2024-2025学年新教材高中数学第六章立体几何初步专题训练含解析北师大版必修第二册

PAGE专题强化训练(五)立体几何初步(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图所示，视察四个几何体，其中推断正确的是()A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④不是棱柱C[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥，图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故选C．]2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1A．30° B．45°C．60° D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确说法的序号是()A．① B．②③C．③④ D．①④A[②假如m⊂γ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面；④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行．]4．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)B[设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为eq\r(2)a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积＝4×eq\f(\r(3),4)×2a2＝2eq\r(3)a2.∴eq\f(S三棱锥表面积,S正方体表面积)＝eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(1,\r(3)).]5．下列说法中，错误的是()A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，则l∥mB．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βC．若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥βD．若直线l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直线l⊂平面β，则l∥mC[对于A，由面面平行的性质定理可知为真命题，故A正确；对于B，由面面垂直的性质定理可知为真命题，故B正确；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知为真命题，故D正确．综上，选C．]二、填空题6．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．eq\f(\r(3),24)πR3[设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝eq\f(1,2)R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R，故体积为V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),24)πR3.]7．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．8[如图，过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.]8．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC．(填图中的一条直线)AF[∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC．∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC．又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC．]三、解答题9．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB．[证明](1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC．(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．10．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB．又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA．在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成的角为30°.(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.由题知OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)由(1)知OC⊥平面AOB．又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC．即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.11．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥βC[对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C．]12．如图，三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不成立的是()A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VOB[因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB．因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB．又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD．又CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD．又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以VV－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·VO.因为AB⊥平面VCD，所以VV－ABC＝VB－VCD＋VA－VCD＝eq\f(1,3)S△VCD·BD＋eq\f(1,3)S△VCD·AD＝eq\f(1,3)S△VCD·(BD＋AD)＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，所以eq\f(1,3)S△ABC·VO＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确．]13．已知四面体A－BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．eq\f(\r(3),6)[如图，设四面体A－BCD的棱长为a，延长AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF.由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF即异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(1,2)a，则在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(\f(1,2)EF,AE)＝eq\f(\r(3),6).]14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．144π[∵S△OAB是定值，且VO－ABC＝VC－OAB，∴当OC⊥平面OAB时，VC－OAB最大，即VO－ABC最大．设球O的半径为R，则(VO－ABC)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，∴R＝6，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.]15．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧eq\o(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up10(︵))上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥D