18231正方形的性质-2021-2022学年八年级数学下学期训练(人教版)（原卷版）

§18.2.3.1正方形的性质知识导航正方形的定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形.注意：正方形既是矩形，也是菱形.正方形的性质（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角重难点突破重点1利用正方形的性质求线段长度如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（

）A．1 B． C．2 D．变式11如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．变式12如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_____．变式13如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．重点点拨：由于正方形的两条对角线互相垂直，因此在解决正方形中的线段的长度问题时，常常利用勾股定理解答.重点2重点点拨：由于正方形的两条对角线互相垂直，因此在解决正方形中的线段的长度问题时，常常利用勾股定理解答.如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°变式21如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是______．变式22如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（

）A．35° B．40° C．45° D．50°变式23正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝______．重点点拨：重点点拨：利用正方形的性质进行角度计算时，有时候要用到等腰三角形和等边三角形的性质.重点3利用正方形的性质解决与面积有关的问题如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．变式31如图，正方形中，垂直于，且，，则阴影部分的面积是A．16 B．18 C．19 D．21变式32正方形OGHK绕边长为10cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为(

)A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2变式33七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．重点点拨：重点点拨：在解决与正方形有关的面积问题时，常常结合轴对称、等腰直角三角形以及全等三角形的性质和判定来求解.重点4利用正方形的性质进行证明如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．求证：（1）AE＝BF；AE⊥BF．变式41如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．（1）证明：；（2）连接，证明：．变式42如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．（1）求证：≌．（2）若，，求正方形的边长．重点点拨：重点点拨：根据正方形的性质可以得到许多边、角的等量关系，故正方形与全等三角形经常结合在一起考察，充分利用正方形的性质是解题的关键.提升训练下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（

）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（

）A．当是矩形时，B．当是菱形时，C．当是正方形时，D．当是菱形时，顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF面积为108，则△ABF面积为（

）A．18 B．36 C．18 D．36如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个若一个正方形的对角线长是2cm，则它的面积是如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝_____°．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE的最小值为______________如图，PA＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为_________．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；