2023-2024学年辽宁省普兰店区第二中学高三下学期期末质量抽测数学试题试卷

2022-2023学年辽宁省普兰店区第二中学高三下学期期末质量抽测数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．3．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．4．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）5．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A． B． C． D．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于7．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．8．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．39．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）A． B． C． D．10．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．212．已知集合，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.14．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.15．如图，在平面四边形中，点，是椭圆短轴的两个端点，点在椭圆上，，记和的面积分别为，，则______.16．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（2）将表示为的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.19．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和.20．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．22．（10分）已知，.（1）解；（2）若，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.2．A【解析】

过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.3．A【解析】

求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题.故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题.故选：C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.5．B【解析】

分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、、，由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，，则，且，所以，，，是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，由图形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．6．D【解析】

试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．7．C【解析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解：∵,,∴,故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.8．A【解析】

直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【详解】解：将两边同时乘以，得故选：A【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.9．B【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为，所以是的一个周期，①正确；②因为，，所以在上不单调递增，②错误；③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域．当时，，在上单调递增，所以，的值域为，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．10．D【解析】

如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11．D【解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．12．C【解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.15．【解析】

依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进一步得到D横坐标，再由计算比值即可.【详解】因为，所以A、B、C、D四点共圆，直径为，又A、C关于x轴对称，所以圆心E在x轴上，设圆心E为，则圆的方程为，联立椭圆方程消y得，解得，故B的横坐标为，又B、D中点是E，所以D的横坐标为，故.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B、D横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.16．【解析】

设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.【详解】设，直线AB的参数方程为，(为参数)代入圆，化简得：，，，，存在点，使得，，即，，，，故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）或；（2）.【解析】

（1）利用绝对值的几何意义，将不等式，转化为不等式或或求解.（2）根据-2在R上恒成立，由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】（1）原不等式等价于或或，解得：或，∴不等式的解集为或.（2）因为-2在R上恒成立，而，所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．（1），众数为150；（2）；（3）【解析】

（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．【详解】（1）由直方图可估计需求量的众数为150，由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：∴估计需求量的平均数为：（2）当时，当时，∴（3）由（2）知当时，当时，得∴开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．19．（1），（）；（2）.【解析】

（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.【详解】（1）由题意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①当时，.②当时，.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.20．（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:（1）因为,所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在有3个零点．【解析】

（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；（Ⅱ）二次求导，判断单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；（Ⅲ），数形结合得出结论．【详解】解：（Ⅰ），，，故在点，处的切线方程为，即；（Ⅱ）证明：，，，故在递减，又，，由零点存在性定理，存在唯一一个零点，，当时，递增；当时，递减，故在只有