2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课-与三角形有关的角（解析版）

（难）2021-2022学年人教版八年级数学期末压轴课

与三角形有关的角（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.（2021•江苏工业园区•七年级月考）如图，将AABC沿r）E、EF翻折，顶点A,B均

落在点。处，且E4与EB重合于线段EO,若NCDO+NCFO=UO。，则NC的度数为

【答案】35°.

【分析】

由折叠得/A=/OOE,NB=NFOE,可得四边形内角和可得

360O-ZDOF+ZCDO+ZC+ZCFG>=360°,由NCDO+NCFO=110°,可得

ZA+ZB=110°+ZC由三角形内角和可得/A+NB=18（r-NC,构造方程

180°-ZC=110°+ZC,解方程即可.

【详解】

解：由折叠得NB=NFOE,

：.NDOF=NDOE+NFOE=NA+NB,

：.360°-ZDOF+ZCDO+ZC+ZCFO=360°,

,?ZCDO+ZCFO=UO0,

N4+N8=NCDO+ZC+ZCFO=I1O°+ZC,

又•.•NA+NB=180°-NC,

.•.180°-ZC=U00+ZC,

.♦.NC=35。，

故答案为35。.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理、折叠性质，四边形内角和与一元一次方程等知识，解题的

关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型.

2.（2021•全国）如图，在AABC中，N4CB=90。，ZA<ZB,点。为A8边上一点

且不与A.B重合，将△AQ?沿CD翻折得到△ECD,直线CE与直线AB相交于点F.若

NA=40。，当AOEF为等腰三角形时，ZACD=.

【答案】30。或15。或60。

【分析】

若AOE尸为等腰三角形，分EF=DF,ED=EF,OE=EF三种情况，利用等腰三角形的性

质和三角形内角和定理分别求解.

【详解】

解：由翻折的性质可知NE=/A=a,NCDE=NADC,

如图1,

当E尸=OF时，则NEOF=NE=a,

,/ZEDF=ZCDE-ZCDB,ZCDB=ZA+ZACD,

：.a^ZADC-(4+/AC。)

=180°-2(Z4+ZACD)

=180°-2(a+NAC£)),

3

ZACD=90°--x40°=30°,

2

当/AC£>=30。时，△DEF为等腰三角形，

1OAO_/[)FF

当ED二EF时，ZEDF=ZEFD=---------------=70°,

・•・2ZADC=180。+ZEDF=250°,

:.ZADC=125°,

；・ZACD=180°-ZA-ZADC=180°-N4-125。=15。,

•/ZDFE=ZA+ZACFf

，NDFE丰NDEF,

如图2,

如图2

当DE=EF时，ZEDF=ZEFD=JZA=20°；

ZACF=\80°-ZA-ZEFD=120°,

ZACD=^/4CF=60。；

综上：当/ACO=30。或15。或60。时，△£>£：尸为等腰三角形，

故答案为:30。或15。或60。.

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知

识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理.

3.(2021•浙江)如图，已知“A3C中，ZA=a,如图：设/8、NC的两条三等分角线

分别对应交于q，Q则NBOzC=；请你猜想，当4、NC同时〃等分时，(〃-1)条

等分角线分别对应交于《、乌，…,Q,,则NBO,iC=(用含〃和。的代数式表示).

【答案】60。+2a鱼。£+幽

3nn

【分析】

根据三角形的内角和等于180。用a表示出(NA8C+NACB),再根据三等分的定义求出

(NOZBC+NOKB),在AaBc中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据

三角形的内角和等于180。用a表示出(/A8C+/ACB),再根据〃等分的定义求出

(NOUBC+NOMCB),在△。“.由C中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解.

【详解】

解：在AABC中，VZA=a,

:.ZABC+ZACB=\SO°-af

♦.・。23和02c分别是NB、NC的三等分线，

222

：./0迎+/02cB=-CZABC+ZACB)=-(180°-a)=120°--a；

333

22

AZBO2C=1800-CZO2BC+ZO2CB)=180°-(120°-ya)=60°+ya；

在AABC中，VZA=af

：.ZABC+ZACB=]SO0-a,

・・・a-B和OzC分别是NB、zc的〃等分线，

AAOfl-\BC+AOn-\CB=^~(ZABC+ZACB)=^~(180。-。)JOp-l)_,

nnnn

ZBO,MC=180°-(NOZBC+NOMCB)=180°-(180。(〃-1)_("fa)=(n-l)«+180^,

nnnn

故答案为：60。+算，①乂+幽.

3nn

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，“等分线的定义,

整体思想的利用是解题的关键.

4.(2021•全国七年级专题练习)如图，已知AB//CD,点E在两平行线之间，连接8E,

CE,N4BE的平分线与4EC的平分线的反向延长线交于点尸，若ZBFE=50。，则NC

的度数是_________

【答案】80。

【分析】

延长FE,交CD于G,过点F作FH〃AB,则FH〃CD,设/ABF=NEBF=x,

/BEG=/CEG=y,根据外角的性质得出/BEG=/BFE+/EBF,即y=5(T+x,再推出

NBFG=NABF+NCGF,得到NC=130°+x-y,结合y=50°+x,得出结果.

【详解】

解：延长FE,交CD于G,过点F作FH〃AB,则FH〃CD,

VBF和EG分别平分NABE和交BEC,

.,.设NABF=NEBF=x,ZBEG=ZCEG=y,

,/ZBEG=ZBFE+ZEBF,ZBFE=50°,

y=50°+x,

由平行可得：/ABF=NBFH=x,/CGF=/HFG,

ZBFG=ZABF+ZCGF,

贝ijx+ZCGF=50°,

VZC=180°-ZCEG-ZCGF=180°-y-(50°-x)=130°+x-y,

将y=50°+x代入，

!)ll]ZC=130°+x-(50°+x)=80。.

故答案为：80°.

【点睛】

本题考查平行线的性质和外角的性质以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

5.（2021•辽宁鞍山•七年级月考）如图，已知，把一张长方形纸片A8C。沿EF折叠后功

与8c的交点为G,D、C分别在“、N的位置上.

有以下结论：Q）EF平分乙MED；②N2=2Z3；③Nl+gz3=90。；④Nl+2N3=180°.其

中一定正确的结论有.（填序号）

【答案】①②④

【分析】

①根据折叠的性质即可求解；②根据长方形的性质和角平分线的性质可得=,

再根据三角形外角的性质即可求解；③无法得到Nl+g23=90。；④根据平角的定义即

可求解.

【详解】

解：①由折叠的性质可得EF平分NMED,故①正确；

②四边形ABC。是平行四边形，

/.AD//BC,

:.ZDEF=Z3,

•.•EF平分NMED,

:.ZDEF=ZMEF,

•.•N2=Z3+ZMEF,

Z2=2Z3,故②正确；

③Nl+g/3=90。，故③错误；

®-：ZDEF=Z3,=ZMEF,ZD£F+ZAffiF+Zl=18O°,

.•.Z1+2Z3=180°,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

6.（2021•安徽太和•八年级期末）如图，已知4。河=30。,乙钻〃=60。，点尸是射线8M

上一动点（尸不与8重合），当NOAP=时，以A、0、8中的其中两点和尸点为

顶点的三角形是等腰三角形.

【答案】75。或90。或120。

【分析】

根据三角形的定义分以点40,P为顶点的等腰三角形和以点为顶点的等腰三角

形两种情况，再分别根据等腰三角形与等边三角形的判定、三角形的内角和定理即可得.

【详解】

ZAOM=30°,ZABM=60°,

ZOAB=ZABM-ZAOM=30°,

由题意，分以卜两种情况:

（I）以点A,。,P为顶点的等腰三角形，

①当NQ4P=NAOM=30°时，AAOP是等腰三角形，

则/OAP-NOAB,

・・,点P是射线上一动点，

••・此时点P与点B重合，不符题意，舍去；

②当NOAP=NOPA时，AAOP是等腰三角形，

则ZOAP=g（180°-ZAOM）=75°；

③当NOE4=NA0M=3O。时，AAOP是等腰三角形，

则ZOAP=180°-NOPA-ZAOM=120°；

（2）以点A8,尸为顶点的等腰三角形，

-.■ZABM=60°,

二当"BP是等腰三角形时，"BP一定是等边三角形，

:.ZBAP=60°,

：.ZOAP=ZOAB+NBAP=90°：

综上，符合条件的NO4P的度数为75。或90。或120°,

故答案为：75°或90。或120。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定、三角形的内角和定理，依据题意，正确分

情况讨论是解题关键.

7.（2021•河南济源•八年级期末）如图，△A5C的外角NOJ5C、NEC8的角平分线交于

点M,NACZ?的角平分线与5M的反向延长线交于点N,若在△CMN中存在一个内角

等于另一个内角的2倍，则NA的度数为

M

【答案】60。或90。或120。

【分析】

根据NEC8,ND8C的角平分线交于点/，可求得NM=9(T-g/A,延长CB至F,

根据8M为A4BC的外角/DBC的角平分线，可得8N是AABC的外角NABF的平分线,

根据CN平分ZACB,得到N4CB=24VCB,则有4VM=Z/VCB+Z/V,可得

ZABF=Z4CB+2Z/V,可求得NN=；NA；再根据ZAO/uZACF+ZBCM=；NACB+；/BCE

=90°,分四种情况：①ZMCW=2Z/V=90°；②ZA/C7V=2ZA/=9O0；③ZM=2Z7V；④

ZN=2ZM,分别讨论求解即可.

【详解】

解：•••外角NEC3,/£)3c的角平分线交于点M,

NMCB+NMBC=#ECB+NDBC)

；(180。-NACB+180°-NABC)

-(36O0-ZACB-ZABC)

1[36O0-(18O°+Z>4)]

=l(1800+Z4)

=90°+-ZA

2

ZM=180°-(ZMCB+NMBC)=180°-(90°+gZA)=90°-；ZA；

2

如图示，延长C8至尸,

M

BM为AABC的外角NDBC的角平分线,

BN是MBC的外角ZABF的平分线，

:.ZABF=2ZNBF,

・・・CN平分ZAC8,

:&CB=2dCB,

\ZNBF=^NCB+ZN,

..2ZNBF=2ZNCB+2ZN,

Q|]ZABF=Z4CB+2ZZV,

又・.•ZABF=ZACB+ZA,

ZACB+2ZN=ZACB+ZA

.-.ZA=2zJV,即NN二；NA；

ZNCM=ZNCF+ZBCM

=-ZACB+-ZBCE

22

=-xl80°

2

=90。；

如果△CMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：

①ZMGV=247=90°,则NN=45。，ZA=2zW=90°；

®ZMCN=2ZM=<XP,则/M=45。，ZN=45°,ZA=2Z7V=90°；

③ZM=2Z/V,贝l]9（r_；NA=2x；NA,解得ZA=60°；

@ZZV=2ZM,则gzA=2（9（r-；NA）,解得ZA=120°.

综上所述，ZA的度数是60。或90。或120。.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；

灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.

8.（2021•全国八年级专题练习）等腰AABC中，过点8的直线8。分AABC为两个等腰

三角形，则顶角为_____度.

1OAO

【答案】36。或〒或90。或108。

【分析】

根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解.

【详解】

解：AABC中，AB=AC,

AD=BD,BC=BD,

：.ZA=ZABD,NBDC=/C,

贝IJNGN3002N4,

.•・ZA+ZABC+ZC=ZA+2ZA+2ZA=180°,

,ZA=36°；

若AD=BD,BC=CD,

：.ZA=ZABD1NCBD=/CDB,

贝|JNCQB=2NA,

・・・NA+ZABC+ZC=NA+NA+2ZA+3ZA=180°,

若AD=BD,AD=CDt

：.ZB=ZC=ZBAD=ZCADf

：.ZBAC+ZABC+ZC=180°,

・・・ZBAD=ZCAD=45°,

：.NBA090。；

^AD=BDfAC=CD,

：.ZB=ZBADfNCAD=NCDA,

则ZCDA=2NBAD,ZC=180°-2ZCAD=180°-4/BAD,

,:NB=NC,

・・・ZBAD=1800-4ZBADf

：.ZBAD=36°,

：.ZBAC=3ZBAD=\0S°；

1QHO

故答案为：36。或一厂或90。或108。.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和与外角，解答此题的关键是要正确画出

图形，分情况进行讨论.

9.（2021•浙江杭州•）在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个

任务：如图，有一张三角形纸片43C,NB=30。，ZC=50°,点。是A8边上的固定

点（8/）＜g48）,请在5c上找一点E,将纸片沿OE折叠为折痕），点8落在点

尸处，使E尸与三角形ABC的一边平行，则4DE为_______度.

【答案】35。或75。或125°

【分析】

由于E户不与8c平行，则分E尸〃A8和E尸〃4C,画出图形，结合折叠和平行线的性

质求出N8OE的度数.

【详解】

解：当即〃A8时，

NBDE=NDEF,

由折叠可知：NDEF=NDEB,

:.NBDE=NDEB,又/B=30°,

：.NBDE=j(180°-30°)=75°；

当EF〃AC时，

如图，NC=NBEF=5Q。,

由折叠可知：ZBED=ZFED=25°,

ZBDE=180o-ZB=ZB£D=125°；

如图，EF//AC,

则NC=NCEF=50。，

由折叠可知：ZBED=ZFED,又NBED+NCED=180。,

则ZCED+50°=180°-ZCED,

解得：ZC£D=65°,

Z«D£=ZCED-ZB=65°-30°=35°；

综上：ZBDE的度数为35。或75。或125°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形内角和，折叠问题，解题的关键是注意分类讨论，画

图图形推理求解.

10.（2021•苏州外国语学校七年级期中）如图，在“IBC中，ZF=16°,BD、CO分别

平分ZABC、Z4CB,M,N、。分别在DC、BC的延长线上，BE、CE分别平

分NM8C、ZBCN,BF、CF分另U平分NE8C、NECQ,贝！］ZA=

【答案】52°

【分析】

根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出NE,利用三角形内角和求出

Z5+Z6+Z1,得到ZMBC+Z/VCB,从而求出NZJ8C+/OC8,再次利用角平分线的定义

和三角形内角和得到NA.

【详解】

解：•;BF、C尸分别平分/EBC、NECQ,

,Z2=Z3+Z4,

vZ3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即Z2=Z5+NF,2Z2=2Z5+ZE,

.-.2ZF=ZE=32O,

■.■BE,C£分别平分ZM8C、NBCN,

.-.Z5+Z6=-ZA/BC,N1=、NNCB,

22

.-.Z5+Z6+Zl=i(NMBC+ZNCB),

ZE=180°-(Z5+Z6+Zl)=32°,

Z5+Z6+Z1=148°,

ZMBC+NNCB=2(N5+N6+N1)=296。，

QBD、CD分别平分NABC、ZACH,

ZDBC=­ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

；.Z.DBC+NDCB=1800-NMBC+180°-乙NCB=36O°-(Z.MBC+NNC8)=64。，

ZA=180°-(NABC+NACB)=180。-2(NDBC+NDCB)=52°,

故答案为:52°.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、解答题

11.(2021•东莞市东华初级中学七年级期中)在平面直角坐标系中，点A(a,b)是第

2

四象限内一点，ABJLy轴于8,且B(0,b)是y轴负半轴上一点，b=16,SAACB=

12

(1)求点4和点8的坐标；

(2)如图1,点O为线段OA(端点除外)上某一点，过点。作4。垂线交x轴于E,

交直线A3于尸，NEOD、NAFZ)的平分线相交于N,求NON尸的度数；

(3)如图2,若点O为线段04(端点除外)上某一点，当点。在线段上运动时，过

点O作直线E厂交x轴正半轴于E,交直线48于RNEOD,NAFO的平分线相交

于点N.若记NO。尸=a,请用a的式子表示/ON尸的大小.

图1图2

【答案】(1)A的坐标为(6,-4),B(0,-4)；(2)45°；(3)

【分析】

(1)先确定8的坐标，再利用叉板8的面积求出AB,即可求出点A的坐标；

⑵过点N作NM//x轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出NMNO=ZNOC=g

NE。。，NMNF=NNFA=W/AFD,利用三角形的内角和，即可得出NON尸的度数;

(3)过点N作NM〃x轴，平行线的性质及角平分线的性质可得出NMNO=NNOC=g

ZEOD,NMNF=NNFA=WNAFD,利用三角形外角性质，即可得出NON尸的度数.

【详解】

解：⑴..72=16,

.*./?=±4,

(0,b)是y轴负半轴上一点，

.•.8(0,-4),

轴，SAAOB=12,

二即;,A8X4=12,解得A8=6,

•'A的坐标为(6,-4),

(2)如图1,过点N作NM〃x轴,

,:NM〃x,

：./MNO=/NOC,

・；ON是NEOD的角平分线，

・•・NMNO=ZNOC=|NE。。，

又,：MN〃AB,

:./MNF=/NFA,

,:FN是NAFD的角平分线，

・・・NMNF=ZNFA=g/AFD,

・.・A8〃x轴，

；・/OED=/AFD,

♦:ED10A,

JNEOO+NA尸£>=90。，

:・NONF=/MNO+/MNF=g(/EODMAFD)=lx90°=45°.

(3)如图2,过点N作/VM〃不轴,

：.ZMNO=ZNOC,

「ON是/EOO的角平分线，

NMNO=ZNOC=gNEOD,

又,：MN〃AB,

：.ZMNF=ZNFA,

•••FN是NAF。的角平分线，

NMNF=4NFA=』NAFD,

轴，

ZOED=ZAFD,

■:ZODF=ZEOD+ZAFD=a,

:.NONF=NMNO+NMNF=；（NEOD+NAFD）=ga.

【点睛】

本题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，三角形内角

和定理和三角形的外角性质等知识，灵活运用以上性质定理是解题的关键.

12.（2021•江苏沐阳•七年级期末）在AABC中，N班C=100。，ZABC=ZACB,点。在

直线BC上运动（不与点8、C重合），点£在射线AC上运动，且NADE=NAED,设

ZDAC=n°.

(1)如图①，当点。在边8c上，且〃=40。时，贝！|N8AO=。，ZCDE=

(2)如图②，当点。运动到点8的左侧时，其他条件不变，请猜想ZS4D和NCDE的

数量关系，并说明理由；

(3)当点。运动到点C的右侧时，其他条件不变，ZfitW和NC£»E还满足(2)中的数

量关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明.(画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑)

【答案】(1)60,30；(2)ZBAD=2ZCDE,证明见解析；(3)成立，NBAD=2NCDE,

证明见解析

【分析】

(1)如图①，将/BAC=100。，N£>4C=40。代入求出/BAD在

△ABC中利用三角形内角和定理求出NA8C=N4C8=40。，根据三角形外角的性质得出

ZADC=ZABC+ZBAD=100°,在小ADE中利用三角形内角和定理求出

ZADE=ZAED=10°,那么/CDE=ZADC-ZADE=30°；

(2)如图②，在AABC和△AOE中利用三角形内角和定理求出/ABC=/AC8=40。，

ZADE=ZAED=^^.根据三角形外角的性质得出”空詈,

再由ND4G/84C得到ZBAD=n-\00°,从而得出结论/8AO=2NCDE；

(3)如图③，在△ABC和△AOE中利用三角形内角和定理求出NABC=NACB=40。，

ZADE=ZAED=180°~W.根据三角形外角的性质得出ZCDE=ZACD-ZAED=l00°+n,

再由NBAO=NBAC+ND4C得到/54。=100。+〃，从而得出结论NBAO=2NCQE.

【详解】

解：(1)ZBAD=ZBAC-ZDAC=\00°-40°=60°.

二•在AABC中，ZBAC=KX)°,NABC=NACB,

：.ZABC=ZACB=40°,

：.ZADC=ZABC+ZBAD=400+60°=100°.

VZDAC=40°,NADE=NAED,

：.ZAD£=ZAED=70°,

二ZCDE=ZADC-ZADE=100°-70°=30°.

故答案为60,30.

(2)NBAD=2NCDE,理由如下：

如图②，在△ABC中，NBAC=100。,

ZABC=ZACB=40°.

在AAOE中，ZDAC=n,

・・ZADE=ZAED=------,

2

*/NACB=NCDE+NAED,

：.NCOE=NAC8-NAEO=40。•幽■工三竺

22

VZBAC=100°,NDAC=n,

/.ZBAD=/?-100°,

:.ZBAD=2ZCDE.

(3)成立，NBAD=2/CDE,理由如下:

如图③，在△ABC中，N8ACM00。，

・・・NABC=NACB=40。,

/.ZACD=140°.

在△AOE中，/DAC=n,

•/人八万/人zrn180°—〃

・・Z.ADE-Z.AED---------,

2

,:ZACD=ZCDE+ZAEDf

：.ZCDE=ZACD-ZAED=140°-18Q°-n=10Q°+n

22

VZBAC=100°,ZDAC=n,

：.ZBAD=\00°+nf

：.NBAD=2NCDE.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理.，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系

是解题的关键.

13.(2021冻莞市光明中学)(1)如图(1)A8〃C£>,猜想N3PD与NB、NO的关系，

说出理由.

(2)观察图(2),已知AB〃CQ,猜想图中的NBPQ与NB、N。的关系，并说明理

由.

(3)观察图(3)和(4),已知A8〃C£>,猜想图中的N8尸。与NB、NO的关系，不

需要说明理由.

【答案】(1)N8+/8PO+/D=360。，理由见解析；(2)NBPD=NB+ND,理由见解

析；(3)NBPD=ND-/B或NBPANB-ND,理由见解析

【分析】

(1)过点尸作根据两直线平行，同旁内角互补即可求解：

(2)首先过点P作由A8〃C£>,可得尸E〃4B〃C£>,根据两直线平行，内

错角相等，即可得42=ND,则可求得

(3)由AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得N8PQ

与NB、ND的关系.

【详解】

解：(1)如图(1)过点尸作跖〃AB,

⑴

：.ZB+ZHPE=\SQ0,

■:ABHCD,EF//AB,

J.EF//CD,

：.ZEPD+ZD=\S0°,

：.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=360°,

：.ZB+ZBPD+ZD=360°.

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如图2,过点P作PE〃AB,

Q)

U：AB//CD,

：.PE//AB//CDf

AZ1=ZB,Z2=ZD,

・•・ZBPD=Z1+Z2=ZB+ZD.

NBPD=ND-NB.

(3)

理由：•:AB〃CD,

.\Z1=ZD,

VZ1=ZB+ZBPD,

:・/D=/B+/BPD,

如图(4),/BPD=/B-/D.

(4)

理由：'：AB//CD,

：.Z\=ZBf

•：N1=ND+NBPD,

：.NB=/D+NBPD,

即N3PQ=NB-ND.

【点睛】

此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题难度不大，解题的关键是注意掌握

平行线的性质，注意辅助线的作法.

14.（2021•岳阳市弘毅新华中学）如图1,直线MN与直线A5、CD分别交于点£、F,

N1与N2互补.

（1）试判断直线A5与直线CZ）的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,NBEF与NEFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点"是MN

上一点，且GZ7JLEG,求证：PFHGH.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接尸“，K是G”上一点使作尸。

平分NEPK,问NHPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值若变化，说明理由.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）/HPQ的大小不发生变化，理由见详解.

【分析】

（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线。平行；

（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据N8E尸与NEF。的角平分线交于点

P,可得/EP尸=90°,进而证明PF//GH-

（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得NHPQ的度数，进而即可得到结论.

【详解】

解：（1）AB〃C£>,理由如下：

VZ1与22互补，

.,.Zl+Z2=180°,

又；/l=NAEF,N2=NCFE,

/AEF+NC尸E=180°,

：.AB//CD-

（2）由（1）知，AB//CD,

ZBEF+/EFD=180°.

又；NBEF与/EFD的角平分线交于点P,

：.ZFEP+NEFP=1（ZBEF+ZEFD）=90°,

二/EP尸=90°,即EGJ_P尸.

'：GH±EG,

J.PF//GH-.

（3）'：ZPHK=ZHPK,

：.NPKG=2NHPK.

又；GHLEG,

：.ZKPG=90°-ZPKG=90°-2ZHPK.

：.ZEPK=\S00-ZKPG=90°+2ZHPK.

■:PQ平■分4EPK,

：.NQPK=yZEPK=45°+ZHPK.

：.ZHPQ=ZQPK-ZHPK=45°.

:./HPQ的大小不发生变化.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的

定义、平行线的性质、余角和补角.

15.（2021•南京玄武外国语学校七年级月考）（概念认识）

如图①，在NABC中，若N48O=NO8E=NE8C,则BD,BE叫做NA8C的“三

分线其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.

（问题解决）

（1）如图②，在AABC中，NA=73。，ZB=42°,若NB的三分线80交AC于

点D,贝|JN8DC=°；

（2）如图③，在△A5C中，BP、CP分别是NA5c邻AB三分线和NAC8邻AC三

分线，且BPLCP,求NA的度数；

（延伸推广）

（3）在AABC中，ZACD是AA8C的外角，NB的三分线所在的直线与NACD的

三分线所在的直线交于点P.若N4=a。，NB=»。,直接写出N8PC的度数.（用

含a、0的代数式表示）

【答案】（1）87。或101；（2）45°；（3）ga。或（3詈）。或（当幺）。或（与义）。

或§a。.

【分析】

(1)分为两种情况：当8。是“邻4?三分线”时，当8。是“邻BC三分线”时，根据三

角形的外角性质求出即可；

(2)求出NP8C+/PC8=90。，根据BP、CP分别是248C邻4B三分线和乙4cB邻AC

2?

三分线求出ZPCB=-ZACB,求出NA8C+NAC8=135。，再求出NA

即可；

(3)画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，

②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB

三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和C尸分别是“邻BC三分线”、“邻C。三分线”

时，再根据三角形的外角性质求出答案即可.

【详解】

解：(1)如图，

当BD是“邻48三分线”时，

：NA=73。，ZABC=42°,

：.NBOC=/A+/ARD=73°+gx42°=87°；

2

当8£)’是“邻8c三分线”时，ZBDC=ZA+ZABDf=73°+-x42°=101°；

故答案为：87。或101；

(2)如图，

•:BP1.CP,

・・・ZBPC=90°,

・・・NPBC+NPCB=90°,

•:BP、CP分别是NABC邻AB三分线和ZACB邻AC三分线,

22

AZPBC=-ZABCZPCB=-ZACB,

33f

22

J-NA3C+-ZACB=90°,

33

・•・ZABC+ZACB=135°,

o

AZA=\SO°-(ZABC+ZACB)=180°-135=45°;

(3)分为四种情况：

当5尸和CP分别是“邻AB三分线”、“邻4C三分线”时,

22

由外角可得：ZPCD=-ZACD=-(a+p),

222

:・/BPC:NPCD-/PBC=-(a+p)--p=ya；

情况二：如图2,

当3尸和CP分别是“邻三分线”、“邻AC三分线”时,

22

由外角可知：Z-PCD--ZACD=—(a+p),

...N8PC=/PCZX/PBC=|(a+。)-^0="；，；

情况三：

当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时,

当a>p时，如图3,

：.NBPC=NPCD-NPBC=；(a+p)-|p=^^;

当a<0时，如图4,

由外角及时顶角可得：ZDCE=ZPCB=|ZACD=1(a+p),

:.NBPC=NFBC-NPCB=-p-1(a+p)；

情况四：如图5,

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，

由外角可得：ZPCD=1ZAC£>=1（a+p）,

:.NBPC=NPCD-NPBC=；（a+p）-1p=1a；

综合上述：NBPC的度数是ga。或（竺了）。或（肉幺）°或（号）。或;a

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，注意：三角形的一个外角等于

与它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想.

16.（2021•浙江东阳•）如图1,在A4BC中，ZB=65°,ZBAC=75°,。为AC边上

一点，分别过点A、。作BC、43的平行线交于点E.

<1）求NE的度数.

（2）点尸为直线AC上的一个动点，过点尸作PF〃AE,且尸连OF.

①如图2,当点尸在点C的右侧，且NP尸。=25。时，判断OE与。尸的位置关系，并

说明理由.

②在整个运动中，是否存在点P,使得NPF£>=2NEO尸？若存在，请求出NPFO的度

数，若不存在，请说明理由.

130

【答案】（1）65°；（2）®DE±DF,理由见解析；②（丁）。或130。

【分析】

（1）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可.

（2）①如图2中，结论:DEVDF.过点D作OT〃A£首先证明/屈公/人后/升/。/。，

推出/EL»F=90唧可.

②存在，当点P在点。的左侧时存在.分两种情形：如图3-1中，当点P在线段AD上

时，设交P尸于J.如图3-2中，当点P在线段OA的延长线上时，设AE交。产于

Q.分别利用平行线的性质，三角形的外角的性质求解即可.

【详解】

解：（1）如图1中，

图1

*：AB〃DE,AE//BC,

；.NADE=NBAC=75Q,ZDAE=ZACBf

ZACB=180°-ZB-ZBAC=\80o-650-75o=40°,

：.ZDAE=ZACB=40°9

：.ZE=180°-ZADE-ZEAD=\80o-40°-75o=65°.

(2)①如图2中，结论：DELDF,

理由：过点。作。T〃A£

*：AE//PF,DT//AE,

：.AE//DT//PF,

：.ZAED=ZTDEfZTDF=ZDFPf

：.ZEDF=ZTDE+Z7DF=65o+25°=90°,

：.DE1DF.

②存在，当点P在点。的左侧时存在.

如图3・1中，当点P在线段4。上时，设。上交PE于J.

・・・NPJD=NAED=65°,

VZPJD=ZPFD+ZJDFf/PFD=2/EDF,

：.65°=3ZEDF,

：.ZEDF=(—)°,

3

130

：・/PFD=(-)°.

3

如图3-2中，当点。在线段D4的延长线上时，设AE交OF于Q.

图3-2

'：PF//AE,

：.ZPFD=ZAQD,

VZAQD=ZAED+ZEDF,ZPFD=2ZEDF,

：.2NEDF=65°+/EDF,

：.NEDF=65°,

：.ZPFD=130°,

综上所述，NPFD=（亍BO）。或130。.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性

质等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线的性质解决问题.

17.（2021•湖南岳阳•七年级期末）（1）如图1,在三角形ABC中，8平分ZACB,点E

在边AC上，Z1=Z2,试说明OE与BC的位置关系，并予以证明；

（2）如图2,在（1）的条件下，若NCBD=NCDB,N8E的平分线交AC于点F,连

接BF.求证：NDBF+NDFB=90。；

（3）如图3,在前面的条件下，若ZA8的平分线与AB、。尸分别交于G、H两点,

且NBGC=54。，求ZACB的度数.

【答案】（1）DE//BC,证明见解析；（2）证明见解析；（3）72。

【分析】

(1)证明/2=NBCO,可得结论.

(2)根据QE〃BC,得到NE£>8+/O8C=180。，再利用角平分线的性质，即可解答；

(3)根据FZUA8,NBGC=54。，得到/OHG=36。，利用外角的性质得到

ZFDC+ZHCD=36°,再根据。尸平分NE£>C,CG平分NAC。，彳导至1]NEDC=2NFDC,

ZACD=2ZHCD,得至ljNEOC+/ACD=2(NFDC+NHCD)=108°,利用三角形内角和

为180。，ZD£C=180°-(ZEDC+ZACD)=180°-108°=72°,再利用平行线的性质求出

ZACB.

【详解】

解：(1)结论：DE//BC.

理由：如图1中，

：.Z\=ZBCD,

VZ1=Z2,

N2=/BCD,

J.DE//BC.

(2)证明：如图2中,

：.ZEDB+ZDBC=\S00,

：.ZEDF+ZFDC+ZCDB+ZDBC=\S00,

■:/CDB=NDBC,/EDF=/FDC,

：.2ZFDC+2ZCDB=180°,

・・・ZFDC+ZCDB=90°,

:.FDtBD,

：.ZDBF+DFB=90°.

(3)如图3中，

VZBGC=54°,FDLBD,

：./DHG=36。,

:./FDC+/HCD=36。,

•・•£)"平分NEO。，CG平分NACD,

:・/EDC=2/FDC,NACD=2NHCD,

：.ZEDC+ZACD=2(NFDC+NHCD)=72°,

AZDEC=180°-(ZEDC+ZACD)=180°-72°=108°,

■:DE〃BC,

：.ZACB+ZDEC=180°,

:.ZACB=72°.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形

内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系.

18.(2021•安徽阜南•七年级期末)如图1,点E是直线AB,CD内部一点，ABHCD,

连接£4ED.

(1)探究猜想：

①若NEA5=22。，ZEDC=61°9则的度数为;

②若N£A5=32。，N£DC=45。，则NA£0的度数为；

③猜想图1中N4£。、NEAB、NEOC之间的关系并说明理由.

(2)£F隔开的两个区域(不含边界)，点尸是位于以上两个区域内的点，连接PE,PR

猜想NPEB、NPFC、NEPF1之间的关系（不要求写出过程）.

图2

【答案】（1）①83。；②77。；③NAED=NEAB+NEDC,理由见解析；（2）点尸在区

域①时，ZEPF=360°-（NPEB+NPFC）；点P在区域②时，NEPF=NPEB+NPFC；

点P在区域③时，NEPF=ZPEB-NPFC；点、P在区域④时，/EPF=NPFC-NPEB.

【分析】

（1）①根据图1,过点E作EF〃AB,利用内错角相等，得到/AE。、NEAB、ZEDC

之间的关系，代入/E4B,/E£>C的度数，计算出/AEO的度数.同理可得②，③的

答案；

（2）利用三角形的外角和内角的关系以及平行线所形成的同位角、内错角间关系，得

结论.

【详解】

解：（1）①如图，过点E作所〃48,

,JAB//CD,

：.AB//CD//EF,

ZEAB=22°,ZEDC=6\0,

：.Z1=ZEAB=22°,Z2=ZEZ)C=61°,

.,.ZAED=Z1+Z2=83°；

②过点E作所〃AB,

'."AB//CD,

J.AB//CD//EF,

；/£48=32°,ZEDC=45°,

：.Z\=ZEAB=32°,Z2=ZE£>C=45°,

NA£Z)=Nl+/2=77°；；

③猜想：NAED=NEAB+NEDC.

理由：过点£作打〃CO,

-AB//DC,：.EF//AB（平行于同一条直线的两直线平行）,

・・・N1=NEAB,N2=NEDC（两直线平行，内错角相等），

/.ZAED=Z1+Z2=ZEAB+ZEDC（等量代换）.

（2）根据题意得:

如图1,当点P在①区域时，

图1

*：AB//CD,

AZBEF+ZCFE=180°,

：.ZPEF+ZPFE=(NPEB+NPFC)-180°.

VZPEF+ZPFE+ZEPF=180°,

：.ZEPF=\S00-(NPEF+NPFE)=180。一(ZPEB+ZPFC)+180°=360°-(/PEB

+ZPFC)；

当点P在区域②时，如图2所示，

,:AB〃CD,

：.ZBEF+ZCFE=\S0°f

,/ZEPF+ZFEP+ZPFE=180°,

・・・ZEPF=ZPEB+/PFC.

点户在区域③时，如图3所示:

p.

[烹④『

D'-----------------------'C

高

"：AB//CD,

：.ZBEF+ZCFE^]SO°,

"：ZEPF+NFEP+NPFE=180°,

NEPF=NPEB-NPFC；

点户在区域④时，如图4所示：

/.NBEF+ZCFE=180°,

"：ZEPF+ZFEP+ZPFE=180°,

NEPF=ZPFC-NPEB；

综上所述，点P在区域①时，ZEPF=360°-(NPEB+NPFC)；

点P在区域②时，NEPF=ZPEB+ZPFC；

点尸在区域③时，NEPF=NPEB-NPFC；

点P在区域④时，NEPF=NPFC-NPEB.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅

助线，利用数形结合求解是解答此题的关键.

19.(2021•台州市书生中学八年级开学考试)在中，ZA=70。.

(1)如图①，AABC.ZACB的平分线相交于点0,贝IJN8OC=。；

(2)如图②，的外角NCBD、4BCE的平分线相交于点O,,则NBOC=

。.9

(3)探究

探究一：如图③，AABC的内角NA8C的平分线与其外角NA8的平分线相交于点。，

设ZA=〃。，求N8OC的度数.(用〃的代数式表示)

探究二：已知，四边形ABC。的内角ZABC的平分线所在直线与其外角/OCE的平分

线所在直线相交于点。，ZA=n°,ZD=nf

①如图④，若ZA+/O2180。，则N8OC=(用"?、”的代数式表示)

②如图⑤，若ZA+/O<180。，则N3OC=(用〃?、〃的代数式表示)

【答案】(l)125；(2)55；(3)探究一：J〃°；探究二：①g(〃°+"°)-90°；②90°-；(〃°+加°)

【分析】

(1)求出NA8C+/4CB,根据角平分线定义求出N08C+N0C8,根据三角形内角和

定理求出即可：

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示

出/O8C与/OC8,然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解：

(3)探究一：根据提供的信息，根据三