2024-2025学年安徽省A10联盟高二上学期开学摸底考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期开学摸底考数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得或，故，故，故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由可得，由可得或，故能得到，同时也无法推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（）A.86 B.87 C.88 D.90〖答案〗B〖解析〗将数据从小到大排序得，因为，所以第75百分位数是．故选：B．4.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A. B.事件A与事件B互斥C.事件A与事件B相互独立 D.〖答案〗C〖解析〗依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；事件B含有的基本事件有8个：，其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，即事件A与事件B相互独立，C正确；，D不正确.故选：C.5.已知，，若，则实数m的值为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗，即，，故，则，由于，故，解得或，因为，所以，故，即，解得.故选：C.6.已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，在上的投影向量为，故，故，所以，则在上的投影向量为.故选：A.7.已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则故，令，则或，由〖解析〗式知：在上递减且值域，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．作出的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，由图知：，且，则，由对勾函数可知在上递减，故,故,故选：C.8.在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以，由三角形面积公式得，解得，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，则的外接圆半径为.故选：D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.虚部为1B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1〖答案〗AC〖解析〗A选项，，故的虚部为1，A正确；B选项，，故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误；C选项，，故，C正确；D选项，若，，故，，则，故，当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误.故选：AC.10.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.C.当时，的值域为D.若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗由，得故，由于为奇函数，故，由于，故取，则，故，对于A，最小正周期为，A错误，对于B，由于，故B正确，对于C，当时，则，故，故的值域为1,2，C正确，对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确，故选：BCD.11.如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（）A.当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值B.当在直线上运动时，与所成角的取值范围为C.使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为D.若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时,又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角，当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为，当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误；对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则,故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确；分别取、、、、的中点、、、、，由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②,由中位线定理，，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，所以平面平面，在底面内运动,所以轨迹为线段，取中点，连接,则平面，故,故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时,故最小为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若则______．〖答案〗〖解析〗由，则，因此.13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，，又，所以，所以，所以，所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）.14.已知是球O的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球O的表面积为______．〖答案〗〖解析〗取中点，由于，，故,则四边形为平行四边形，故，同理可得，故，故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，则四边形为矩形，故球心在的中点，设球的半径，，根据球的性质得，，故，故表面积为．四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.（2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.解：（1）由题意知，，所以，所以满意度得分的平均值为，因为，，所以第百分位数位于第三个区间内，所以第百分位数为分.（2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，则总样本平均数，由方差的定义，样本总方差为：,所以，所以总样本的平均数为，方差为.16.已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求周长的取值范围．解：（1）由正弦定理得，则，所以，即，由于，所以，所以，则，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形周长为，由于三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周长的取值范围是.17.如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．（1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；（2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上．①求证：平面；②当时，求直线与平面所成的角的余弦值．解：（1）如图，取是线段的中点，连接，，因为点是线段的中点，所以，，因为，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）①由题意可知平面，平面，故，又平面，故平面②由于平面，故为直线与平面所成的角，，，故,,则，故,故直线与平面所成的角的余弦值为.18.设函数，．（1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；（2）求证：；（3）若在区间上的最小值为，求的值．解：（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数；因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增；（2）因为，，所以可得；（3）由,令，由，则，又，则令，对称轴，当，即时，，解得，当，即时，，解得，又，因此不符合题意，当，即时，，解得，综上知，.19.对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”．（1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；（2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1），其中.（2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下：，只需，则，即，整理得，因为，，所以，，，则，所以，则，所以，即，整理得，故，因，所以，，则，，检验，将，代入得，满足要求，故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，此时.安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期开学摸底考数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得或，故，故，故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由可得，由可得或，故能得到，同时也无法推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（）A.86 B.87 C.88 D.90〖答案〗B〖解析〗将数据从小到大排序得，因为，所以第75百分位数是．故选：B．4.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A. B.事件A与事件B互斥C.事件A与事件B相互独立 D.〖答案〗C〖解析〗依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；事件B含有的基本事件有8个：，其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，即事件A与事件B相互独立，C正确；，D不正确.故选：C.5.已知，，若，则实数m的值为（）A. B. C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗，即，，故，则，由于，故，解得或，因为，所以，故，即，解得.故选：C.6.已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，在上的投影向量为，故，故，所以，则在上的投影向量为.故选：A.7.已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则故，令，则或，由〖解析〗式知：在上递减且值域，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．作出的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，由图知：，且，则，由对勾函数可知在上递减，故,故,故选：C.8.在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以，由三角形面积公式得，解得，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，在中，由余弦定理得，故，则的外接圆半径为.故选：D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.虚部为1B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1〖答案〗AC〖解析〗A选项，，故的虚部为1，A正确；B选项，，故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误；C选项，，故，C正确；D选项，若，，故，，则，故，当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误.故选：AC.10.把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.C.当时，的值域为D.若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗由，得故，由于为奇函数，故，由于，故取，则，故，对于A，最小正周期为，A错误，对于B，由于，故B正确，对于C，当时，则，故，故的值域为1,2，C正确，对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确，故选：BCD.11.如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（）A.当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值B.当在直线上运动时，与所成角的取值范围为C.使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为D.若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时,又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角，当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为，当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误；对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则,故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确；分别取、、、、的中点、、、、，由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②,由中位线定理，，平面，平面，所以平面，同理平面，且，平面，所以平面平面，在底面内运动,所以轨迹为线段，取中点，连接,则平面，故,故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时,故最小为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若则______．〖答案〗〖解析〗由，则，因此.13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米.〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，，又，所以，所以，所以，所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）.14.已知是球O的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球O的表面积为______．〖答案〗〖解析〗取中点，由于，，故,则四边形为平行四边形，故，同理可得，故，故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，则四边形为矩形，故球心在的中点，设球的半径，，根据球的性质得，，故，故表面积为．四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.（2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.解：（1）由题意知，，所以，所以满意度得分的平均值为，因为，，所以第百分位数位于第三个区间内，所以第百分位数为分.（2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，则总样本平均数，由方差的定义，样本总方差为：,所以，所以总样本的平均数为，方差为.16.已知锐角的三个角A，B，C的对