7.2-7.3 离散型随机变量 -(选择性必修第二、三册) (教师版)

离散型随机变量一离散型随机变量及其分布列1随机变量①概念一般地，对于随机试验样本空间Ω中每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.②分类随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.Eg:投掷一个骰子，得到的点数为X，它是离散型随机变量，能够一一列举出来；一人一天摄取的卡路里Y，它是连续型随机变量.2分布列①概念一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,⋯,xiXxx⋯x⋯xPpp⋯p⋯p为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.②性质离散型随机变量的分布列具有下述两个性质13两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1−pp则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.二离散型随机变量的数字特征1离散随机变量的均值（数学期望）(1)概念一般地，随机变量X的概率分布列为Xxx⋯x⋯xPpp⋯p⋯p则称EX=x它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是变量Yaa⋯a⋯aPpp⋯p⋯p则E(Y)=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.(利用期望的概念可以证明)(3)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E即若X服从两点分布，则E(X)=p.2离散型随机变量取值的方差和标准差（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为Xxx⋯x⋯xPpp⋯p⋯p则称D为随机变量X的方差，有时候也记为V(x)，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.(2)一般地，D(aX+b)=a(3)DX=E(X证明D=====E=E=E(【题型一】离散型随机变量的分布列性质【典题1】设随机变量ξ的分布列如表：ξ123456Paaaaaa其中a1,aA．最大值为19B．最大值为136C．最小值为19【解析】a1+a2+所以a1a6所以a1a6故选：B．【典题2】设随机变量ξ的分布列为P(ξ=kA．15a=1 B．P(0.5<ξ<0.8)=0.2 C．P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D．P(ξ=1)=0.3【解析】由题意可得a+2a+3a+4a+5a=1，即15a=1，故A正确；P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=35)=3a=P(0.1<ξ<0.5)=p(ξ=15)+p(ξ=Pξ=1=1故选：ABC．【点拨】离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：1巩固练习1(★)若随机变量X的分布列如表：X﹣3﹣20123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<m)=0.5时，m的取值范围是()A．m≤2 B．0<m≤1 C．0<m≤2 D．1<m<2【答案】B【解析】由题意可得P(X<－2)=0.1，P(X<0)=0.3，P(X<1)=0.5，则m∈(0，1]．故选：B．2(★)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k4)=ak(k=1,2,3,4)A．15 B．14 C．13 【答案】D【解析】∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k∴a+2a+3a+4a=1，解得a=0.1，∴P(13<ξ<45)=P(ξ=2故选：D．3(★)已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣2﹣10123P112312412112212112若P(ξ2<x)=A．4<x≤9 B．4≤x<9 C．x<4或x≥9 D．x≤4或x＞9【答案】A【解析】由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2=0)=412，P(ξ2P(ξ2=4)=112+212=∵P(ξ2<x)=∴实数x的取值范围是4<x≤9．故选：A．【题型二】离散型随机变量的数字特征【典题1】设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=3X+1，则下列结果正确的有()A．q=0.2 B．EX=2,DX=1.4C．EX=2,DX=1.8 D．EY=7,DY=16.2【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得：q=1－0.4－0.1－0.2－0.2=0.1，E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵离散型随机变量Y满足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，D(Y)=9D(X)=16.2．故选：CD.【点拨】①熟悉期望EX=i=1②熟悉公式E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a【典题2】已知A=B={1,2,3}，分别从集合A,B中各随机取一个数a,b，得到平面上一个点P(a,b)，事件“点A．P4=2P2C．E(X)=4 D．D(X)=【解析】由题意得对应的点P有9种可能：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，∴对应的X的可能取值为2,3,4,5,6，P(X=2)=1(先求出随机变量x的分布列)对于A，p4=P(X=4)=3对于B，P(3≤X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=29+对于C，E(X)=2×19+3×对于D，D(X)=2－42×1故选：BCD．【典题3】已知随机变量X的分布列如表：X－101Pabc其中a,b,c＞0．若X的方差DX≤13对所有A．b≤13 B．b≤23 C．【解析】依题意a+b+c=1，故c=1－a－b，当a∈(0,1－b)时，故EX=－a+c=1－b－2a，DX=EX=(a+c)－a+c令1－b=t，则t∈(0,1)DX=t－t2+4a(t－a)≤故4a2－4at+当a=t2时DX有最小值，故故t≤13，即－1－b≤1故选：D．【点拨】方差DX与期望EX之间除了DXDX=EX巩固练习1(★★)【多选题】设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有()A．q=0.2 B．E(X)=3,D(X)=1.4 C．E(X)=2,D(X)=1.8 D．E(Y)=7,D(Y)=5.6【答案】CD【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质得：q=1－0.4－0.1－0.2－0.2=0.1，E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，DX∵离散型随机变量Y满足Y=3X+1，∴E(Y)=3E(X)+1=7，故选：CD．2(★★)【多选题】已知随机变量ξ的分布列是ξ－101p121−p2p2随机变量η的分布列是η123P121−p2p2则当p在(0,1)内增大时，下列选项中正确的是()A．E(ξ)=E(ξ) B．V(ξ)=V(η) C．E(ξ)增大 D．V(η)先增大后减小【答案】BC【解析】对于A，∵η=ξ+2，∴E(η)=E(ξ)+2，故A错误；对于B，∵η=ξ+2，∴V(ξ)=V(η)，故B正确；对于C，∵E(ξ)=∴当p在(0，1)内增大时，E(ξ)增大，故C正确；对于D，∵E(η)=∴V(η)=(−12−p2)∴当p在(0，1)内增大时，V(η)单调递增，故D错误．故选：BC．【题型三】求离散型随机变量的分布列【典题1】甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有1个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则P(ξ=2)=，E(ξ)=．【解析】由题意可得：ξ=0,1,2,3，P(ξ=0)=C22P(ξ=2)=C可得其分布列：ξ0123P(ξ)1551E(ξ)=0×故答案为：512，3【点拨】①古典概型事件A的概率P(A)=事件②若事件A与事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).③求出分布列最好利用p1【典题2】甲、乙两名运动员站在A,B,C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A,B,(1)设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率．【解析】(1)根据题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，所以P(X=0)=(1−1P(X=1)=1P(X=2)=1P(X=3)=1所以随机变量X的分布列为：X0123P11111随机变量X的数学期望为E(X)=0×1(2)设Y表示乙运动员投中的个数，同(1)可知，所以P(Y=0)=14，P(Y=1)=1124，所以P(X=2,Y=3)=P(X=3,Y=2)=14×所以P(X+Y≥5)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=3)=13所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率为13576【点拨】此类型题目项目较多，其关系在做题过程中是容易混乱的，做错了归结粗心也不合适，建议在草稿纸上列个表格出来那就清晰多了，【典题3】核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0<方案一：逐个化验；方案二：四个样本混在一起化验；方案三：平均分成两组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．(1)若p=(2)若p=(3)若对4例疑似病例样本进行化验，且“方案一”比“方案二”更“优”，求p的取值范围．【解析】(1)由题意可知，2个疑似病例样本混合化验结果均为阴性的概率为(1−2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率为P=1−(2)方案一：逐一检测，检验次数为4次；方案二：检测次数为X，X的可能取值为1,5，(混在一起4例均阴性则X=1，若成阳性还要逐一化验，则X所以P(X=1)=(12)所以X的分布列为：X15P115X的数学期望为E(X)=1×1方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性，检测次数为1，概率为14；若呈阳性，则检测次数为3，概率为3(先考虑一组检测情况)设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2,4,6，所以P(Y=2)=(14)2=所以随机变量Y的分布列为：Y246P139Y的数学期望为E(Y)=2×1比较可得4<E(X)<E(Y)，故选择方案一最“优”；(3)方案二：即检测次数为Z，则随机变量Z的可能取值为1,5，所以PZ=1随机变量Z的分布列为：Z15P1－p1－所以Z的数学期望为E(Z)=1－p由于“方案一”比“方案二”更“优”，则E(Z)=5－41－p可得1－p4<1故当1−【点拨】该题型属于“方案问题”，阅读量大，需要较好的筛选有效信息的能力，在读题过程中可先标出重要信息，也可通过列表的方式确定随机变量x、y巩固练习1(★★)小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球的号码是y，记ξ=x+2y，则P(ξ=7)=；若公司规定ξ=9,8,7时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为元．【答案】536；【解析】抽中号码是1的概率为12，抽中号码是2的概率为13，抽中号码是3的概率为令x+2y=7，则有x=1y=3或x=3所以P(ξ=7)=P(ξ=8)=P(x=2，y=3)=P(ξ=9)=P(x=3，y=3)=所以玩游戏一次获得奖金的期望为E(获得奖金)=1000×136+500×故答案为：536；2503．2(★★)某商场在儿童节矩形回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止，设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击参数为η，若η的数学期望E(η)＞74，则p【答案】(0，0.5)【解析】根据题意，每次击中的概率为p，即P(η=1)=p，二次射击成功的概率P(η=2)=p(1－p)，三次射击成功的概率P(η=3)=(1－p)2，则Ex=p+2p(1－p)+3(1－p)2=p2－3p+3，依题意有E(η)＞74，则p2解可得，p＞2.5或p<0.5，结合p的实际意义，可得0<p<0.5，即p∈(0，0.5)故答案为：(0，0.5)．3(★★★)某游戏的参与者现在从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)，若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与奖金，则E(ξ)－E(η)=(元)；D(ξ)－D(η)=(元)．【答案】3，－2【解析】由题意可得：①P(ξ=k)=1∴E(ξ)=15(5+6+7+8+9)=7，D(ξ)=15[(5－7)2+(6－7)2②P(η=2)=4C52=25，P(η=4)=可得η分布列：η2468P2311可得：E(η)=2×25+4×310D(η)=(2－4)2×25+(4－4)2×310+∴E(ξ)－E(η)=7－4=3(元)；D(ξ)－D(η)=2－4=－2(元)．故答案为：3，－2．4(★★★)某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为815．求该小组中女生的人数为；若该小组中每个女生通过测试的概率均为34，每个男生通过测试的概率均为23．现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3人进行测试．记这3人中通过测试的人数为随机变量X【答案】6；25【解析】设女生的人数为n，则男生人数为10－n，且n＞5，∴815=Cn1C10−n1由题意可知X的取值为0，1，2，3，P(X=0)=13×13×14P(X=2)=23×23×14∴E(X)=0×136+1×736故答案为：6；2512．5(★★★)春节逛庙会，是中国特有的集吃喝玩乐于一体的传统民俗文化活动，在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A,B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，都没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为34，套中目标B的概率为12(1)求小华在一组游戏中恰好套中一次的概率；(2)求小华在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望；(3)小华非常喜欢这个游戏，连续玩了5组套圈游戏，假设小华每组投掷的结果相互独立，求小华恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率．【答案】（1）732（2）52【解析】(1)设小华恰好套中1次为事件A，P(A)=3(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=14×14×1P(X=2)=34×34×1P(X=4)=3故X的分布列是：X01234P(X)132316516316932故E(X)=0×132+1×316+2(3)设小华1组中得2分或3分的事件为B，则P(B)=P(X=2)+P(X=3)=5设5组游戏中，小华恰有3组游戏中得2分或3分为事件C，则P(B)=1−1则P(C)=C6(★★★★)体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则