八年级数学下册导学案2

八年级（下）数学导学案

襄阳二十三中数学教研组

第1页

教学目录

第16章二次根式（9）

16.1二次根式（2）第19章一次函数（17）

16.2二次根式的乘除（2）19.1变量与函数（6）

16.3二次根式的加减（3）19.1.1变量与函数

阅读与思考海伦一一秦九韶公式19.1.2函数的图象

数学活动阅读与思考如何测算岩石的年龄

小结（2）19.2诙函数（7）

第17章勾股定理（9）19.2.1正比例函数

17.1勾股定理（4）19.2.2一次函数

阅读与思考勾股定理的证明19.2.3•次函数与方程、不等式

17.2勾股定理的逆定理（3）信息技术应用用计算机画函数图象

阅读与思考费马大定理19.3课题学习选择方案（2）

数学活动数学活动

小结（2）小结（2）

第18章平行四边形（15）第20章数据的分析（12）

18.1平行四边形（7）20.1数据的集中趋势（6）

18.1.1平行四边形的性质20.1.1平均数

18.1.2平行四边形的判定20.1.2中位数和众数

18.2特殊的平行四边形（6）20.2数据的波动程度（2）

18.2.1矩形阅读与思考数据波动程度的几种度量

18.2.2菱形20.3课题学习

18.2.3正方形体质健康测试中的数据分析（2）

实验与探究丰富多彩的正方形数学活动

数学活动小结（2）

小结（2）

第2页

第二十一章二次根式

16.1《二次根式(1)》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：

二次根式的概念及其运用

学习目标：

1、理解二次根式的概念，并利用G(a20)的意义解答具体题目.

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

学习过程

一、自主学习

(一)、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：

3

问题1：已知反比例函数丫=二，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是

x

.(V3,5.

问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S?,

那么S=.(

(-)学生学习课本知识

(三)、探索新知

1、知识：如6、Vio,J-,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的

式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“—”称

为.

例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、5、=、6(x>0)、J5、正、

X

-立、—!—、Jx+y(x20,y20).

x+y

解：二次根式有：；不是二次根式的有：-

例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

解：由得:______「

第3页

当时，工彳在实数范围内有意义.

(3)注意：1、形如&(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2、利用“8(a20)”解决具体问题

3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义?

X+1

例4(1)已知y=j2—x+Jx—2+5,求工的值.(答案:2)

y

________n

⑵若而I+扬=1=0,求aZo^+b20M的值.(答案:()

三、巩固练习

教材练习.

四、课堂检测

(1)、简答题

1.下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？

-币折VxX74V16V8-

x

(2)、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为5的正方形的边长为.

(3)、综合提高题

1.某工厂要制作••批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做成正方形,

试问底面边长应是多少？

2.若+/口有意义，则/产=.

3.使式子J-(x-5)2有意义的未知数x有()个.

A.0B.1C.2D.无数

4.已知a、b为实数，且力一5+2J10-2a=b+4,求a、b的值.

第4页

16.1《二次根式(2)》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：

1.4a(a20)是一个非负数；2.(右)2=a(a20).

学习目标：

1、理解6(a20)是一个非负数和(G)2=a(a20),并利用它进行计算和化简.

2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出〃'(a20)是一个非负数，用具体数据结合

算术平方根的意义导出(、5)2=a(a)0)；最后运用结论严谨解题.

教学过程

一、自主学习

(-)复习引入

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，&有意义吗？

(二)学生学习课本知识

(三)、探究新知

1、4a(a>0)是一个数。(正数、负数、零)

因为O

2、重点:G(a》0)是一个非负数.

3、根据算术平方根的意义填空：

(V?)2=;(V2)2=;(y/9)2=;(V3)2=;

同理可得：(行)2=2,(囱)2=9,(百)2=3,()2=1,(Vo)2=0,

V33

所以|(〃')2=a(a》o)

(4)例1计算

(^1)2=_2、(3后2=____3、(/)2=_尔(日产---------

(5)注意：1、y/a(a^O)是一个非负数；(G)2=a(a20)及其运用.

2、用分类思想的方法导出&(a20)是一个非负数；用探究的方法导出(&)2=a

(a20).

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

第5页

例2计算1.(V7+T)2(x>0)2.(yja2)23.(Ja-+2a+1)*

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

三、巩固练习

(-)计算下列各式的值：

(Vi8)2=(.p)2=(―)2=(Vo)2=(3>/5)2-(5A/3)2

V34

(二)课本P7、1

四、课堂检测

(一)、选择题

1.下列各式中A、岛、J/?—］、J/+/、J/„2+2O、J—144,二次根式的个数是().

A.4B.3C.2D.1

(二)、填空题

1.(-6)2=_______.2.已知JJTT有意义，那么是一个数.

(三)、综合提高题

I.计算

(1)(V9)2(2)-(6V(3)(-3^|)2⑷(26+3五)(26-3痣)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5=(2)3.4=(3)-(4)x(x20)=

6

3.已知Jx-y+l+Jx-3=0,求x，的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

第6页

16.1《二次根式(3)》学案

课型:上课时间：课时：

学习内容：J/=a(a20)

学习目标：

1、理解J/=a(a>0)并利用它进行计算和化简.

2、通过具体数据的解答，探究J/=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学过程

一、自主学习

(一)、复习引入

1.形如夜(a20)的式子叫做二次根式；

2.4a(a20)是一个非负数；3.(Va)2=a(a20).

那么，我们猜想当a20时，C=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

(二)、自主学习

学生学习课本知识

(三)、探究新知

1、填空：根据算术平方根的意义，

亚=_:J。。/=_：J//=一；j(g)2=_；狗=_；J/=_.

2、重点：=a(a》0)

例1化简

(1)V9(2)4f(3)V25(4)J(-3尸

解：(1)也=后=(2)J(—4)2="=—

(3)V25=■$/?*=(4)J(-3)~=y/3~=___

3、注意：(1)=a(aNO).(2)、只有a20时，=2才成立.

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例2填空：当a20时，_____；当a<0时，,并根据这一性质回答下列问

题.

(1)若J/=a，则a可以是什么数？因为二a，所以aNO；

第7页

(2)若〃7=-a,则a可以是什么数？因为J/n-a,所以aWO；

(3)J/>a,则a可以是什么数？因为当a》O时C=a,要使J/>a,即使a>a所以

&不存在；当a〈O时，=-a,要使>a,即使-a〉a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x_2>_J(1_2X)2.

三、巩固练习

教材练习

四、课堂检测

(一)、选择题

1.J(2—)2+J(—的值是().A.0B.—C.4—

(二)、填空题

1.-V0.0004=.

2.若J而是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时、求a+Jl-2。+色的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+J(l—a)?=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+'(l-a,=a+(a-l)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+y/a-2000=a,求aT9952的值.

(提示：先由a-2000^0,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-3WxW2忖，试化简|x-2|+J(x+3/+&-10%+25。

第8页

16.2二次根式的乘除(1)

课型:上课时间：课时：

学习内容

\[a,4b=\[ab(a)0,b20),反之=八,\[b(a20,b20)及其运用.

学习目标

理解G,4h=>Jab(a20,bNO),y[ab=\fa,4b(a20,bNO),并利用它们进行计算和

化简

学习过程：

一、自主学习

(-)复习引入

1.填空：(1)V4XV9=___,Y4x9—____yj~4X^9_14x9

(2)V16xV25=___，716x25=—；V16xV25_V16x25

(3)J100XJ36=__,VlOOx36=___.VlOOX736—7100x36(二)、探索新

知

1、学生交流活动总结规律.

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

4a•4b=4ah.(a^O,b20反过来：[=&•&(a20,b20)

例1.计算

(1)y/5X-\/7(2)J]X5/9(3)3\/6X2V10(4)\f5a•]卜丫

例2化简

(1)J9xl6(2)716x81(3)V81X100(4)W2y2(5)用

二、巩固练习

(1)计算：①屈义般②3迎X2Vw③庖•

(2)化简：V20；V18;V24;V54;112cl2/

(3)教材练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

(-)例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正：

第9页

(1)J(-4)x(-9)—J—4xJ-9

(2)J4—XV25=4XJ—xV25=4j—XV25=4A/12=8V3

V25V25V25

(-)归纳小结

(1)4a,Jb—4ab=(a，0,b》0),4ab=4a,4b(a20,b》0)及其运用.

(2)要理解而(a<0,b<0)=®屈，如J(-2)x(-3)=J-(-2)x-(-3)或

7(-2)X(-3)=VM=V2XV3.

四、课堂检测

(一)、选择题

1.若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和J行cm,那么此直角三角形斜边长是

().A.3sHemB.3V3cmC.9cmD.27cm

2.化简aJ—5的结果是（）.A.\/—ClB.yj-CLC.-—dD."y/u

3.等式“riJj—i成立的条件是()

A.x21B.x2TC.TWxWlD.x21或xWT

(二)、填空题1.71014=.

2.自由落体的公式为S=；gt2（g为重力加速度，它的值为lOm/s?）,若物体下落的高度为720m,

则下落的忖间是.

三、综合提高题

1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、

高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？

第10页

16.2二次根式的乘除（2）

课型:上课时间：课时：

学习内容:

4a[a4a

(a^O,b>0),反过来（a^Ob>O）及利用它们进行计算和化简.

忑

学习目标:

[ay/a

理解(aNO,b>0)和（a》0,b>0）及利用它们进行运算.

7T日V-4b

教学过程

一、自主学习

（一）复习引入

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

邪V9

(1)二;；规律：J—;

V16,JV1—6V16V16

V16，耳V16

(2)

V36V36V36像V36

ITV4[T

(3),\—=;

V16V16V16V16

V36,庐一V36

(4)

V81V81V81庐V81

（二）、探索新知

一般地，对二次根式的除法规定:

4aa、、

忑二(a20,b>0)反过来,厂方（a>0,b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

二、巩固练习

1、计算：（1）

第11页

3、巩固练习

教材练习.

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

9-x\9-Xru；,„,、Ix~—5x+4,,,.

1、例3.已知j6，且x为偶数，求(I+x)《---；—j—的值.

x—6

2、归纳小结

y[aa(a20,b>0)和百=臣(aNO,

（1）本节课要掌握7h=\bb>0）及其运用.

并利用它们进行计算和化简.

四、课堂检测

（一）、选择题

1计算出2

的结果是（）.A.B.一C.V2D.也

7V

2245275

2.阅读下列运算过程：—f=--l—>—j=-—)=---T=

V3V3xV33V5V5xV5"I"

2

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请化筒木的结果是（).

A.2B.6C.—>/6D.V6

3

（二）、填空题

11)Vio

1.分母有理化：（1）=；(2)r==_____；(3)-7=

372122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么阮+历的最后结果是

71n

三、综合提高题（1）一2^7-,(m>0,n>0)

mm2加3

第12页

16.2二次根式的乘除(3)

课型:上课时间：课时：

学习内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

学习目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

学习过程

一、自主学习

(一)复习引入

1.计算(1)与，(2)婆，(3)第

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h,km,h2km,那么它们的传播半径

的比是一

(-)＞探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

例1.化简：(1)3栏;(2)7^7+77；⑶莉寸

例2.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

二、巩固练习

教材练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1_1X(夜一1)血-1_r-

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1，

1_lx(V3-V2)V3-V2仄仄

石石-忠+五)(也-6一千/

同理可得：尸="一6,……

V4+V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

第13页

111I)(V2002+1)的值.

++

V2+/V3+V2V4+V3V2002+V2001

2、归纳小结

（1）.重点：最简二次根式的运用.

（2）.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

四、课堂检测

（一）、选择题

「将6

（y>0）化为最简二次根式是（).

A.(y>0)B.[xy(y〉0)C.''(y>0)D.以上都不对

2.把（a-1）J--1一中根号外的（a-l）移入根号内得（）.

V（7-1

A.yja—\B.Jl-aC.—yJci—1D.-yjl-a

3.化简二^的结果是（,V22

A.------B.C.口.-也

V273一半

二、填空题1.化简信+。2=.（X2O）

2.aJ-竽化简二次根式号后的结果是.

三、综合提高题

若x、y为实数，且y=—~4+4_x,求Jx+yJx-y的值.

第14页

16.3二次根式的加减(1)

学习内容：

二次根式的加减

学习目标：

1、理解和掌握二次根式加减的方法.

2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,

用它来指导根式的计算和化简.

学习过程

一、自主学习

(一)、复习引入

计算.(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

以上题目，是我们所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.

(二)、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2亚+38(2)278-3^+578

(3)y/1+2y/l+3J9X7(4)3V3-2V3+V2

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2血与血表面上看是不相同的，但它们

可以合并吗？也可以.

3V2+y/s=3V2+2V2=55/23V3+-27=3+3A/3=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式

进行合并.

例1.计算(1)&+而(2)V16x+V64x

例2.计算

(1)3历-9A+3而

(2)(V48+V20)+(712-^5)

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

二、巩固练习教材练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

22

1、例3.己知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(xy/9x+y)-(x^-5x1J^-)的值.

2、归纳小结

第15页

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行

合并.

重难点关键1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

四、课堂检测

（―）＞选择题

1.以下二次根式：①灰；②后;③岛④技中，与百是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：©3V3+3=6V3；②③=2；④下,其中错

误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在次、说、2演、7125.2J/、3Vol,-2JI中，与岛是同类二次根式

33aV8

的有________.

2.计算二次根式5右-3斯-76+9折的最后结果是.

三、综合提高题

1.已知若%2.236,求（痴-Jg）-（旧+1，布）的值.（结果精确到0.01）

上+2yjxy3)-(4xXV),其中x=-|,y=27.

2.先化简，再求值.（6x

%y.y

第16页

16.3二次根式的加减（2）

学习内容：

利用二次根式化简的数学思想解应用题.

学习目标：

1、运用二次根式、化简解应用题.

2、通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.

学习过程

一、自主学习

（-）,复习引入

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次

根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，

（二）、探索新知

例1.如图所示的RtaABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移

动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后△PBQ的面积为35

平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形

面积公式就可以求出x的值.

解：设x后的面积为35平方厘米.

则有PB=x,BQ=2x

依题意，得：求解得：x二底

所以岳秒后△PBQ的面积为35平方厘米.

PQ=

答：逐秒后APEQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5近厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.hn）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材、只需知道这四段的长度.

解：由勾股定理，得AB=

BC=

所需钢材长度为：AB+BC+AC+BD==

二、巩固练习

教材练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3.若最简根式3。却4a+3b与根式一/+6/是同类二次根式,求a、b的值.（

同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式；解：首

先把根式J2ab2一万+6〃化为最简二次根式:

第17页

J2ab2—川+6从=

由题意得方程组：________________

解方程组得：

2、本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

四、课堂检测

（一）、选择题

1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二

次根式）A.572B.V50C.2#>D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长

方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.13V100

B.71300C.10V13D.5713

（二）、填空题（结果用最简二次根式）

1.有一长方形鱼塘，已知鱼塘长是宽的2倍，面积是1600m2,鱼塘的宽是m.

2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为血，那么该等腰直角三角形的周长是—.

（三）、综合提高题

I.若最简二次根式2,3'-2与痴J10是同类二次根式,求m、n的值.

3

2.同学们，我们观察下式：（血-1）2=（、历）2-2•1•V2+l2=2-272+1=3-272

-2

反之，3-2\/^=2-2A/^+1=（V21）

.,.3-272=（V2-1）2A73-272=72-1

求：（1）—+2夜；（2）"+26:（3）你会算.4-配吗?

第18页

16.3二次根式的加减(3)

学习内容：

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、

相除；乘法公式的应用.

学习目标：

1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

学习过程

一、自主学习

(一)复习引入

1.计算(1)(2x+y)•zx==(2)(2x2y+3xy2)-?xy===

2.计算(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

(二)、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

例1.计算：(1)(6+血)*6(2)(4^/6-372)4-2V2

例2.计算(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(V10-V7)

二、巩固练习

课本练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

Jx+l-yfx+Jx+1+Vx

1、例3.已知,X==2化简并求值.

y/x+l+s/xyjx+l-G

原式==(GM)?+(G+6)2

解:

(Jx+1+4)(，x+l-y/x)(Vx+1-4)(Jx+l+Vx)

d%+1—5/x)~+(JX+1+

(x+1)-x(x+l)-x

==(x+1)+x-2y/x(x4-1)+x+2Jx(%+1)

==4x+2

当X=2时，原式=4X2+2=10

2、、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

四、课堂检测

(扃-3岳+2小1)X上的值是().

(一)、选择题1.

第19页

A.—73-3730B.3V3O--V3C.2V3O--V3D.—V3-V3O

3333

2.计算（4+JE）（）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

(二)、填空题1.(--+—)2的计算结果(用最简根式表示)是

22

2.(1-2A/3)(1+273)-(2>/3-1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是—

3.若x=O-L则X?+2X+1=

4.已知a=3+20,b=3-20,jijija2b-ab2：

三、综合提高题

..3Vs+V7

1.化间—7=---7=---/=---尸=

V10+V14+5/15+721

X+l-i-yJX2+xx+l—心/rn日g—、加士一、

2.当X=—j=-时---，求------/+-------尸=的值.（用最简二次根式表小）

V2-1x+l-VX2+XX+l+jr+X

课外知识

(1)、练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是().

9

A.梃^与B.与C.与〃D.J.+“与+〃

(2)、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积是有理数，不含有二次根式：如

2百与百就是互为有理化因式；4+1与4t也是互为有理化因式.

练习：1、后+G的有理化因式是；

2、X-J7的有理化因式是.3、26的有理化因式是一

第20页

二次根式复习课(1)

学习目标：

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

学习重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

学习过程

一、自主学习

(一)复习

1.二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.

(1)(2)(3)

2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.

乘法法则：.除法法则：

反过来:,

3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

(l)a=G/a)2(a>0)；(2)|a|=4^>

4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

⑴(我2=a(a》O)与a=(加

(2)-^b=-7a*-7b(a^>0,b>0)与6*-x/b=Vab(a>0,b30);

⑶巨8a>0,»。)与泉书a>0,b>0).

例如，化简57,可以用3种方法：

⑴直接约分/=等=V7；

⑵分母有理化鬓=缁=6；

⑶看作二次根式的除法看=苧=楞=、万.

5.不一定能化成(、回>.

当a》0时，如(亚)2=方=郃)2,(加)2=7^=(To)2,此时，7?

=(、向2；当2<0时，)(-2)2=后=(际2,但无意义，所以J(-2)2卢(d，此

时47r(“)2.

二、复习练习课本知识

第21页

二次根式复习课(2)

学习目标：

1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

学习重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

学习过程

一、例题点讲

例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

⑴x+Jx—2；(2)-----=；

1-也

(3)、施+J-2x；(4)二”.

3x

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(2)题中，式子的分母不能为零，即x不能取使1-必=0的值；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义,

同时使分母的值不等于零.

解：⑴、

(2)、

(3)、

(4)、

例2已知m,n为实数，且满足m=竺±9+］；二+'求6m-3n的直

分析：先根据已知条件求出m与n的值，冉求多项式6m-3n的值.二次根式而二?

与、/V有意义的条件分别是1-9)0及9-从中求得n的值，从而确定m的值.

解：

、+篁la2-4a+4.J3-a1

例3'va2-4a+3a-2Jl-a

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式

后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a20和1-a

>0.

解:

第22页

指出：由于二欷根式的基本性质存=同要由a的取值范围确定，即

'a(a)O),

a|=«.

1-a(a<0).

而、砥=百・而除号成立的条件是a》0及b》0Ca>0,b〉O),因此在运用

这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件

的.

n+2+Vn2-4n+2-Jn，-4

计算-------4=+-------7=^=•

例4n+2-vnJ-4n+2+Jn"-4

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运

算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变

形，就可以使运算变为简捷.

解设a=n+2+Jn，.4,b=n+2-Jn，.+那么

a+b=2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2)，

aba2+b2(a+b)2-2ab(a+b)i4^2)2

所以原式=—I—=-------=------------=------n.

baababab4(n+2)

三、课堂练习

1.选择题：

⑴J(a-2)2=2a的取值范围是