2025届陕西省高三上学期开学校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省2025届高三上学期开学校际联考数学试题第I卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，故A正确.故选：A.2.若复数，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗可得,故充分性不成立，当可得，故必要性成立故选：B.4.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（）A.90 B.92.5 C.85 D.95〖答案〗B〖解析〗10名学生成绩从低到高依次为：，且，故第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数.故选：B.5.若函数的图象如图所示，则的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据函数图象可得函数为偶函数，A选项，B选项，所以AB选项为奇函数，故AB选项不正确；根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.故选：D.6.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种 B.360种 C.480种 D.504种〖答案〗C〖解析〗先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C.7.由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圆的方程，得圆心，半径，如图，切线长，当最小时，最小，最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：C.8.已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以当时，所以，即的取值范围是.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于函数和，下列说法正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最值C.与有相同的周期 D.的图象与的图象有相同的对称轴〖答案〗ABC〖解析〗A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然有相同零点，A选项正确；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的一个周期为，显然也是的一个周期，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：ABC.10.已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（）A.为等差数列 B. C. D.当时，有最大值〖答案〗AD〖解析〗由得，且，所以是以首项为公差为-2的等差数列，故A正确；所以，故B错误；，故C错误；，因为时，所以当时有最大值，为，故D正确.故选：AD.11.已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（）A.曲线E与C仅有一个公共点 B.点P轨迹为椭圆C.的最小值为1 D.当点P在l上时，〖答案〗ABC〖解析〗由题意，圆的圆心，抛物线的焦点为，准线，因为，所以点P的轨迹为椭圆，其中，可得，所以，所以椭圆的方程为，所以B正确；联立方程组其中，整理得，解得或（舍去），所以曲线和只有一个公共点，所以A正确；设点是椭圆上的任意一点，则，其中，则，当时，取得最小值，最小值为，即取得最小值为，所以C正确；联立方程组，解得，即点，可得，所以D错误故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则实数_______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.13._______．〖答案〗〖解析〗.14.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______．〖答案〗〖解析〗如图，作，，，因为正四棱台，，所以，，而在面中，所以，故四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形，而，所以平行四边形是矩形，所以，，由题意得，所以，故，因为，所以，解得，由勾股定理得，所以，同理可得，因为四边形是平行四边形，所以，故，由勾股定理得，所以，设正方形面积为，正方形面积为，四棱台体积为，所以，，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角的对边分别为，已知．（1）求角C的大小；（2）求的值．解：（1），，．（2），，，．16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的值域．解：（1）函数定义域为R，，由，得；由，得或，故函数的递增区间为，递减区间为和．（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，，又,函数在上的值域为．17.如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的大小．（1）证明：分别为的中点，，四边形为正方形，，则，平面不在平面内，平面；（2）解：四边形为正方形，，平面平面，两两垂直，故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则即得令，则，则，设直线与平面所成角为，sinθ=|cos<PB由，故直线与平面所成角的大小为．18.已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．（1）解：不妨设双曲线C的半焦距为，，，解得，则，故双曲线C的方程为；（2）证明：设，则，为双曲线C上的两点，两式相减得，整理得，则，故为定值，定值为4．19.如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为．（1）记质点移动5次后位于8位置的概率为，求的最大值及最大值点；（2）若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为．（i）求；（ii）证明：是等比数列，并求．（1）解：由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，，，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减，，此时．（2）（i）解：，则．（ii）证明：由题意，，，是首项为，公比为的等比数列，故，．陕西省2025届高三上学期开学校际联考数学试题第I卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，故A正确.故选：A.2.若复数，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗.故选：C.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗可得,故充分性不成立，当可得，故必要性成立故选：B.4.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（）A.90 B.92.5 C.85 D.95〖答案〗B〖解析〗10名学生成绩从低到高依次为：，且，故第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数.故选：B.5.若函数的图象如图所示，则的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据函数图象可得函数为偶函数，A选项，B选项，所以AB选项为奇函数，故AB选项不正确；根据函数图象可得，而C选项，D选项，所以C选项不正确，D选项正确.故选：D.6.亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种 B.360种 C.480种 D.504种〖答案〗C〖解析〗先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.故选：C.7.由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圆的方程，得圆心，半径，如图，切线长，当最小时，最小，最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值.故选：C.8.已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以当时，所以，即的取值范围是.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于函数和，下列说法正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最值C.与有相同的周期 D.的图象与的图象有相同的对称轴〖答案〗ABC〖解析〗A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然有相同零点，A选项正确；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的一个周期为，显然也是的一个周期，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：ABC.10.已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（）A.为等差数列 B. C. D.当时，有最大值〖答案〗AD〖解析〗由得，且，所以是以首项为公差为-2的等差数列，故A正确；所以，故B错误；，故C错误；，因为时，所以当时有最大值，为，故D正确.故选：AD.11.已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（）A.曲线E与C仅有一个公共点 B.点P轨迹为椭圆C.的最小值为1 D.当点P在l上时，〖答案〗ABC〖解析〗由题意，圆的圆心，抛物线的焦点为，准线，因为，所以点P的轨迹为椭圆，其中，可得，所以，所以椭圆的方程为，所以B正确；联立方程组其中，整理得，解得或（舍去），所以曲线和只有一个公共点，所以A正确；设点是椭圆上的任意一点，则，其中，则，当时，取得最小值，最小值为，即取得最小值为，所以C正确；联立方程组，解得，即点，可得，所以D错误故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则实数_______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.13._______．〖答案〗〖解析〗.14.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______．〖答案〗〖解析〗如图，作，，，因为正四棱台，，所以，，而在面中，所以，故四边形是平行四边形，同理可得四边形是平行四边形，而，所以平行四边形是矩形，所以，，由题意得，所以，故，因为，所以，解得，由勾股定理得，所以，同理可得，因为四边形是平行四边形，所以，故，由勾股定理得，所以，设正方形面积为，正方形面积为，四棱台体积为，所以，，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角的对边分别为，已知．（1）求角C的大小；（2）求的值．解：（1），，．（2），，，．16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的值域．解：（1）函数定义域为R，，由，得；由，得或，故函数的递增区间为，递减区间为和．（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，，又,函数在上的值域为．17.如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若