ab+b所以abc其中ab+ba≥2ab故abc≤13，此时c=a2+ab+所以a+2b−c=a+2a−3a故当a=12，b=12故答案为：34

【分析】由a2+ab+b2−c=0，得c=a2+ab+b2，所以17．【答案】（1）解：当a=0时，A={x|−3≤x≤2}，B={x|x故A∪B={x|−3≤x≤4}，∁RB={x|x<−2或x>4}，故（2）解：A∩B=B，故A⊇B，需满足a−3≤3a+23a+2≥4a−3≤−2，解得23【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合A，再利用一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用并集、交集和补集的运算法则，进而得出集合A∪B和集合A∩(∁RB)。

（2）利用A∩B=B18．【答案】（1）解：由题意命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，当a=0当a≠0时，命题p为真命题，则需满足a>0Δ=64−4a2（2）解：由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为a≥4；命题q：∃x∈[−2，1]，x−a+1>0为真时，则a<(x+1)当命题p真而命题q假时，a≥4且a≥2，故a≥4；当命题p假而命题q真时，a<4且a<2，故a<2；当命题p和命题q都真时，a≥4且a<2，则a∈∅，故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为a≥4或a<2.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合全称命题为真命题的判断方法，进而得出实数a的取值范围。

（2）利用已知条件结合复合命题真假性判断方法，再结合分类讨论的方法得出实数a的取值范围。19．【答案】解：由题意可知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，

则f(x)为单调递增函数，令函数g(x)=f(x)+3x−4，

则该函数也单调递增，由f(x)+3x−4<0，

因为f(1)=1【解析】【分析】利用已知条件结合增函数的定义，进而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性和充分条件、必要条件的判断方法，进而得出满足要求的非空集合B。20．【答案】（1）解：当x∈(−∞，0)时，−x>0，则f(x)=f(−x)=−x故当x∈(−∞，0)时，f(x)=x（2）证明：设x2>x(x2+1)(x1+1)>0，函数在[0，+∞)上单调递增.（3）解：函数为偶函数，在[0，+∞)上单调递增，故在(−∞，0)上单调递减，f(1−x)<f(x)，故|1−x|<|x|，平方得到x>12，不等式的解集为【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数定义和转化的方法，进而得出函数f(x)在(−∞，0)上的解析式。

（2）利用已知条件结合增函数的定义，进而判断出函数f(x)在[0，+∞)上单调递