2025届河北省鹿泉第一中学高二上数学期末考试试题含解析

2025届河北省鹿泉第一中学高二上数学期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（）A. B.C. D.2．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()A.960 B.720C.640 D.3203．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值5．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为A. B.C. D.6．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.7．在中，内角的对边分别为，若，则角为A. B.C. D.8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.10．已知双曲线，过左焦点且与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若弦的长恰等于实铀的长，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）A B.C. D.12．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线的距离为______.14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________15．已知向量，，若向量与向量平行，则实数______16．各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：当时，函数恒成立.（1）若p为真，求实数t的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数t的取值范围18．（12分）为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“”模式，开展了内容丰富、形式多样、有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名、女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.（1）调查结果显示：有的男学生和的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边列联表.并判断是否有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？愿意参加体育活动情况性别愿意参加体育类活动不愿意参加体育类活动合计男学生女学生合计（2）在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635参考公式：，其中.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值20．（12分）椭圆C：的左右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.（1）当P为椭圆C的上顶点时，求的余弦值；（2）直线与椭圆C交于A，B，若，求k21．（12分）如图，在正方体中，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.22．（10分）已知数列的前项和为，并且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由空间向量共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.故选：C【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.2、D【解析】由分层抽样各层成比例计算即可【详解】设高二年级学生人数为,则,解得故选:D3、A【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：由可得，所以，在，，可得由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在中，，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角4、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：5、D【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.故答案为D.【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.6、B【解析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.【详解】解：根据题意，设，所以①，②，所以，①②得：，即，因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，所以，即，所以抛物线，准线方程为.故选：B7、A【解析】因为，那么结合，所以cosA==，所以A=，故答案为A考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.8、D【解析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.9、A【解析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量的运算求出线面角的正弦值【详解】取AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设三棱柱的棱长为2，则，∴设为平面的一个法向量，由故令，得设直线AD与平面所成角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为故选A【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理．在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角．解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误10、B【解析】求出，进而求出，之间的关系，即可求解结论【详解】解：由题意，直线方程为：，其中，因此，设，，，，解得，得，，弦的长恰等于实轴的长，，，故选：B11、C【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，，为等边三角形，则，即，因此，.故选：C.12、C【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.【详解】设等比数列的公比为，可得出.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直接利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】点到直线的距离为.故答案为：.14、m≥6【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因为，要使p是q的充分条件，则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，令，则在上单调递增，故当时取到最大值6，所以m≥6故答案为：m≥6【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题15、2【解析】先求出的坐标，进而根据空间向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，，因为，所以存在实数使得.故答案为：2.16、【解析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得：，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答.(2)求命题q真时的t值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答.【小问1详解】因方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则有，解得，所以实数t的取值范围是.【小问2详解】，则有，当且仅当，即时取“=”，即，因当时，函数恒成立，则，解得，命题q为真命题有，因为假命题，且为真命题，则与一真一假，当p真q假时，，当p假q真时，，所以实数t的取值范围是.18、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有的男学生和的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算的值，再与临界值表对照下结论；（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.【小问1详解】解：因为初一共有700名学生其中男生400名、女生300名，且有的男学生和的女学生，所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名，则列联表如下：愿意参加体育活动情况性别愿意参加体育类活动不愿意参加体育类活动合计男学生300100400女学生200100300合计500200700，所以有的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关；【小问2详解】这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示，抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，所以，,所以随机变量X分布列如下：X0123p19、（1）详见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，易证四边形是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求得平面MBC的一个法向量，易知平面ABCD的一个法向量为：，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取PD的中点E，连接ME，CE，因为底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小问2详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面MBC的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面ABCD的一个法向量为：，所以，所以平面MBC与平面ABCD的夹角的余弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求顶角的余弦值.（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理结合弦长公式可求的值.【小问1详解】当为椭圆的上顶点时，，在中，由余弦定理知.【小问2详解】设，，将直线与椭圆:联立得：，因为直线过焦点，故恒成立，又，由弦长公式得，化简整理得：，解得.21、证明见解析【解析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接.∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是的中点，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）连接，，∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.又∵是