三角函数的图像和性质（十大题型＋精准练习）

三角函数的图像和性质（十一大题型＋精准练习）（解析版）题型归类题型一、五点作图法题型二、函数的奇偶性题型三、函数的周期性题型四、函数的单调性题型五、函数的对称性题型六、函数的定义域、值域（最值）题型七、函数性质的综合应用题型八、根据条件确定解析式⑴知图求式⑵知性质求式题型九、三角函数图像变换题型十、三角函数模型题型十一、正弦型、余弦型函数的零点、极值点问题题型一、五点作图法及函数图像的应用知识要点用五点法作正弦函数和余弦函数的简图⑴在正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，，；在余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，，．⑵画的图像时，如下表：精准练习1．（2425高三·山东泰安·开学考试）曲线与交点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】作出曲线与大致图象，可知，而，由曲线与图象知，曲线与有个交点.故选：A.2．（2425高三·河北·开学考试）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数，由，得，，则或或，解得或或，因此方程在上有3个解.所以当时，曲线与的交点个数为3.故选：A3．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【详解】由，得，方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数，当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根．故选：A4．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案.【详解】时，，令，得，此时，令，得，此时，令，得，此时，令，得，此时，时，，函数的周期，结合周期，利用五点法作出图象，

由图知，共有4个交点.故选：.5．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数，则方程在区间上存在实数根的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【详解】因为，可得，则或，解得或，又因为，则，可得或或或，所以方程在区间上存在实数根的个数为4.故选：B.6．（2425高三·浙江·开学考试）方程在的根的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】在同一坐标系内画出和图象，因为，，，，所以与图象在区间上有三个不同的交点，即方程有三个不同的根，故选：B．

7．（2425高三·安徽亳州·开学考试）已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则．【答案】【详解】如图所示，设函数与的交点分别为，

由得，所以，则，由对称性和已知可得为等腰直角三角形，所以点到直线的距离为，即，解得．故答案为：8．（2024·陕西·一模）已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有个，【答案】6【分析】根据题意，求得函数的解析式为，画出与在区间上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数的图象经过点，可得，即，又因为，所以，因为在轴右侧的第一个零点为所以，解得，所以，画出与在区间上的图象，如图所示，由图可知曲线与的交点有6个.故答案为：6.题型二、函数的奇偶性知识要点1、为奇函数，则；为偶函数，则；2、为奇函数，则；为偶函数，则；3、为奇函数，则，该函数不可能为偶函数；精准练习1．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（

）B． C． D．【答案】D【详解】对于选项A：因为，可知为偶函数，但函数的图象关于原点对称，不合题意，故A错误；对于选项BC：若，则，即，，可知函数在上没有零点，不合题意，故B，C错误，检验可知选项D符合题意，故D正确．故选：D.、2．（多选）（2425高三·江苏南通·阶段练习）下列的函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】因为函数的定义域为，对于选项A：因为，可知不是偶函数，故A错误；对于选项B：因为，所以是偶函数，故B正确；对于选项C：因为，所以是偶函数，故C正确；对于选项D：因为，所以是偶函数，故D正确；故选：BCD.3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则“是函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立；当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立；所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.4．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若0在定义域内，由时，得，；若0不在定义域内，由时，无意义，得．综上，．故选：C．5．（2023·陕西榆林·二模）将函数的图象向右平移个单位长度得到一个奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，函数，则，由函数是奇函数，得，解得，由，得，因此当时，.故选：D6．（2324高一·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，又函数为奇函数，则，，解得，，所以，故选：D.7．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】一方面，当，时，是奇函数，是偶函数，故充分性成立，另一方面，当时，有是奇函数，是偶函数，但此时关于的方程没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知的情况下，“”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.8．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得是奇函数，则必有函数是偶函数，函数是奇函数，此时，因此，当时，，不存在整数，使得值为BCD，当时，是奇函数.故选：A9．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为．【答案】【详解】，图像向右平移个单位长度后得到是偶函数，，的最小值为.故答案为：.10．（2024·内蒙古赤峰·三模）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值为.【答案】【详解】，将函数的图象向左平移个单位后，解析为，而的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，因此有，因为，所以，即，故答案为：题型三、函数的周期性知识要点1、、的周期；的周期；2、、的周期；的周期；精准练习1．（2024·全国·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得，所以的最小正周期为．故选：C2．（2425高三·贵州黔东南·开学考试）函数的最小正周期为（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【详解】因为函数与的最小正周期分别为，，所以的最小正周期为.故选：A.3．（2324高三·陕西西安·阶段练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，由于函数的最小正周期为，且为偶函数，是将在下方的图象沿着轴翻折得到，故最小正周期为,故选：A4．（2324高三·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【详解】函数，若对于任意的，都有，则是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值即为函数的半周期长，而函数的最小正周期，因此.故选：B5．（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，又，可得，即，且、，故.故选：C.6．（2022高三·全国·专题练习）若，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【详解】由题意知的最小正周期为，且，故，故选：C7．（2425高三·北京房山·开学考试）已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知，因为函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，所以函数的最小正周期为，又，所以，故.故选：B.8．（2024·天津河西·二模）若函数满足对于，，，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以关于对称，又，则，所以是以为周期的周期函数；对于A：若，则最小正周期，又，所以不关于对称，故A错误；对于B：若，则最小正周期，又，所以不关于对称，故B错误；对于C：若，则最小正周期，则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误；对于D：若，则最小正周期，又，满足关于对称，故D正确.故选：D9．（2324高三·安徽·阶段练习）写出同时满足下列条件的函数的一个解析式.．【答案】答案不唯一【详解】因为，故函数是上的偶函数，又因为，故，因此函数是周期为的函数，故满足以上条件的一个函数为．故答案为：（答案不唯一）.题型四、函数的单调性知识要点1、的单调增区间为，单调减区间为；的单调增区间为，单调减区间为；的单调增区间为，无减区间；2、的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是把看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．精准练习1．（2425高三·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象，如图所示，可得函数在区间上单调递减.故选：C.2．（多选）（2425高三·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】A选项，对于，由，得，所以在区间上单调递减的函数，A选项正确.B选项，对于，由，得，不符合题意.C选项，由，得，且，所以在区间上单调递减的函数，C选项正确.D选项，对于，由，得，不符合题意.故选：AC3．（2024·贵州·模拟预测）若函数在上单调，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】，则，函数在上单调，所以，解得：，所以的最大值为.故选：D4．（多选）（2324高三·江苏南京·期中）已知函数，则在区间上可能（

）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极值点【答案】ABD【详解】由题意，则，因为，所以，令，所以，当时，故A对；当时，故B对，C错，D对；故选：ABD.5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则函数的单调递减区间为.【答案】【详解】由题意知，，由，得，令，得，令，则，即函数的单调递减区间为.故答案为：6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的最大值为.【答案】【详解】的最小正周期.因为在区间上是单调的，所以，解得.由，得图象的对称轴方程为.由题意，知的图象在区间上没有对称轴，得，解得.结合，得的最大值为.故答案为：.7．（2425高三·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【详解】当时，不具备单调性，当时，，若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，可得，因为在上是单调递增的，所以在上不可能单调递减，所以不成立，于是.若函数在区间上单调递增，则，，若函数在区间上单调递增，则，，因为，所以时，，综上所述，.故答案为：.8．（2425高三·江苏南京·开学考试）若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则.【答案】【详解】向右平移个单位后得到因为，所以，因为在单调递减，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，.故答案为：.9．（2425高三·安徽·开学考试）已知函数，为的导函数，在上单调递减，则正实数的取值范围为．【答案】【详解】由题意得，，由，则，若在上单调递减，只需，解得故答案为：10．（2324高一·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为.【答案】【详解】由，得.因为在上单调递增，所以，得，则，解得，则，故的取值范围为.故答案为：11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则函数在上的最大值与最小值的和为.【答案】3【详解】设的最小正周期为，由题意，得.且在上单调递减，.又或.①当时，，则函数的单调递减区间为.，符合题意；②当时，.由正切函数性质知；，则，由，.故答案为：3.12．（2324高三·山东威海·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是.【答案】【详解】根据题意，，解得，又，则；当，，由题可得，解得；综上所述，的取值范围是.故答案为：.13．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为．【答案】【详解】因为函数关于对称，所以，解得：，又因为在区间上单调，所以，解得：，综上，当时，，故答案为：14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且，则．【答案】【详解】由，，且的最大值为，最小值为，由，可知当且仅当且时等式成立.又函数在区间上单调递增，故与为两条相邻的对称轴，所以周期，从而，故，故，，由代入解析式可得，则，则，故.故答案为：.15．（2425高三·北京·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】上的最大值即可求解.【详解】，若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，则在区间上恒成立，，，，则.故答案为：.题型五、函数的对称性知识要点1、的对称轴方程为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；的对称中心为；2、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为精准练习1．（2425高三·山西吕梁·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得：，解得，根据各选项，代入检验知：当取1时，，即只有选项C符合题意.故选：C.2．（2425高三·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，得，由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，所以.故选：C3．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数的图象关于对称，则，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选：A.4．（2024高三·全国·专题练习）函数的对称中心是（）A． B．，C．， D．，【答案】D【详解】令（），解得（），故函数的对称中心为，．故选:D．5．（2425高三·湖南永州·开学考试）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，所以，则，令，则，对比选项可知，只有当时，，符合题意，故D正确；故选：D．6．（2324高三·河南·期中）已知函数的图象关于直线，则实数a的值为（

）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】B【详解】函数，因为函数图象关于直线对称，则，，解得，，则，解得．故选：B．7．（2425高三·甘肃白银·阶段练习）已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为均为偶函数，所以与的图象均关于直线对称，所以，即，.所以的最小值为2．故选：B8．（多选）（2425高三·河北邢台·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．是的极大值点【答案】BD【详解】对于A：函数的定义域为，但是，所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：因为，所以，则，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确.故选：BD9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．【答案】【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：10．（2223高三·河南·期末）将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为.【答案】【详解】，的图象向右平移个单位，得到函数的图象，由题意的图象关于直线对称，所以，所以，又，则当时，.故答案为：.11．（2324高一·北京·期中）若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则，.【答案】2；或1【详解】依题意，，函数的周期为，由函数和的图象对称轴完全重合，得的周期，所以；函数，由，得，函数中，由，得，依题意，，则当时，，当为奇数时，，，当为偶数时，，，所以或.故答案为：2；或112．（2425高三·四川泸州·开学考试）已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图象关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数m的取值范围为．【答案】【详解】由题知，，所以，又函数的图象关于直线对称，所以，所以，即，因为，所以，则，当时，，因为函数在上既存在最大值也存在最小值，所以，即，所以实数m的取值范围为.故答案为：题型六、函数的定义域、值域（最值）题型七、知识要点假设．①对于，②对于，精准练习1．（2223高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由，其中为锐角，.又因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，又，故选：D.2．（2024·青海·二模）已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，.由题意可得，解得.故选：D.3．（2324高二·福建泉州·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，则，得，即，当时，，所以当，即时函数取最大值为，故选：D.4．（2024·河南新乡·模拟预测）函数的最大值为（

）A． B． C． D．0【答案】C【详解】由题意可得，所以的最大值为．故选：C.5．（2023·四川·模拟预测）已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，因，必有，或者，，由，，分别得到，．于是，，或者，，得的最大值为．故选：D．6.（2425高三·云南大理·开学考试）已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，若，则，若，则，因为，，所以，则有，解得，即的取值范围是.故选：A.7．（2425高三·福建南平·阶段练习）函数在上的最大值是．【答案】2【详解】，因为，所以，所以，所以，所以在上的最大值为2.故答案为：2.8．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为.【答案】【详解】解：，因为函数的值域为，所以在一个周期内，最小区间为：，得，得的最小值为：，最大区间为：，得，得的最大值为：，则的取值范围为：，故答案为：9．（2425高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为．【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：题型七、函数性质的综合应用知识要点1、相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为；2、在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系.精准练习1．（2425高三·云南昆明·阶段练习）函数，若对恒成立，且在上有3条对称轴，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【详解】由题知，当时取得最大值，即，所以，即，又在上有3条对称轴，所以，所以，所以.故选：B2．（2425高三·四川达州·开学考试）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【详解】故，因为当时，由于，所以在上的值域为，所以解得，即的零点即为的根，则或，即或，所以函数在上的零点有，共8个．故选：C．3．（2425高三·广东·开学考试）已知函数与，则下列说法错误的是（

）A．与存在相同的对称轴B．与存在相同的对称中心C．与的值域相同D．与在上有相同的单调性【答案】B【详解】对于，令，得的对称轴为，令，得的对称轴为，显然与有相同的对称轴，A正确；对于，令，得的对称中心为，令，得的对称中心为，由得，显然不存在整数使成立，故与没有相同的对称中心，B错误；对于C，与的值域显然均为，C正确；对于D，当时由在上递增，由在上递减，由在上递增，由在上递减，与均在上单调递增，在上单调递减，D正确.故选：B4．（多选）（2024·湖南益阳·一模）已知函数，则下列结论成立的是（

）A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称C．点是曲线的对称中心 D．在上单调递增【答案】AC【详解】设的最小正周期为，故A正确；因为，所以B错误；因为，所以点是曲线的对称中心,C正确；由得，在上单调递减，所以D错误．故选：AC．5．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数，则（

）A．是周期为的周期函数 B．点是函数图象的对称中心C．的最大值为 D．直线是函数图象的对称轴【答案】BC【详解】A：由，因为的最小正周期为，的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故A错误；B：由，可得点是函数图象的对称中心，故B正确；C：因为，所以当时，即，则，当时，即，则，因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值，此时当，时，，当，，所以当时，即时有极大值，又，故C正确；D：因为，，且与关于直线对称，所以，所以不是函数的对称轴，故D错误.故选：BC.6．（多选）（2024·四川·一模）已知函数的最小正周期为，则（

）A．的最大值为2B．在上单调递增C．的图象关于点中心对称D．的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【详解】易知，其最小正周期为，所以，即，显然，故A正确；令，显然区间不是区间的子区间，故B错误；令，则是的一个对称中心，故C正确；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：ACD7.（多选）（2425高三·河北张家口·开学考试）已知函数，周期为，且满足，则（

）A．B．向右平移个单位变为偶函数C．在区间上单调递减D．在上有两个不相等的实数解【答案】BD【详解】由周期为，可得，故，由可得，故是的一个对称中心，故，结合，故，进而可得，故A错误，对于B，向右平移个单位得到为偶函数，故B正确，对于C，当时，则，故C错误，对于D，令，则或，,解得或，，当，此时有和，故D正确，故选:BD8．（多选）（2023·河北·三模）已知函数在的图像大致如下图，则（

）

A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象【答案】ABD【详解】对于A中，由函数过点(，可得，所以，解得，由图知，所以，所以，可得最小正周期为，所以A正确；对于B中，当时，可得，由余弦函数的性质，可得函数单调递减，所以B正确；对于C中，由函数的对称轴为，令，解得，所以不是的对称轴，所以C不正确；对于D中，将函数的图象向左平移个单位得到的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，又因为，所以D正确.故选：ABD.9．（多选）（2425高三·江西·开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．与的零点相同 D．与的单调递增区间相同【答案】BC【详解】对于AB，，函数图象的对称轴满足，函数图象的对称轴满足，两式相减得，因此，A错误，B正确；对于C，，因此与的零点相同，C正确；对于D，取，函数的递增区间为，函数的递增区间为，D错误.故选：BC10．（多选）（2425高三·江西九江·开学考试）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．与有相同的最小值C．直线为图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像【答案】ABD【详解】因为，对于选项A：的最小正周期，故A正确；对于选项B：与的最小值均为，故B正确；对于选项C：因为，可知直线不为图象的对称轴，故C错误；对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，得到，故D正确.故选：ABD.11．（多选）（2425高三·广东汕头·开学考试）函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且，下列叙述正确的是（

）A．函数的解析式为B．的一个对称中心，且在上单调递减C．向左平移个单位得到的图象关于y轴对称且D．对任意，恒成立时，满足条件的a值可为1【答案】ABD【详解】对于A，由题意可知，，∴，则，，的一条对称轴，,,或,当时,舍当时,,所以，A选项正确；对于B，所以的一个对称中心为，单调递减,在上单调递减,B选项正确；对于C，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得,即，得到的图象关于y轴对称,,C错误；对于D，对任意，恒成立时，满足条件的，当时，，故，所以,满足条件的a值可为1，D选项正确.故选:ABD.12．（多选）（2425高三·河北保定·开学考试）已知函数在上有最大值，无最小值，则（

）A．为奇函数B．在上单调递增C．是离轴距离最近的对称轴D．的最小正周期为【答案】CD【详解】.当时，，因为函数在上有最大值，无最小值，所以存在，使得整理得，，所以，解得.又因为，故，得，A.，所以函数不是奇函数，故A错误；B.当时，，所以函数在上单调递减，故B错误；C.令，，则，，所以离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确；D.的最小正周期为，故D正确.故选：CD13．（多选）（2425高三上·江苏常州·开学考试）已知函数图像的一条对称轴是，则（

）A．的最小正周期为B．C．函数图像的一个对称中心为D．若函数在上单调递减，则【答案】AD【详解】，则有，，解得，，因为，所以，所以，则的最小正周期为，故A正确；，故B错误；图像的一个对称中心为，故C错误；，当时，，若函数在上单调递减，则，解得，故D正确．故选：AD14．（2023·河南周口·模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增．在区间上单调递减，则的最大值为．【答案】【详解】，故向右平移a个单位长度后得到，所以，解得，，，，，，其中，，要想在上单调递增，在上单调递减，则，，，，解得，故，要想求出的最大值，只需，此时，即的最大值为.故答案为：题型八、根据条件确定解析式知识要点⑴知图求式（已知三角形函数的部分图像，求函数解析式）：利用函数的最值确定，利用函数的周期确定，利用特殊点确定.⑵知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）精准练习1．（多选）（2425高三·湖南衡阳·开学考试）已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是（

）

A．关于对称B．关于点对称C．在区间上单调递增D．在区间上的最大值为3【答案】AD【详解】由函数的部分图象，得函数的最小正周期，则，由，则，有，将点代入函数解析式可得，即，由，得，所以，当时，，有最大值，的图象关于对称，A选项正确；时，，，，的图象关于点对称，B选项错误；时，，不是正弦函数的单调区间，C选项错误；时，，则当，即时，有最大值，D选项正确.故选：AD.2．（多选）（2425高三·辽宁沈阳·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则【答案】AB【详解】由题图得，，又，所以，选项A正确；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因为，所以函数的图象关于点对称，选项B正确；令，，解得，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则函数在区间上先单调递减再单调递增，选项C错误；因为，，由，得，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则，解得，选项D错误．故选：AB．3．（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为【答案】BC【详解】由函数的部分图象可知：，又因为，即结合函数的单调性可得,故A错误；即所以,故B正确；所以．对于选项C：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：当时，，所以，即，故D错误；故选：BC．4．（多选）（2425高三·山东烟台·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，令，则（

）A．的一个对称中心是B．的对称轴方程为C．在上的值域为D．的单调递减区间为【答案】ABD【详解】由题图可得函数的最小值为，，又，，，所以，结合对称性可得函数的图象过点，所以，解得，又，所以，所以，所以，所以.对于A，当，，所以是的一个对称中心，故A正确；对于B，令，，可得，，故的对称轴方程为，，故B正确；对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C错误；对于D，令，解得，所以的单调递减区间为，故D正确.故选：ABD.5．（2425高三·四川泸州·开学考试）函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点，则函数的图象的对称轴方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意，因为函数图象与轴交点中相邻两个交点之间的距离为，所以，则，即，又图象过点，所以，即或，因为，所以.所以.由，解得，所以函数的图象的对称轴为.故选：A.6．（2425高三·江西南昌·开学考试）如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是图象的一个对称中心，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】将函数的图象向右平移个单位得的图象，由于分别是图象的一个对称中心，结合图象可知：,,故，由于所以，进而可得,故，解得，，故，故选：D7．（2425高三·河北秦皇岛·开学考试）如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】因为四边形的面积为，且，，梯形的高为2，故，解得，即.又直线过点，由对称性可得过点，即，即.又，可得，故.故.故选：A8．（2425高三·山西大同·开学考试）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为（

）A．－4 B．－2 C．4 D．2【答案】C【详解】因为相邻对称轴之间的距离为，故函数的最小正周期为，故，故，当时，，故，因为存在，，使得成立，所以即，故的最大值为4，故选：C9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在区间上单调递减，，由，得①.又，图象关于点对称，即②.由②①得，由于，则，代入①，即，由于，则，则．故选：C.10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知（为常数），，，且的最小值为，若在区间上恰有8个零点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，解得，设的最小正周期为，故，解得，因为，所以，故，当时，，令，得，画出的图象，如下：

要想在区间上恰有8个零点，且取得最小值，故，，且，两式相减得，.所以的最小值为.故选：D11．（2024·安徽·三模）已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，而，因此，即因为，所以由“五点法”作图得：，解得，由于,解得，故取，则，因此.因为，所以，.因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，，所以由和得：，，因此.故选：A12．（多选）（2024·山西太原·一模）如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（

）A．的图象不关于直线对称B．的最小正周期为C．的图像关于原点对称D．在单调递减【答案】ACD【详解】由题可，，，则，有，，，把代入上式，得，解得（负值舍去），，，由，解得，解得，，对A，，故A正确；对B：的最小正周期为，故B错误；对C：，为奇函数，故C正确；对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.故选：ACD.13．（多选）（2024·安徽·模拟预测）已知函数，对于任意，有，则（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上共有6个极值点【答案】ACD【详解】因为，所以，因此，从而，注意到，故，所以，又，所以的图象关于直线对称，从而，即，所以，又，所以，所以，所以的最小正周期为，故A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；当时，，故函数在上单调递减，故C正确；令，得，令，得，故，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数在上共有6个极值点，故D正确．故选：ACD．14．（多选）（2223高三上·河北唐山·开学考试）已知函数，曲线关于点中心对称，则（

）A．的最小正周期是B．在上递增C．在上有2个极值点D．曲线关于直线对称【答案】AB【详解】因为曲线关于点中心对称，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以函数的最小正周期是，故A正确；因为，所以，又函数在上单调递增，又在上单调递增，所以在上递增，故B正确；因为，，所以在上有1个极值点，故C错误；因为，又，所以曲线不关于直线对称，故D错误.故选：AB.15．（多选）（2425高三·湖南长沙·开学考试）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．的表达式可以写成B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C．的对称中心（，1），D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则【答案】AB【详解】对A，由图分析可知：得；由，得，即，又，所以，又，所以，即得，，又，所以，所以，故A正确；对B，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C，，令（）得（），所以对称中心（，1），，故C不正确；对于D，由，得，因为，所以，令，，，，，，解得，，，，，．又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，，再令，解得，则第7个根为，，故D错误．故选：AB．16．（2425高三·北京·开学考试）若函数的部分图象如图所示，则的值是【答案】【详解】根据函数的部分图象，可得，即的图象关于点对称，的最小正周期，又，，又，，.故答案为：.17．（2324高三·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论：①关于点对称；

②关于直线对称；③在区间上单调递减；④在区间上的值域为.正确结论的序号为.【答案】②③【详解】由图得，，故有，将点代入函数得，即，所以或，又，所以，故，又，所以，所以，又由图像可知，又，所以，所以，所以，对于①，因为，所以不关于点对称，故①错；对于②，因为，故②正确；对于③，令，解得，所以函数在区间上单调递减，故当时，函数在区间上单调递减，因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确；对于④，时，，所以，所以，所以在区间上的值域为，故④错误.故答案为：②③.题型九、三角函数图像变换知识要点由函数的图像变换为函数的图像．方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．的图像的图像的图像的图像.精准练习1．（2425高三·辽宁沈阳·开学考试）函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象故选：A．2．（2024·四川德阳·模拟预测）把函数图象上所有点先向左平移个单位长度，再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将所得曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.故选：D.3．（2024·河南·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得的图象关于点对称，即对任意，有，取，可得，即．故，令，，可得的图象的对称轴为，．故选：D．4．（2425高三·浙江·开学考试）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的后，得到函数的图象.则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，将函数图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，可得函数的图象，所以，故.故选：C.5．（2223高三·贵州黔东南·开学考试）若函数的图象向左平移个单位长度后，恰好得到函数的图象，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，将的图象向左平移个单位长度，得，所以，即，当时，，当时，，当时，，所以ABC错误，D正确.故选：D6．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【详解】由题意得，又所以，所以，，又因为，所以的最小值为.故选：A.7．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，其中，因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数，所以，所以.故选：A.8．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即因为，所以，因为在上无零点，所以，即，解得，因为，所以，.故选：A9．（2425高三·云南·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，所以，故，又，故，故选：B.10．（2425高三·浙江·开学考试）已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（

）个单位长度后可以得到的图象A． B． C． D．【答案】A【详解】由函数的最小正周期为，可得，因为，可得，可得，即，又，当时，可得，所以，将向左平移个单位，可得函数.故选：A.11.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，所得图象对应的函数为，对于A，，A不是；对于B，，B是；对于C，，C不是；对于D，，D不是.故选：B12．（多选）（2425高三·广西贵港·开学考试）将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A．为偶函数B．的最小正周期为C．与在上均单调递减D．函数在上有5个零点【答案】ACD【详解】对A，，显然为偶函数，A正确；对B，由题知，，则最小正周期，B错误；对C，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；对D，由得，所以或，即或，因为，所以，所以函数在上有5个零点，D正确.故选：ACD13．（多选）（2425高三·贵州·开学考试）已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（

）A．B．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C．的图象关于点对称D．在上单调递增【答案】BC【详解】因为，所以，所以，而将的图象平移后能与函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，此时，向右平移个单位长度后，设得到的新函数为，，由正弦函数性质得是奇函数，故B正确，令，解得，当时，，所以的图象关于点对称，故C正确，由题意得，，，所以在上不单调，故D错误.故选：BC14．（2425高三·全国·阶段练习）将函数向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最接近的对称中心的坐标是【答案】【详解】首先求出平移后的解析式，可得，而正弦函数的对称中心就是正弦函数时的所有点，因此我们令因此令，从而进而距离y轴更近，所以对称中心的坐标为.故答案为：15．（2024·四川达州·二模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.若，则的最小值为.【答案】【详解】，向左平移个单位得到，，故，故，，解得，，又，故当时，取得最小值，最小值为.故答案为：16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则．【答案】【详解】由已知，其中，为锐角，又，其中，，为锐角，都为锐角，且，因此，要把的图象向左平移个单位长度得到的图象，则，，故答案为：．题型十、三角函数模型知识要点三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．精准练习1．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，即，所以，因为，所以，故，解得，所以，将代入得，，故，所以点N的纵坐标为.故选：D2．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，因为，可得，由题意可知：均与y轴垂直，且，作垂足为，则，因为，即，解得；又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.故选：B.3．（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．质点在内的位移图象为单调递减D．质点在内走过的路程为【答案】C【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误；令，所以，又，所以，因为，所以或.又，所以，所以.故B错误；由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，，且在内单调递减，因为，所以在上单调递减，故C正确；由图象得该质点在内的路程为，故D错误.故选：C.4．（2324高一·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（

）

A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角，由在内转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距地面的高度为，故选：A.5．（2024高三·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，则，，由，可知是函数的一条对称轴方程，则，解得，可知的取值不影响单调区间，不妨取，所以，令，解得，可知其单调增区间是，令，解得，可知其减区间是，所以函数的单调区间为.故选：A.6．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．【答案】A【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设函数表示游客离底面的高度，因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，周期，，所以，即，当时，游客在点，其中以为终边的角为，所以，当时，可得所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.故选：A.7．（2024·北京东城·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：音宫商角徵羽频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（

）A．宫 B．商 C．角 D．徵【答案】C【详解】由题意可知：，可得，则，结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，所以小明弹奏的音是“角”.故选：C.8．（多选）（2425高三·湖北·开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（

）A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00【答案】ABD【详解】解：依题意，，，解得，显然函数的图象过点，即，又，因此，所以函数表达式为，，故A对；依题意，，整理得，即有，即,解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为，故C错；该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，该船符合安全条例的最小水深为函数与的图象交于点，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.故选：ABD.9．（多选）（2024·福建·模拟预测）小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】依题意，绘出示意图如图所示易知，当且仅当在喷洒范围与行进路线重叠的危险区域内，小竹可能被淋湿.由于洒水桩最初面朝正东方向，不妨以洒水桩为起点向面朝方向作射线，即可将问题转化为小竹（用点代替）与该射线在行进路线上的交点不重合的问题.设时间为t秒以洒水桩为原点，正东方向、正北方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.AI

则小竹行进路线的方程为，由每3秒旋转一周循环转动知t秒旋转，因为，结合题意可知，因为水柱所在射线与行进路线的交点纵坐标为，又因为小竹（用点代替）的纵坐标为，故可将原问题转化为图像，，与图像的交点问题，即求当v为何值时两图像无交点，

由图可得：.结合选项可知：AC错误；BD正确.故选：BD.10．（多选）（2024·云南曲靖·二模）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，水面在筒车圆弧内的宽度为.记筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：，在水面以下时），若在盛水筒某次刚出