2024-2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2第2课时指数函数图象及性质的应用学案含解析新人教A版必修1

PAGE第2课时指数函数图象及性质的应用内容标准学科素养1.驾驭指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是探讨函数的重要工具，并能运用指数函数探讨一些实际问题.提升数学运算应用直观想象培育数学建模授课提示：对应学生用书第41页探究一利用指数函数的单调性比较大小[阅读教材P57例7]比较下列各数中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1.题型：比较大小[例1]比较下列各组数的大小：(1)1.82.2与1.83；(2)0.7－0.3与0.7－0.4；(3)1.90.4与0.92.4.[解析](1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值．∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.方法技巧比较幂的大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来推断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的改变规律来推断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较．跟踪探究1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：1.20.8>1.20＝1,0.80.9<0.80.7<0.80＝1，∴b<a<c答案：D探究二解简洁的指数不等式[例2]假如a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．[解析]①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－eq\f(7,6).②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x<x＋7，解得x>－eq\f(7,6).综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－eq\f(7,6)；当0<a<1时，x>－eq\f(7,6).方法技巧指数不等式的解法(1)形如ax＞ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．假如a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种状况探讨．(2)形如ax＞b的不等式：留意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax＞bx的不等式：可借助图象求解，也可转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x＞1求解．跟踪探究2.若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．解析：ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x⇔ax＋1>a3x－5，当a>1时，可得x＋1>3x－5，∴x<3.当0<a<1时，可得x＋1<3x－5，∴x>3.综上，当a>1时，x<3；当0<a<1时，x>3.探究三指数函数的实际应用[阅读教材P57例8]截止到1999年底，我国人口约13亿.假如今后能将人口年平均增长率限制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?题型：实际应用[例3]某市现在人口总数为100万人，假如年平均增长率为1.2%，试解答下列问题．(1)试写出该市人口总数y(万人)与经过时间x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.01210≈1.127,1.01211≈1.140,1.01212≈1.154,1.01213≈1.168,1.01214≈1.182,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210)[解析](1)1年后该市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．∴10年后该市人口总数约为113万人．(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴约15年以后，该市人口将达到120万人．方法技巧此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到指数运算．跟踪探究3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__________天．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．答案：19授课提示：对应学生用书第42页[课后小结]1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.2．解简洁指数不等式问题的留意点(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．假如a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1两种状况进行探讨．(2)形如ax＞b的不等式，留意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax＞bx的不等式，可借助图象求解．[素养培优]警惕底数a对指数函数单调性的影响若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为__________．易错分析：(1)解决本题易忽视对a的探讨，错认为a2＝2a，从而导致得出a＝2的错误答案．(2)求函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在闭区间[s，t]上的最值，应先依据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s，t]上的增函数，最小值为as，最大值为at.当底数大于0小于1时，指数函数为[s，t]上的减函数，最大值为