河南省青桐鸣2023-2024学年高二下学期5月大联考试题数学

2025届普通高等学校招生全国统一考试高二联考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列的首项为，则（）A.3B.6C.18D.362.已知随机变量，则（）3.若等差数列的前项和为，对，都有，则（）A.B.C.D.4.在直三棱柱中，，则与平面所成的角为（）A.B.C.D.5.已知双曲线的左焦点为，点为双曲线的渐近线在第一象限上的一点，为坐标原点，，直线交另一条渐近线于点，且为的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.46.已知点是圆上一点，直线交圆2于两点，且，则（）A.0B.1C.D.7.甲､乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为0.6，在区域投中的概率为0.3；乙在区域投中的概率为0.8，在区域投中的概率为0.2.已知甲､乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（）A.B.C.D.8.如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.已知正方体的棱长为是正方体的面上一点，则下列说法正确的是（）A.线段上存在点，使得B.若点在线段上，则C.若，则D.若点在线段上，则点到平面的距离为11.已知，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线的焦点为是上的一点，则__________.13.过点可作的斜率为1的切线，则实数__________.14.已知数列的通项公式为，则数列的前项和__________.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）当时，研究的单调性；（2）若在其定义域上有且仅有两个零点，求的取值范围.16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的正弦值.17.（15分）已知甲､乙两个不透明的盒子里共有7个质地､大小均相同的小球，甲盒中有2个红球､1个白球；乙盒中有2个红球､2个白球.现从两个盒子里同时各随机抽取1个球进行交换，经过次这样的交换后，甲盒中白球的个数为，且每次交换互不影响，记.（1）求的分布列及的值；（2）求的通项公式.18.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为是椭圆在第一象限上的点，满足.（1）求椭圆的方程；（2）过直线上的一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，证明：.19.（17分）若集合，集合，其中.，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”.（1）求所有满足条件的集合的个数；（2）若且互不相等，证明：为定值.2025届普通高等学校招生全国统一考试高二联考数学参考答案1.D【解析】由题意得，，又，故.故选D.2.C【解析】.故选C.3.B【解析】当时，，则3；当时，，则，设公差为，可得解得，故.故选B.4.A【解析】由题意，，可知平面，则平面，即为所求线面角，不妨设，则，，故，故.故选A.5.D【解析】如图，由渐近线的定义可知，点的坐标为，故点的坐标为，代入得，解得，故.故选D.6.A【解析】由得，点到直线的距离为，且1，故，解得或1，当时，；当时，，故.故选A.7.D【解析】设“甲､乙共投中3次”为事件，“甲恰好投中2次”为事件，则0.2088，故.故选D.8.C【解析】由题意得，，故，则.故选C.9.BCD【解析】令，则，故A错误；，故的系数为，即，故B正确；的系数为，即，故C正确；令，则，故D正确.故选BCD.10.ABD【解析】对于选项，取为的中点，则，故A正确；对于选项，由于平面，而平面，故，故B正确；对于选项，在中，，又，故，故C错误；对于选项，，则平面，设到平面的距离为，则，故，故D正确.故选ABD.11.AD【解析】对于A选项，当时，，令，故为减函数，，可得，故，故，即，故A正确；对于B选项，当时，，故B错误；对于选项，当时，，故C错误；对于D选项，当时，，，故D正确.故选AD.12.10【解析】将代入抛物线方程，解得，故.13.22ln2【解析】设切点的横坐标为，由，解得，故，将切点代入切线方程，解得.14.【解析】由题意得，，故.15.解：（1）当时，，则，故在上单调递增.（2），当时，，即在上单调递增，不合题意；当时，令，得，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又当时，；当时，，故当且仅当时，恰有两个零点，即故，即的取值范围为.16.解：（1）证明：取的中点为，连接，由且，得四边形为平行四边形，故，故，即.又平面平面，平面平面，故平面因为平面，故.在中，作于点，则由平面平面，平面平面，得平面，又平面，故，又平面，故平面.（2）取的中点为，连接，则，又平面平面，平面平面，故平面.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即取，则，故，故，故二面角的平面角的正弦值为.17.解：（1）第1次交换后，，，.故的分布列为012故.（2）设第次交换后，的分布列为0123故.设第次交换后，的分布列为0123其中，，，故，故，故是以为首项，为公比的等比数列，故，得.18.解：（1）设，由，得解得代入椭圆的方程得，解得，故，故椭圆的方程为.（2）证明：设，设直线的方程为，即，代入椭圆的方程整理得，，，即.而，故，故直线的方程为，即.同理直线的方程为.而同时在直线上，故故都在直线2上，即直线的方程为.当时，直线的斜率，又，故，故当时，易知直线的方程为，又因为直线的方程为，显然，综上所述，.19.解：（1）将集合分成10个2元子集，，，其中每个集合中两元素之和均为21，故从中各取1个元素，作为集合的元素，则