2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编：数列章节综合

第1页/共1页2022-2024北京重点校高一（上）期末汇编数列章节综合一、单选题1．（2024北京十一学校高一上期末）已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024北京十一学校高一上期末）若数列满足（），且，，则当的前n项和取到最大值，n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024北京十一学校高一上期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（

）A．6 B．3 C．4 D．24．（2023北京十一学校高一上期末）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（

）粒米.A． B． C． D．5．（2023北京十一学校高一上期末）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．（2023北京十一学校高一上期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则使其前项和取得最大值的正整数的值为（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或67．（2023北京十一学校高一上期末）等差数列的前项和，，则（

）A．9 B．12 C．30 D．458．（2023北京十一学校高一上期末）已知是等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．79．（2023北京十一学校高一上期末）已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题10．（2024北京十一学校高一上期末）已知等差数列中，，，则数列的前5项和为．11．（2024北京十一学校高一上期末）在各项均为正数的等比数列中，，且，的等差中项为，则．12．（2024北京十一学校高一上期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：①可能为等差数列；②中最大的项为；③不存在最大值；④的最小值为36．其中所有正确结论的序号是．13．（2023北京十一学校高一上期末）已知数列是首项为4，公差为3的等差数列，数列的前项和记为，则使得能被5整除的最小正整数的值为.14．（2023北京十一学校高一上期末）已知数列满足，且对于，，则.15．（2023北京十一学校高一上期末）已知数列满足，，且对于，均有，则.16．（2023北京十一学校高一上期末）已知数列的前项和为，则的通项公式为.17．（2023北京十一学校高一上期末）在等比数列中，，，则.三、解答题18．（2023北京十一学校高一上期末）已知首项为0的无穷等差数列中，，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2n项和.19．（2024北京十一学校高一上期末）已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.20．（2023北京十一学校高一上期末）已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列，，求和；(2)当且时，求的所有可能取值；(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．

参考答案1．C【分析】根据题意，结合等差数列的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由等差数列的公差为，则数列为递增数列，所以存在无限项满足成立，即充分性成立；反之：由等差数列的公差为，在数列为单调数列，若存在无限项满足成立，则数列为递增数列，则，即必要性成立，所以“”是“存在无限项满足”充要条件.故选：C.2．A【分析】根据题意可知数列为等差数列，进而求公差和通项公式，利用的符号性判断前n项和的最值.【详解】因为（），可知数列为等差数列，设公差为，则，解得，可得，令，解得，可知时，；时，；所以当时，的前n项和取到最大值.故选：A.3．A【分析】由题可得，即可得答案.【详解】由题，，则.故选：A4．D【分析】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，分析可知数列满足：，，，求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得结果.【详解】按照小明的方案，设第个格子放的米粒数为，其中，则数列满足：，，，所以，当时，，故数列是从第项开始成以为公比的等比数列，且，所以，，则，所以，数列的前项和为.故选：D.5．B【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，且可以无限接近于0，所以，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选：B6．D【分析】分和两种情况进行讨论，当时利用等差数列的求和公式结合二次函数的基本性质可求得取得最大值时的的值【详解】当时，由可得，且等差数列单调递增，不存在；当时，则数列为单调递减数列，由可得，则，所以，则，，所以，当或时，取得最大值.故选：D7．D【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】是等差数列，∴，，，，，．故选：D．8．B【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B.9．D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【详解】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，，此时，所以，故选：D.10．【分析】根据等差数列的性质，求得，求得，再结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由，可得，解得，又因为，可得，又由，解得，所以.故答案为：.11．64【分析】根据等差中项结合等比数列通项公式运算求解.【详解】设等比数列an的公比为，因为，的等差中项为，则，即，则，且，可知，解得，所以.故答案为：64.12．③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答.【详解】当时，由得，由得，于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误；令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，从而的最小值为36，④正确；当时，取，数列为：，满足题意，取，，中最大的项不为，②错误；由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确，所以所有正确结论的序号是③④.故答案为：③④【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.13．4【分析】利用等差数列的定义得到，用错位相减法可得到，即可求出答案【详解】因为数列是首项为4，公差为3的等差数列，所以，所以，所以，则有两式相减得：，因此，所以，要使能被5整除，只需能被5整除，因为，故，所以最小正整数的值为4故答案为：414．【分析】构造等比数列求得数列的通项公式，进而求得的值.【详解】由，可得整理得，又，则数列是首项为公比为的等比数列，则，则故答案为：15．【分析】利用递推公式可得到数列的周期为8，即可求解【详解】由，，可得，，，，，，，，所以数列的周期为8，因为，所以，故答案为：16．【分析】利用计算即可，注意求时，的值.【详解】由已知当时，，又时，，故的通项公式为，故答案为：.17．【分析】利用等比数列的性质求出，继而算出，即可得到答案【详解】因为数列是等比数列，设其公比为，所以又，所以，所以，，所以故答案为：18．(1)；(2).【分析】（1）等差数列的公差为，由等比数列的性质列式可得或，验证可得，根据等差数列的通项公式即可求解；（2），由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，即，解得或.若，则，则，不能是等比数列中的项，故不符合题意.所以，,可得，，符合，，成等比数列，所以.（2），所以.所以.19．(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）当时，由，得，则.当时，有，符合上式.综上，.（2）由（1）得，，则.20．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列举不唯一）(4)证明见解析(5)数列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定义直接代入计算即可；（2）当且时，中1的个数为1，其余3个为0，结合的表达式即可得出结果；（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0．结合分析可得出结果；（4）设，中1的个数为，其余的为0．在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复），即可求解；（5）当，时，中1的个数为7，其余3个为0，结合条件写出结果即可．【详解】（1）因为数列，所以．（2）因为，故或1，，，当且时，中1的个数为1，其余3个为0当时，，则当时，则当时，则当时，则故的所有可能取值为：4，3，2，1．（3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0则当或时，取到最大值19，例如：，在中，取相邻2项，令第1项的值为1，第2项的值为－1；或令第1项的值为－1，第2项的值为1，此时取到最小值1，例如：，．（4）当且