2024年秋季新湘教版7年级上册数学教学课件 第3章 小结与复习

第3章

一次方程（组）小结与复习课程导入

课程讲授习题解析归纳总结一、方程的有关概念

1.

方程：含有未知数的等式叫作方程．2.

一元一次方程的概念：只含有____个未知数，未知数的次数都是____，等号两边都是______，这样的方程叫作一元一次方程．3.

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解．4.

解方程：求方程解的过程叫作解方程．一1整式5.二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫作二元一次方程.6.二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫作二元一次方程组.两个一次一次两个7.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解.8.三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫作三元一次方程组.一次三个1.

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±

＝

b±c.2.

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac

＝___；如果a=b(c≠0)，那么＝____．二、等式的性质bcc解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘．(2)去括号：注意括号前的系数与符号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式.三、一元一次方程的解法四、二元一次方程组的解法（1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表述式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.五、三元一次方程组的解法消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为容易易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.1.

列方程解决实际问题的一般步骤：

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．

设：设未知数，设其中某个未知量为

x.

列：根据题意寻找等量关系列方程．

解：解方程．

验：检验方程的解是否符合题意．

答：写出答案(包括单位)．六、实际问题与一（二）元一次方程审题是基础，找等量关系是关键.2.

常见的几种方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间关系：路程＝速度×时间．①相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；②追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；③流水行船问题：

v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．(2)工程问题中基本量之间的关系：①工作量=工作效率×工作时间；②合作的工作效率=工作效率之和；③工作总量=各部分工作量之和=合作的工作效率×工作时间；④在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1.(3)销售问题中基本量之间的关系：①商品利润=商品售价－商品进价；②利润率=；③商品售价=标价×；④商品售价=商品进价+商品利润=商品进价+商品进价×利润率=商品进价×(1+利润率).(4)分段计费、方案问题①

要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来列方程；②要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系，从而列出方程．3.

列二元一次方程组解应用题的三点注意（1）审题：准确找出已知量与未知量之间的关系及相等关系.（2）设元：分为直接设未知数和间接设未知数两种，当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程比较复杂时，要考虑采用间接设未知数的方法.（3）检验：求出方程的解后，必须检验所求的解是否符合题目要求或客观实际，不符合的解需要舍去.例1

如果x=2是方程的解，那么a的值是()A.0B.2C.－2D.－6考点一方程的有关概念解析：将x＝2代入方程得1＋a＝－1，解得

a＝－2.

C方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.例2

若3x2a+b+1+5ya－2b－1+5=0是关于x,y的二元一次方程，则a=______，b=______.【思路】根据二元一次方程的定义→确定2a+b+1和a-2b-1的值→列出关于a,b的二元一次方程组→解方程组求a,b的值.1.

若(m＋3)x|

m|－2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为____．3针对训练注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0.

考点二等式的基本性质

D方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0.2.

下列运用等式的性质，变形正确的是()A.若x=y，则x－5=y+5B.若a=b，则ac=bcC.若，则2a=3bD.若x=y，则Ba可能为0针对训练考点三一元一次方程的解法例3

解下列方程：(1)；解：去分母，得3(2x＋1)－12=12x－(10x＋1).去括号，得6x＋3－12=12x－10x－1.移项，得6x－12x＋10x=－1－3＋12.合并同类项，得4x=8.系数化为1，得x=2.提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易.(2).解：去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

考点四解二元一次方程组例4

解方程组【思路】方法一：由①用y表示x，用代入消元法.【思路】方法二：用加减消元法消去x.【自主解答】方法一：由①得

x=-2y.③把③代入②得3×(-2y)+4y

=6.解得y=-3.将y=-3代入③得

x=6,所以原方程组的解是【自主解答】方法二：①×3，得3x+6y=0,③③-②，得2y=-6,所以y=-3.把y=-3代入①，得x=6,所以原方程组的解是3.

解方程：解：去分母，得2(x－2)=20－5(x＋3)，去括号，得2x－4=20－5x－15，移项，得2x＋5x=20－15＋4，合并同类项，得7x=9，系数化为1，得针对训练4.解方程组:解：①+②,得3x=18,解得x=6.将x=6代入①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程组的解是考点五实际问题与一元一次方程例5

一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离．解：设甲、乙两码头之间的距离是xkm.由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间，得解得x=90.答：甲、乙两码头之间的距离是90km.5.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可

早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，

则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是x千米，依题意得解得x=15.

答：他家到学校的路程是15千米.针对训练例6

抗洪救灾小组在甲地有

28

人，乙地有

15

人，现在又调来17人，分配在甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多少人.解：设应调至甲地x人，则调至乙地的人数为(17－x)，

根据调配后甲、乙两地人数的数量关系，得解得x=8.则17-

x=9.答：应调至甲地8人，乙地9人.

6.

春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共

450

件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装

50

件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的

2

倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量.解：设甲商城原来有该品牌服装

x

件.根据题意，得

x

+

50

=

2[(450

-

x)-

50]，解得

x

=

250.则

450

-

x

=

200.答：甲商城原来有该品牌服装

250

件，乙商城原来有该品牌服装

200

件.针对训练例7

一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成．现甲、乙合作3天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要

x天才能完成这项工作，由甲、乙合作3天的工作量+乙、丙合作的工作量=1，得解得x=3.答：乙、丙还要3天才能完成这项工作.7.一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的，第二天耕了剩余部分的，还剩下42公顷，则

这片地共有

公顷.解析：设这片地共有x公顷.由题意，得解得

x

=189.189针对训练例8

某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折.提示：提价40％后，商品标价为500×(1+40％)，要保住12％的利润率，商品的售价应为500×(1+12％)，根据可列方程.商品售价=标价×解：设最多可以打x折，根据题意得解得x=8.答：广告上可写出最多打8折.8.

一家商店将某种商品按进价提高

40%

后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍

可获利

24

元，问这件商品的进价是多少元？解：设这件商品的进价是

x元，根据题意得解得x=200.答：这件商品的进价是

200元.针对训练(1)当一次性购物标价总额是

300

元时，甲、乙超市实付款分别是多少？例9

小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏全场8.8折不超过200元，不予优惠；满200元而不超过500元，打九折；满500元，其中500元的部分优惠10％，超过500元的部分打八折假设两家超市相同商品的标价都一样.解：甲超市实付款：300×0.88

=

264(元)，乙超市实付款：300×0.9

=

270(元).(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？解：设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样.由题意知，当x≤500时，甲超市的促销力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以x＞500．根据题意得0.88x=500×(1－10％)+0.8(x－500)，解得x=625．答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样.(3)小王两次到乙超市购物分别付款

198

元和

466

元，

若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省

多少元？分析：由题目信息可知，在乙超市购物标价总额：①不超过200元，不予优惠；②

大于或等于200元小于500元，实付款大于或等于

180元，小于450元；③

大于等于500元，实付款大于等于450元.解：由题意知：①购物标价总额不超过200元，不予优惠；②大于等于200元小于500元，实付款大于等于

200×0.9=180(元)，小于500×0.9=450(元)；

③大于等于500元，实付款大于等于450元.小王第一次购物付款198元＜200元，购物标价可能是198元，也可能是

198÷0.9

=

220(元)，第二次购物付款466元＞450元，所以购物标价大于500元，为(466－450)÷0.8

+

500=520(元)，所以，小王两次购物标价之和为198

+

520=718(元)，或220

+

520=740(元)．若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为

500×0.9+0.8(718－500)=624.4(元)，

或

500×0.9+0.8(740-500)=642(元)，可以节省198

+

466－624.4=39.6(元)，

或

198

+

466－642=22(元)．答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6元或22元．9.

甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客累计购物x元

(x＞300)．(1)请用含x的式子分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；针对训练解：顾客在甲超市购物所付的费用为：

300

+

0.8(x－300)=(0.8x

+

60)元(x＞300)；顾客在乙超市购物所付的费用为：

200

+

0.85(x－200)=(0.85x

+

30)元(x＞300)．(2)李明准备购买500元的商品，你觉得他应该去哪家超市？请说明理由．解：他应该去乙超市，理由如下：当x=500时，在甲超市购物所付的费用为：

0.8×500+

60=460(元)；在乙超市购物所付的费用为：

0.85×500+

30=455(元).因为

460＞455，所以他去乙超市购买更划算．(3)计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？解：由题意得0.8x

+

60=0.85x

+

30.解得x=600.答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．10.

为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作如下

规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度

按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过

200

度，那么超过的部分每度按0.75元收费．(1)若居民甲在6月份用电100度，则他这个月应缴纳电费

元；若居民乙在7月份用电200度，

则他这个月应缴纳电费

元；若居民丙在8月

份用电300度，则他这个月应缴纳电费

元；50115190(2)若某户居民在

9

月份缴纳电费

310

元，那么他这个月用电多少度？解：设他这个月用电x度，根据题意得0.50×100

+

0.65×(200－100)+

0.75×(x－200)=310，解得x=460．答：他这个月用电460度．考点六