1.5.1、1.5.2 全称量词与存在量词 全称量词命题和存在量词命题的否定（课件）

集合与常用逻辑用语第一章1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定1.5全称量词与存在量词课程标准学科素养1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养栏目索引课前自主预习课堂互动探究随堂本课小结课前自主预习(1)短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．(2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：________________________.所有的知识点1全称量词和全称量词命题任意一个∀

∀x∈M，p(x)

[微体验]1．思考辨析(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(

)(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．(

)(3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．(

)答案(1)√

(2)√

(3)×2．下列命题中，不是全称量词命题的是(

)A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案D

解析A，B，C都是全称命题，D是特称命题．(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：________________________.知识点2存在量词和存在量词命题存在一个至少有一个∃

∃x∈M，p(x)

[微体验]1．思考辨析(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．(

)(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(

)(3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．(

)答案(1)×

(2)√

(3)√2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(

)A．2个 B．3个C．4个 D．5个答案C

解析“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．(1)全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”．通常，用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”．(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，________________.也就是说，全称量词命题的否定是______________命题．知识点3全称量词命题和存在量词命题的否定¬p(x)

存在量词(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，________________.也就是说，存在量词命题的否定是______________命题．¬p(x)

全称量词[微体验]1．思考辨析(1)命题¬p的否定是p.(

)(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(

)(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(

)答案(1)√

(2)√

(3)√2．若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题¬p为(

)A．∃x＞0，x2－3x＋2≤0

B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0C．∀x＞0，x2－3x＋2≤0

D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0答案C

解析命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x＞0，x2－3x＋2≤0.3．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么¬p是__________．解析命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x＞2，x3－8≤0.答案∃x＞2，x3－8≤0

(1)下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0

B．1

C．2

D．3课堂互动探究探究一全称量词命题和存在量词命题的判定答案C

解析观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题．(2)下列语句不是存在量词命题的是(

)A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数答案C

解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．[方法总结]判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路

(多选题)下面的命题中正确的是(

)A．∀x∈R，x2＋2＞0

B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3＜1

D．∃x∈Q，x2＝3答案AC

解析对A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．探究二全称量词命题和存在量词命题的真假判断[方法总结]全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练2]判断下列命题的真假．(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∃x∈R，x2－x＋1＝0；(4)∀x∈R，|x＋1|＞0.解

(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，∴该命题是真命题．(2)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，∴方程有两个不相等的实根．∴该命题是真命题．(3)∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，∴x2－x＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题．(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题．探究三全称量词命题和存在量词命题的否定[方法总结]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，