安徽省宿州市埇桥区宿城一中城南学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年安徽省宿州市埇桥区宿城一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.2.下列命题中，正确的是(

)A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3.关于x的一元二次方程的一个根为2，则b的值为(

)A. B.2 C.3 D.74.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，，，则菱形的面积为(

)A.48

B.96

C.24

D.65.关于x的一元二次方程根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.只有一个实数根6.如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，于点E，当E为OB中点时，则AC的长为(

)

A. B.4 C. D.87.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2，则图中重叠部分的面积是(

)A.1

B.2

C.

D.

8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是(

)A. B.

C. D.9.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(

)A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，H是AF的中点，那么CH的长是(

)A.

B.

C.

D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.一元二次方程的根为______.12.如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且，，E，F为垂足，，，则的值为______.

13.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______.14.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图

______；

的值是______.三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题8分

解方程：16.本小题8分

已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且求证：四边形AECF是菱形

17.本小题8分

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？18.本小题8分

如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，，连接

求证：

19.本小题10分

某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？20.本小题10分

如图，在四边形ABCD中，，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．

求证：四边形EGFH是菱形；

若，则当时，求四边形EGFH的面积．21.本小题12分

社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为求道路的宽是多少米？22.本小题12分

如图，在中，，，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒过点D作于点F，连接DE、

求证：；

四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．23.本小题14分

【问题情境】

已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，如图1所示，则BE和DG的数量关系为______，位置关系为______.

【继续探究】

若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在CE的右侧作正方形CEFG，如图2所示.

①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

②连接BG，若，求线段BG长.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；

B、方程是一元二次方程，该选项符合题意；

C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；

D、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；

故选：

据此即可判定求解．

本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2.【答案】B

【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．

故选：

根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法逐一进行判定．

本题考查了矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法．熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类问题的关键．3.【答案】C

【解析】解：，

故选：

把代入方程中，求解即可．

本题考查一元二次方程的解，代入求值是关键．4.【答案】B

【解析】解：四边形ABCD为菱形，且，，

故选：

根据菱形面积公式即可计算得出该菱形的面积．

此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．5.【答案】A

【解析】解：在关于x的一元二次方程中，，，，

，

因为，所以，

所以关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根．

故选：

先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可．

本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键．6.【答案】D

【解析】解：四边形ABCD是矩形，

，，，

，

，E为OB中点，

垂直平分OB，

，

，

故选：

由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，即可．

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．7.【答案】A

【解析】解：设OP与AD交于点G，如图所示：

四边形ABCD和四边形OMNP均为正方形，且边长都是2，

，，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

正方形ABCD的边长为2，

，

，

故选：

证明和全等得，进而得，然后再根据即可得出答案．

此题主要考察了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．8.【答案】A

【解析】解：根据题意得：

故选：

利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】B

【解析】解：，

，

，即，

故选：

先配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出选项．

本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10.【答案】B

【解析】解：如图，连接AC、CF，

正方形ABCD和正方形CEFG中，，，

，，

，

，

由勾股定理得，，

是AF的中点，

故选：

连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，，再求出，然后利用勾股定理求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．11.【答案】，

【解析】解：，

，

或，

，

故答案为：，

先移项，再利用提公因式法把方程左边分解得到，则原方程化为或，然后解一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．12.【答案】

【解析】解：连接OP，如图所示：

四边形ABCD是矩形，

，，

在中，，，

由勾股定理得：，

，，

，

，，

，，

，

，

故答案为：

连接OP，根据矩形的性质及勾股定理得，，再根据三角形的面积公式得，，，然后根据即可得出的值．

此题主要了矩形的性质，理解矩形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．13.【答案】2

【解析】解：，b是一元二次方程的两个实数根，

，，

，

故答案为：

直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：过点D作交BC的延长线于点E，

由图象可知，点F从点A到D用as，此时，的面积为

，

，

，

，

当点F从D到B时，用时，

，

中，，

四边形ABCD是菱形，

，，

在中，，

解得

故答案为：5cm；

通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，的面积为，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求BE和

本题考查了动点函数图象问题，掌握菱形性质，勾股定理是解题的关键．15.【答案】解：，

，，

，

【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程的求解，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．16.【答案】证明：如图，连接AC交BD于点O，

四边形ABCD是正方形，

，，，

，

，

，且，

四边形AECF是平行四边形，

又，

四边形AECF是菱形.

【解析】由正方形的性质可得，，，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再由，即可证四边形AECF是菱形．

本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质．17.【答案】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，

设梯子顶端向下滑动xm，则梯子底端也滑动xm，

此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，

可得方程：，

解得，舍去，

当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．

【解析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动xm，则梯子底端也滑动xm，利用勾股定理列方程，即可解答．

本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键．18.【答案】证明：，，

四边形OCED是平行四边形，

四边形ABCD是菱形，

，

四边形OCED是矩形，

，

，，

【解析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明OCED是矩形，利用勾股定理即可求出

本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．19.【答案】解：设衬衫的单价降了x元．

根据题意，得

，

解得：，

答：衬衫的单价降了15元．

【解析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润，根据等量关系列出方程即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．20.【答案】证明：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，

，，，

，

四边形EGFH是菱形．

解：四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，

，

，

菱形EGFH是正方形．

，

正方形EGFH的面积

【解析】利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；

根据平行线的性质可以证得，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．

本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．21.【答案】解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：

，

，

，

，

解得：舍去或，

答：道路的宽为6米．

【解析】设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．

本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．22.【答案】解：证明：在中，，，，

又，

；

能；

理由如下：

，，

又，

四边形AEFD为平行四边形．

，，

，

，

若使能够成为等边三角形，

则平行四边形AEFD为菱形，则，

，

；

即当时，为等边三角形；

当