2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义学案含解析北师大版选修2-2

PAGE2导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第15页[自主梳理]一、导数的概念当Δx趋于0时，假如平均改变率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在________的瞬时改变率．在数学中，称瞬时改变率为函数y＝f(x)在__________的导数，通常用符号____________表示，记作f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝________________.二、导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点______处的切线的________．函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．[双基自测]1．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝()A．－1 B.eq\f(1,2) C．1 D.eq\f(1,3)2．设f(x)在x＝1处有导数且满意lieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1 C．1 D．13．已知f(x)＝2x2－x，则f′(x)＝__________，f′(1)＝________.4．曲线f(x)＝eq\f(1,3)x3－2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处切线的倾斜角为________．[自主梳理]一、固定的值x0x0点f′(x0)lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)二、(x0，f(x0))斜率[双基自测]1．C因为f′(－1)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3，所以a＝1.2．Blieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝lieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－2x－f1,－2x)＝lieq\o(m,\s\up6(,－2x→0))eq\f(f[1＋－2x]－f1,－2x)＝f′(1)＝－1.3．4x－13因为Δy＝2(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(2x2－x)＝4xΔx－Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4xΔx－Δx＋2Δx2,Δx)＝4x－1＋2Δx.故f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(4x－1＋2Δx)＝4x－1.所以f′(1)＝4×1－1＝3.4．45°因为k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,3)－1＋Δx3－2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－13－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－12Δx－Δx2＋\f(1,3)Δx3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－Δx＋\f(1,3)Δx2))＝1，所以直线的倾斜角为45°.授课提示：对应学生用书第15页探究一求函数在某点处的导数[例1]求函数y＝f(x)＝eq\f(4,x2)在x＝2处的导数．[解析]∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22).∴f′(2)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.由导数的定义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改变率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取极限，得导数f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx).1．求函数f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1处的导数．解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)).当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1，∴eq\f(Δy,Δx)无限趋近于－eq\f(1,2)，∴f′(1)＝－eq\f(1,2).探究二求曲线的切线方程[例2]求曲线y＝2x2＋1在点P(1,3)处的切线方程．[解析]曲线y＝f(x)＝2x2＋1在点P(1,3)处的斜率为：k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(21＋Δx2＋1－3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2Δx2＋4Δx,Δx)＝4.∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)依据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．已知f(x)＝x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标及切线方程．解析：设点P的坐标为(x0，xeq\o\al(3,0))，∴斜率k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(3x\o\al(2,0)Δx＋3x0Δx2＋Δx3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0).∴3xeq\o\al(2,0)＝3，x0＝±1.∴P点的坐标是(1,1)或(－1，－1)，则切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.探究三导数几何意义的综合应用[例3]已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解析]设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.当Δx趋于零时，eq\f(Δy,Δx)趋于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，该点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标．解题时留意解析几何中直线方程学问的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．3．求经过点(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－Δx,Δx·x0＋Δx·x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－1,x0x0＋Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).故所求直线方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由点(2,0)在所求的直线上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线y＝eq\f(1,x)上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以直线方程为x＋y－2＝0.因对导数的概念理解不透彻而致误[例4]已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝________.[解析]lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)×2))＝2lieq\o(m,\s\up6(,Δx