北京市清华大学附中2025届高一上数学期末综合测试试题含解析_第1页
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文档简介

北京市清华大学附中2025届高一上数学期末综合测试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.函数的最小值为()A.1 B.C. D.2.为了得到函数的图象,可以将函数的图象A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位3.集合,集合,则等于()A. B.C. D.4.若过两点的直线的斜率为1,则等于()A. B.C. D.5.下列函数中,既在R上单调递增,又是奇函数的是()A. B.C. D.6.函数lgx=3,则x=()A1000 B.100C.310 D.307.若,,,则a,b,c的大小关系是A. B.C. D.8.过点且与直线垂直的直线方程为A. B.C. D.9.已知,,,则a,b,c的大小关系是()A. B.C. D.10.函数图象一定过点A.(0,1) B.(1,0)C.(0,3) D.(3,0)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知扇形的圆心角为,扇形的面积为,则该扇形的弧长为____________.12.函数是幂函数,且在上是减函数,则实数__________.13.设向量,,则__________14.若f(x)为偶函数,且当x≤0时,,则不等式>的解集______.15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是__________16.化简_____三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知幂函数过点(2,4)(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2],求不等式的解集.18.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为,田忌的三匹马分别为.三匹马各比赛一次,胜两场者为获胜.若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示:.(1)如果双方均不知道对方马的出场顺序,求田忌获胜的概率;(2)为了得到更大的获胜概率,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出上等马,那么,田忌应怎样安排出马的顺序,才能使自己获胜的概率最大?最大概率是多少?19.求函数在区间上的最大值和最小值.20.已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.21.已知为角终边上的一点(1)求的值(2)求的值

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据对数的运算法则,化简可得,分析即可得答案.【详解】由题意得,当时,的最小值为.故选:D2、D【解析】因为,所以将函数的图象向左平移个单位,选D.考点:三角函数图像变换【易错点睛】对y=Asin(ωx+φ)进行图象变换时应注意以下两点:(1)平移变换时,x变为x±a(a>0),变换后的函数解析式为y=Asin[ω(x±a)+φ];(2)伸缩变换时,x变为(横坐标变为原来的k倍),变换后的函数解析式为y=Asin(x+φ)3、B【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】由题得.故选:B4、C【解析】根据斜率的计算公式列出关于的方程,由此求解出.【详解】因为,所以,故选:C.5、B【解析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.【详解】是奇函数,但在R上不单调递增,故A不满足题意;既在R上单调递增,又是奇函数,故B满足题意;、不是奇函数,故C、D不满足题意;故选:B6、A【解析】由lgx=3,可得直接计算出结果.【详解】由lgx=3,有:则,故选:A【点睛】本题考查对数的定义,属于基础题.7、C【解析】由题意,根据实数指数函数性质,可得,根据对数的运算性质,可得,即可得到答案.【详解】由题意,根据实数指数函数的性质,可得,根据对数的运算性质,可得;故选C【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用,其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质,合理得到的取值范围是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.8、D【解析】所求直线的斜率为,故所求直线的方程为,整理得,选D.9、B【解析】根据指数函数的单调性分析出的范围,根据对数函数的单调性分析出的范围,结合中间值,即可判断出的大小关系.【详解】因为在上单调递减,所以,所以,又因为且在上单调递增,所以,所以,又因为在上单调递减,所以,所以,综上可知:,故选:B.【点睛】方法点睛:常见的比较大小的方法:(1)作差法:作差与作比较;(2)作商法:作商与作比较(注意正负);(3)函数单调性法:根据函数单调性比较大小;(4)中间值法:取中间值进行大小比较.10、C【解析】根据过定点,可得函数过定点.【详解】因为在函数中,当时,恒有,函数的图象一定经过点,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质,属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型:(1)指数型,主要借助过定点解答;(2)对数型:主要借助过定点解答.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径,再带入弧长计算公式即可得出结果【详解】解:由于扇形的圆心角为,扇形的面积为,则扇形的面积,解得:,此扇形所含的弧长.故答案为:.12、2【解析】根据函数为幂函数求参数m,讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数,即可确定m值.【详解】由题设,,即,解得或,当时,,此时函数在上递增,不合题意;当时,,此时函数在上递减,符合题设.综上,.故答案为:213、【解析】,故,故填.14、【解析】由已知条件分析在上的单调性,利用函数的奇偶性可得,再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】f(x)为偶函数,且当x≤0时,单调递增,当时,函数单调递减,若>,f(x)为偶函数,,,同时平方并化简得,解得或,即不等式>的解集为.故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于中档题.15、【解析】利用函数的图象变换规律,先放缩变换,再平移变换,从而可得答案【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数的图象;再将的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是的图象,故答案为:16、-2【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【详解】.故答案为:.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)先设幂函数解析式为,再由函数过点(2,4),求出,即可得出结果;(2)先由不等式的解集为[1,2],求出,进而可求出结果.【详解】(1)设幂函数解析式为因为函数图像过点(2,4),所以所以所求解析式为(2)不等式的解集为[1,2],的解集为,和是方程的两个根,,,因此;所以不等式可化,即,解得,所以原不等式的解集为.【点睛】本题主要考查函数的解析式,以及一元二次不等式解法,属于基础题型.18、(1)(2)田忌按或的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大【解析】(1)齐王与田忌赛马,有六种情况,田忌获胜的只有一种,故田忌获胜的槪率为.(2)因齐王第一场必出上等马,若田忌第一场必出上等马或中等马,则剩下二场,田忌至少输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马,在余下的两场比赛中,田忌获胜的概率为(余下两场是齐王的中马对田忌上马和齐王的下马对田忌的上马;齐王的中马对田忌下马和齐王的下马对田忌的中马,前者田忌赢,后者田忌输)解析:记与比赛为,其它同理.(1)齐王与田忌赛马,有如下六种情况:;;;;;;其中田忌获胜的只有一种:.故田忌获胜的槪率为.(2)已知齐王第一场必出上等马,若田忌第一场必出上等马或中等马,则剩下二场,田忌至少输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马,后两场有两种情形:①若齐王第二场派出中等马,可能的对阵为:或.田忌获胜的概率为,②若齐王第二场派出下等马,可能的对阵为:或.田忌获胜的概率也为.所以,田忌按或的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大.19、最大值53,最小值4【解析】先化简,然后利用换元法令t=2x根据变量x的范围求出t的范围,将原函数转化成关于t的二次函数,最后根据二次函数的性质求在闭区间上的最值即可【详解】∵,令,,则,对称轴,则在上单调递减;在上单调递增.则,即时,;,即时,.【点睛】本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及利用换元法转化成二次函数求解值域的问题,属于基础题20、(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7};(2)见解析.【解析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A;(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an-bn≤-1.由题意可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1],再利用等比数列的前n项和公式即可得出试题解析:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤(q-1)+(q

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